Комплексна контрольна робота

Питання 1

Дайте визначення та наведіть основні властивості примітивних елементів кінцевого поля. Що таке примітивний многочлен? Дайте визначення мінімального многочлена довільного елемента кінцевого поля. Які властивості мінімальних многочленів Ви знаєте?

Питання 2

Дайте визначення дискримінанту еліптичної кривої. Що таке гладка крива? Яким чином забезпечується перевірка відсутності особливостей на еліптичній кривій? Дайте визначення порядку точки еліптичної кривої. За якими формулами обчислюються операції подвоєння та додавання точок еліптичної кривої у кінцевих полях характеристики 2? Як вони отримані?

Завдання

Векторний простір W₂  V₄ заданий базисом із двох векторів з елементами з кінцевого поля GF(5): v₁ = {³, ¹, 0, ⁰}, v₂ = {⁰, ¹, ², ³}. Знайдіть базис ортогонального доповнення W^₂  V₄ до простору W₂  V₄ через перетворення базисних векторів в спектральній області. Розрахуйте дистанційні характеристики W₂ і W^₂ , перевірте на досконалість ці простори.

Питання 1

Наведіть структурну схему та поясніть правило функціонування лінійного регістру зсуву зі зворотними зв’язками. Сформулюйте умови для формування таким пристроєм послідовності максимальної довжини (m-послідовності). Як пов’язані стани лінійного регістру зсуву із елементами кільця многочленів? Що зміниться, якщо відводи у схемі зворотного зв’язку будуть відповідати не примітивному многочлену над кінцевим полем? Наведіть приклади.

Питання 2

Дайте визначення порядку точки еліптичної кривої. За якими формулами обчислюються операції подвоєння та додавання точок еліптичної кривої у простому полі характеристики p > 3? Як вони отримані? Яким чином розраховується дискримінант еліптичної кривої? Яку властивість забезпечує умова не тотожності нулю дискримінанту еліптичної кривої?

Завдання

Базис векторного простору W₂  V₄ заданий двома векторами v₁ та v₂ з елементами з кінцевого поля GF(5): v₁ = {³, ², ⁰, 0}, v₂ = {0, ³, ², ⁰}. Знайдіть базис ортогонального доповнення W^₂  V₄ до простору W₂  V₄ через перетворення базисних векторів в спектральній області. Розрахуйте дистанційні характеристики W₂ і W^₂ , перевірте на досконалість ці простори.

Питання 1

Дайте визначення прямого та зворотного перетворення Фурье у скінченному полі, яку аналогію має ядро цього перетворення у полі комплексних чисел? Які обмеження накладаються на довжину вектору при перетворенні Фурье у скінченному полі, як це пов’язано із порядком елемента мультиплікативної підгрупи поля? Наведіть приклад перетворення Фурье двійкового вектору відповідної довжини.

Питання 2

Дайте визначення та поясніть властивості одиничного та зворотних елементів групи, що є одиничним елементом у групі цілих чисел відносно множення та відносно додавання? Чи є групою множина квадратних nxn матриць із дійсними числами відносно множення? Поясніть на прикладі властивість комутативності групи.

Завдання

Еліптична крива над простим полем GF(5) задана рівнянням y²=x³+x+2. Знайдіть всі елементи групи точок цієї еліптичної кривої. Побудуйте таблицю Келі відносно операції додавання точок. Знайдіть порядки всіх елементів групи. Якщо підгрупи існують, знайдіть їх.