Комплексна контрольна робота

Питання 1

Дайте абстрактне визначення та наведіть основні властивості кільця. Поясніть на прикладі властивість комутативності кільця, чи є абелевим кільце квадратних nxn матриць із дійсними числами відносно додавання та множення? Дайте визначення та поясніть властивості одиничного елемента кільця, що таке кільце з одиницею?

Дайте визначення лівого та правого зворотного у кільці з одиницею.

Питання 2

Застосовуючи правило згортки у кінцевих полях дайте визначення циклічних кодів в частотній області. Як поєднані спектри кодових слів із коренями порождувального многочлену? Дайте визначення циклічних кодів в матричному вигляді застосовуючи відомості про корені порождувального многочлену. Побудуйте перевірочну матрицю використовуючи відомості про корені перевірочного многочлену?

Завдання

Побудуйте перевірочну та породжувальну матриці циклічного трійкового коду примітивної довжини, якщо його перевірочний многочлен має вигляд g(x) = (x - ²)(x - ⁴)(x - ⁶), ⁱ  GF(3²), кінцеве поле побудовано за примітивним многочленом x² + x + 1. Знайдіть всі кодові слова коду, оцініть кодову відстань. Який спектр будуть мати кодові слова коду та його ортогонального доповнення (дуального коду)?

Питання 1

Дайте абстрактне визначення та наведіть основні властивості поля. Що таке поле Галуа? Наведіть приклади. Дайте визначення таких понять як підполе та розширення поля. Що таке область цілісності? Яка відмінність структури поля від структурі кільця із властивістю скорочення (наведіть приклад)?

Питання 2

Дайте визначення та поясніть основні властивості породжувального та перевірочного многочлена циклічних кодів. Дайте відповідне визначення циклічних кодів у матричному вигляді через породжувальну та перевірочну матриці. Як поєднані векторні простори, базисами яких є строки цих матриць?

Завдання

Використовуючи обмеження спряженості побудуйте трійковий циклічний код примітивної довжини, якщо він заданий через нульові значення хорди {¹, ³}, ⁱ  GF(3²), кінцеве поле побудовано за примітивним многочленом x² + x + 1. Знайдіть всі кодові слова, оцініть кодову відстань. Який спектр будуть мати кодові слова дуального коду?

Питання 1

Дайте абстрактне визначення та наведіть основні властивості векторного простору над кінцевим полем. Що таке базис векторного простору та його розмірність? Дайте визначення підпростору векторного простору над кінцевим полем, що таке ортогональне доповнення підпростору? Наведіть приклад векторного підпростору, та побудуйте його ортогональне доповнення.

Питання 2

Яким чином повинні бути задані відводи у схемі зворотного зв’язку лінійного регістру зсуву для того, щоб він формував послідовності максимального періоду? Наведіть структурну схему та поясніть на прикладі як працює цей пристрій. Як пов’язані стани лінійного регістру зсуву із елементами кільця многочленів?

Завдання

Побудуйте всі класи спряженості елементів із поля GF(2⁴) та відповідні мінімальні многочлени, кінцеве поле побудовано за примітивним многочленом x⁴ + x + 1. Змінюючи кількість мінімальних многочленів як множників у породжувальному (або перевірочному) многочлені оцініть кодові співвідношення для всіх двійкових кодів примітивної довжини. Формально покажіть який спектр будуть мати кодові слова відповідних кодів.