Комплексна контрольна робота

Питання 1

Дайте визначення та наведіть основні властивості кільця цілих чисел. Що таке кільце відношень та коли воно буде полем? Побудуйте приклад кільця цілих чисел та відповідне кінцеве поле, побудуйте таблиці Келі для операцій додавання та множення у такому полі.

Питання 2

Наведіть основні властивості коренів многочленів над кінцевим полем. Як пов’язані корені многочленів в спектральній та часовій області із відповідними значеннями векторів в іншій області перетворення? Що таке примітивний многочлен? Якої довжини є цикл, що породжує примітивний елемент? Як пов’язані довжини циклів, що породжуються не примітивними елементами, із порядком мультиплікативної групи кінцевого поля?

Завдання

Циклічний двійковий код задано породжувальним многочленом g(x) = (x - ⁰)(x - ¹)(x - ²)(x - ⁴), де ⁱ  GF(2³), кінцеве поле побудовано за примітивним многочленом x³ + x + 1. Знайдіть всі кодові слова цього коду та його ортогонального доповнення (дуального коду), побудуйте для них перевірочну та породжувальну матриці. Оцініть мінімальну кодову відстань сформованих кодів, перевірте їх на досконалість. Знайдіть всі ідемпотенти сформованих кодів.

Питання 1

Дайте визначення та наведіть основні властивості многочлена над кінцевим полем. Що таке формальна похідна від многочлена над кінцевим полем та які її властивості? Наведіть основні властивості коренів многочленів над кінцевим полем, дайте визначення незвідного многочлена. Що таке простий многочлен?

Питання 2

Дайте визначення та наведіть основні властивості хорди, як хорда пов’язана із класом спряжених елементів? Що таке бітовий вміст кожної хорди? Дайте визначення сліду елементу в кінцевому полі, які його властивості? Що таке ідемпотент, які його властивості?

Завдання

Задано поле GF(3) і вектори V₁={2 0 1 1}, V₂={0 2 1 1}, V₃={2 1 1 0} з елементами з цього поля. Знайдіть всі елементи векторного простору, базисом якого є ці вектори. Знайдіть ортогональне доповнення до цього простору. Розрахуйте мінімальну кодову відстань цих просторів, перевірте їх на досконалість.

Питання 1

Дайте визначення та наведіть основні властивості кільця многочленів. Що таке кільце відношень та коли воно буде полем? Побудуйте приклад кільця многочленів та відповідне кінцеве поле, побудуйте таблиці Келі для операцій додавання та множення у такому полі. Що таке цілі числа розширеного кінцевого поля та що є його характеристикою?

Питання 2

Дайте визначення часового та спектрального многочленів, поясніть яким чином пов’язані корені многочленів із відповідними компонентами в іншій області перетворення? Дайте визначення згортки у скінченному полі, наведіть приклад. Як пов’язані часова та частотна функція у разі циклічного зсуву однієї з них?

Завдання

Задано примітивне поле GF(5) і незвідний многочлен x² + x + 2. Побудуйте розширення GF(5²). Знайдіть всі класи спряжених елементів поля GF(5²) і відповідні мінімальні многочлени. Знайдіть порядки всіх елементів GF(5²). Побудуйте цикл довжини 12 та розкладіть мультиплікативну групу поля GF(5²) на класи суміжності за цим циклом.