Сравнение нескольких выборок по величине двух признаков (двухфакторный дисперсионный анализ)

Двухфакторный дисперсионный анализ исследует влияние на результативный признак двух факторов как порознь, так и совместно. Учет эффекта влияния каждого фактора по отдельности теоретически ничем не отличается от описанных выше схем. И там и тут оценивается изменчивость средних по градациям на фоне случайной изменчивости вариант внутри градаций, с помощью критерия Фишера устанавливается достоверность отличий межгрупповых дисперсий от внутригрупповых.

Важным преимуществом двухфакторного дисперсионного анализа перед однофакторным служит то, что с его помощью в рамках факториальной изменчивости удается определить варьирование по сочетанию градаций С_сочет., позволяющее получить новый и весьма ценный в биологическом отношении по­казатель – оценку влияния сочетанного действия (взаимодействия) факторов.

Логико-теоретические основы

Модель двухфакторного дисперсионного анализа становится сложнее и выражает отклонение варианты (x_i) от общей средней (M) за счет действия двух контролируемых факторов порознь (x_фактA., x_фактB.) и совместно (x_{сочетAB.}), а также за счет действия случайных причин (x_случ.):

x_i = M ± x_фактA. ± x_фактB. ± x_{сочетAB.} ± x_случ..

Правило разложения вариаций предстает как:

С_общ. = С_A + С_B + С_AB + С_{случ. ,}

С_факт. = С_общ. – С_случ. = С_A + С_B + С_AB,

где С_общ. = Σ(x_i – M)²,

С_A. = Σ(M_Aj – M)², j – число градаций фактора А,

С_B = Σ(M_Bk – M)², k – число градаций фактора В,

С_случ. = Σ(x_i – M_xi)²,

С_AB = С_общ. – (С_A + С_B + С_случ.).

Сочетанное действие (взаимодействие) факторов означает, что каждый из них помимо прямого воздействия на объект исследования сказывается и на характере влияния на объект и другого фактора, усиливает или ослабляет его. К примеру, неурожай кормов усугубляет негативное действие зимнего холода на численность популяций мелких млекопитающих.

Выделяют три основных вида взаимодействия факторов:

– аддитивное, когда взаимодействия факторов нет, их эффекты просто складываются,

– антагонизм, когда один фактор ослабляет действие другого, и наоборот,

– синергизм, когда наблюдается усиление действия обоих факторов.

Эти эффекты часто встречаются в практике токсикологических исследований. Рассмотрим гипотетические примеры действия на подопытных животных двух веществ, взятых в разных концентрациях. По осям OX и OY диаграммы отложены концентрации этих веществ в диапазоне от 0 до CL₅₀, которые за время опыта вызывают гибель 50% особей (рис. 7.2). Первая иллюстрация показывает точки на осях, в которых концентрации вещества [A] = 0 и [B] = CL₅₀ = _ВCL₅₀, а наблюдаемая гибель составляет 50% особей, то же наблюдается для вещества [A] = CL₅₀ = _ACL₅₀ и [B] = 0.

Аддитивное действие – простое сложение влияний. Прямая, соединяющая точки [A] = CL₅₀ = _ACL₅₀, [B] = CL₅₀ = _ВCL₅₀, есть множество опытов, в которых токсиканты ведут себя по отношению друг к другу как одно и то же вещество, поскольку эффекты от их доз просто суммируются. Так, половинные по эффекту дозы _ACL₅₀/2 и _BCL₅₀/2 в сумме дают одну "полноценную" совместную CL₅₀. Однако важно отметить, что пропорциональность эффектов разных веществ вовсе не означает пропорциональности их концентраций.

А основа аддитивизм антагонизм синергизм

В

Рис. 7.2. Виды взаимодействия веществ

Антагонизм – подавление вредного действия одного вещества другим. Любая точка на выгнутой кривой свидетельствует о том, что для достижения эффекта CL₅₀ требуется взять дозы, которые в сумме должны бы превышать эффект CL₅₀. Например, эффект CL₅₀ в точке 1 достигается суммой 0.7∙_ACL₅₀ + 0.7∙_BCL_50. Чисто арифметически (аддитивно) эффект должен был составить 1.4∙CL₅₀, т. е. 70% гибели тест-объектов.

Синергизм – усиление действия. Точки на вогнутой кривой соответствуют ситуации, когда для достижения эффекта CL₅₀ можно взять дозы, суммы которых аддитивно меньше CL₅₀. Так, эффект CL₅₀ обнаруживается в точке для суммы 0.4∙_ACL₅₀ + 0.4∙_BCL_50. Аддитивный эффект должен был составить 0.8∙CL₅₀, т. е. 40% гибели организмов, но синергизм обеспечивает гибель 50% особей.

Сочетанное действие факторов нельзя смешивать с корреляцией факторов. Взаимодействие осуществляется "внутри" объекта исследования и связано со спецификой реакции биосистемы, а корреляция реализуется "снаружи" и связана как с природой фактора, так и со способом организации наблюдений. Чтобы выявить эффект именно взаимодействия, изучаемые факторы должны быть, по возможности, независимы друг от друга.

Кроме этого, имеется ряд условий правильного применения данного метода. Так, дисперсионному комплексу необходима полнота, т. е. второй фактор (В) должен быть представлен в каждой градации пер­вого фактора (А) одинаковым числом градаций.

Ниже рассмотрены алгоритмы, относящиеся лишь к равномерным комплексам, характеризующимся рав­ной численностью групп (в градациях содержатся одинаковое число вариант). Что же касается неравномерных многофакторных комплексов, то их анализ принципиально воз­можен, но имеет свои особенности, существенно усложняющие технику вычислений.

Если исходные данные представлены по градациям неравномерно, вполне допустимо искусственное превращение их в равномерные комплексы. Для этого нужно составить выборки одинаковой величины, используя часть имеющихся дан­ных. Следует помнить, что такой отбор должен быть не субъективным, но случайным. При организации случайного отбора вариант лучше всего прибегнуть к жеребьевке. Например, убирать из выборки те варианты, номера которых совпадают со значениями случайных чисел (табл. 3П). Отбросив часть вариант, мы лишаемся и части информации о варьировании признаков; избежать неправильных выводов, вызванных методикой формирования выборок, помогает многократный пересчет по схеме дисперсионного анализа с использованием результатов нескольких жеребьевок. Ограниченные рамки настоящего кратко­го руководства не позволяют остановиться на этом вопросе бо­лее подробно, поэтому мы отсылаем заинтересованного чита­теля к специальным пособиям, где техника дисперсионного ана­лиза неравномерных многофакторных комплексов изложена с исчерпывающей полнотой.

Условием эффективности многофакторного анализа является также выбор схемы организации факторов в градации. Выше был рассмотрен дисперсионный анализ массива данных с повторностями в каждой градации, для которого разложение суммы квадратов соответствует выражению С_общ. = С_A + С_B + С_AB + С_случ. (табл. 7.6).

Таблица 7.6

Двухфакторный дисперсионный комплекс: c градаций фактора А (столбцы) и r градаций фактора В (ряды) с n повторениями

в каждой градации (l = 1, 2,…, r; j = 1, 2,…, c; i = 1, 2,…, n)

	А1	…	Аj	Аc
В1	x111 x112 …	…	…	x1c1 x1c2 …
…	…	…	…	…
Вl	…	…	xlji	…
Вr	xr11 … xr1n	…	xrjn	xrc1 … xrcn

Однако простейшей структурой дисперсионного анализа служит таблица, поля и графы которой характеризуют градации действия двух факторов, а в каждой ячейке содержится лишь одно значение результативного признака (табл. 7.7).

Таблица 7.7

_{Дисперсионный комплекс для трех градаций без повторений}

	А1	А2	А3
В1	x11	x12	x13
В2	x21	x22	x23
В3	x31	x32	x33

Комплексы без повторений в градациях упрощают не только алгоритм обработки, но, к сожалению, и результаты. Сумма квадратов разлагается только на следующие компоненты:

С_общ. = С_A + С_B + С_остат.,

эффект сочетанного действия становится неотличим от случайного варьирования (С_остат. = С_AB + С_случ.).