Міністерство oсвіти і науки, молоді та спорту україни Харківський національний університет імені в.Н. Каразіна

Питання 1

Дайте абстрактне визначення та наведіть основні властивості групи. Поясніть на прикладі властивість комутативності групи, чи є абелевою група квадратних nxn матриць із дійсними числами відносно додавання? Дайте визначення та поясніть властивості одиничного та зворотних елементів групи, що є одиничним елементом у групі квадратних nxn матриць відносно множення?

Питання 2

Дайте визначення та наведіть основні властивості групи точок еліптичної кривої відповідно до ГОСТ P 34.10-2001. Застосовуючи метод пересічних Діофанта отримайте формули з додавання точок еліптичної кривої, поясніть їх геометричний зміст. Як подати скалярне множення через операції додавання точок еліптичної кривої?

Завдання

Побудуйте кільце многочленів із коефіцієнтами із GF(3) із перетвореннями по модулю примітивного многочлена x² + x + 1. Побудуйте таблиці Келі відносно операцій множення та додавання елементів кільця. Доведіть, що сформоване кільце є кінцевим полем GF(3²). Виконайте пряме перетворення Фурье над GF(3²) вектору {⁰, ¹, ², ³, ⁴, ⁵, ⁶, ⁷}. Поясніть, чому нульові елементи спектру знаходяться саме на цих місцях. Знайдіть елемент поля порядку 4 та виконайте зворотнє перетворення Фурье вектору {0, ², 0, ⁶}. Які корені має відповідний многочлен в часовій області?

Питання 1

Дайте абстрактне визначення підгрупи та наведіть їхні основні властивості, наведіть приклади. Дайте визначення та пояснять правило за яким будуються циклічні підгрупи (цикли), які породжені довільним елементом групи. Що таке порядок елемента кінцевої групи, які його властивості?

Питання 2

Дайте визначення та наведіть основні властивості групи точок еліптичної кривої відповідно до ДСТУ 4145-2002. Застосовуючи метод пересічних Діофанта отримайте формули з додавання точок еліптичної кривої, поясніть їх геометричний зміст. Як подати скалярне множення через операції додавання точок еліптичної кривої?

Завдання

Побудуйте всі класи спряженості елементів із поля GF(3²) та відповідні мінімальні многочлени, кінцеве поле побудовано за примітивним многочленом x² + x + 1. Змінюючи кількість мінімальних многочленів як множників у породжувальному (або перевірочному) многочлені оцініть кодові співвідношення для всіх трійкових кодів примітивної довжини. Формально покажіть який спектр будуть мати кодові слова відповідних кодів.

Питання 1

Дайте визначення суміжних класів та наведіть правило розкладання кінцевої групи на суміжні класи за довільною підгрупою. Що таке лідери суміжних класів? Наведіть властивості суміжних класів, як пов’язані порядок групи із порядками усіх її підгруп?

Питання 2

Сформулюйте та доведіть теорему БЧХ. Який спектр мають кодові слова відповідних групових кодів. Який спектр мають кодові слова дуального коду? Поясніть це з точки зору ортогонального доповнення до відповідного простору. Чи є кодом БЧХ дуальний до нього код? Оцініть його кодові характеристики.

Завдання

Знайдіть всі класи спряженості елементів із поля GF(5²) та відповідні мінімальні многочлени, кінцеве поле побудовано за примітивним многочленом x² + x + 2. Знайдіть всі підгрупи мультиплікативної групи поля. Побудуйте цикл довжиною 12 та відповідні йому суміжні класи. Знайдіть мінімальні многочлени для кожного із класів спряжених елементів. Знайдіть ідемпотенти в спектральній області, виконайте зворотне перетворення Фурье для одного із них, перевірте його властивості.