Комплексна контрольна робота

Питання 1

Дайте визначення згортки у скінченному полі, наведіть приклад. Як пов’язані часова та частотна функція у разі циклічного зсуву однієї з них? Дайте визначення часового та спектрального многочленів, поясніть яким чином пов’язані корені многочленів із відповідними компонентами в іншій області перетворення?

Питання 2

Що таке порядок елемента кінцевої групи, які його властивості? Дайте визначення та пояснять правило за яким будуються циклічні підгрупи (цикли), які породжені довільним елементом групи. Наведіть приклади.

Завдання

Еліптична крива над простим полем GF(7) задана рівнянням y²=x³+3x+2. Знайдіть всі точки еліптичної кривої, їх порядки і підгрупи множини точок еліптичної кривої, якщо такі є. Побудуйте таблицю Келі відносно операції додавання точок.

Питання 1

Дайте визначення та наведіть основні властивості обмежень спряженості кінцевого поля. Що таке клас спряжених елементів? Дайте визначення хорди, наведіть приклад, розрахуйте бітовий вміст кожної хорди з наведеного прикладу. Що таке слід елементу, які його властивості? Дайте визначення ідемпотенту, які його властивості?

Питання 2

Дайте визначення незвідного многочлена. Що таке приведений многочлен? Як визначаться простий многочлен? Що таке примітивний многочлен? Скільки примітивних многочленів ступеня 3 над двійковим полем? Побудуйте за кожним із них елементи кінцевого поля, покажіть, що відповідні множини елементів є ізоморфізмами.

Завдання

Задана еліптична крива y²=(x³+5x+1) mod5. Знайдіть всі елементи групи точок еліптичної кривої над кінцевим полем GF(5), побудуйте таблицю Келі із співвідношенням всіх елементів групи щодо операції додавання точок. Знайдіть порядки всіх елементів групи. Розкладіть групу перетворень на суміжні класи за однією із підгруп.

Питання 1

Дайте визначення циклічних кодів як множини кодових многочленів в часовій області. Що таке породжувальний та перевірочний многочлени циклічних кодів, які є їхні властивості? Дайте відповідне визначення циклічних кодів у матричному вигляді через породжувальну та перевірочну матриці. Як поєднані векторні простори, базисами яких є строки цих матриць?

Питання 2

Дайте визначення циклу кінцевої групи, який породжено елементом групи. Який цикл породжує примітивний елемент? Дайте визначення суміжних класів та наведіть правило розкладання кінцевої групи на суміжні класи за довільною підгрупою. Що таке лідери суміжних класів? Наведіть властивості суміжних класів, як пов’язані порядок групи із порядками усіх її підгруп?

Завдання

Використовуючи повороти шестикутника навколо його центру за годинниковою стрілкою, що переводять фігуру в саму себе, побудуйте алгебраїчну групу перетворень. Перевірте її на комутативність. Знайдіть циклічну підгрупу порядку 2. Розкладіть групу перетворень на ліві суміжні класи за цією підгрупою.