Элементы теории множеств

Понятие множества или совокупности принадлежит к числу простейших математических понятий. Оно не имеет точного определения. Любое множество задается своими элементами. Примерами являются множество книг в библиотеке или множество студентов, присутствующих на занятии. Обычно множество обозначают заглавными латинскими буквами (A), а его элементы строчными латинскими буквами (a). То, что элемент принадлежит множеству, обозначают так: a A. Если a не принадлежит A, то этот факт обозначают так: a A.

Чтобы задать множество, следует или перечислить его элементы, или указать характеристическое свойство его элементов, то есть такое свойство, которым обладают все элементы множества и только они. Мы уже знакомы со следующими примерами подмножеств вещественных чисел.

Примеры. 1. Множество натуральных чисел: N={1, 2, 3,…,n, n+1,…}. Из записи следует, что все натуральные числа, начиная с двойки, получаются прибавлением единицы к предыдущему числу.

2. Множество целых чисел: Z={0, 1 ,–1, 2, –2,…,n, –n,…}.

3. Множество рациональных чисел: ={ | }.

4. Множество всех действительных (вещественных) чисел R.

Два множества равны тогда и только тогда, когда состоят из одних и тех же элементов. Если все элементы множества A содержатся в множестве B, то говорят, что A является подмножеством множества B и обозначают A B. Поэтому означает, что и одновременно .

Очевидно, что .

В рамках рассматриваемой математической теории вводят два исключительных множества: пустое множество ( ), не содержащее элементов, и универсальное множество или «универсум» (U), содержащее все элементы данной теории.

Аксиоматика операций над множествами.

Основными операциями над множествами являются следующие.

1. Дополнение. Для любого множества определим дополнение .

Например, в множестве вещественных чисел дополнением к множеству является множество всех иррациональных чисел.

2. Объединение. Для любых двух множеств определим объединение .

Например, объединением отрезков [1,3] и [2,7] является отрезок [1,7].

2. Пересечение. Для любых двух множеств определим пересечение .

Например, пересечением отрезков [1,3] и [2,7] является отрезок [2,3].

Для иллюстрации операций над множествами вводят диаграммы Эйлера-Венна – круги, обозначающие множества. Так, введенные нами операции иллюстрируются следующим образом.

А

Подчеркнем, что диаграммы Эйлера-Венна не могут служить доказательствами равенства множеств.

Кроме введенных нами трех операций над множествами существуют еще операции, которые могут быть представлены как комбинация простейших операций. Введем операцию вычитания множеств: . На диаграмме Эйлера-Венна результат вычитания выглядит так:

А\В = U\В

Можно доказать, что . Для доказательства равенства двух множеств следует убедиться в том, что все элементы первого множества принадлежат второму и все элементы второго множества принадлежат первому.

Помимо введенных операций над множествами рассматривают декартово произведение двух множеств. Декартовым произведением множеств A и B называется множество , элементы которого задаются двумя координатами, из которых первая – элемент множества A, а вторая – элемент множества B.

Например, если A – множество названий всех улиц какого-то города, B – множество номеров домов от 1-го до 10-го, то – множество адресов городских домов, расположенных в начале улиц. В данном случае количество этих адресов равно произведению количеству городских улиц на 10.

Множество точек плоскости обозначается .

Аксиоматика действительных чисел

1. Аксиомы сложения.

1) справедливо .

2) справедливо .

3) (нейтральный элемент сложения) такой, что справедливо .

4) такой, что .

2. Аксиомы умножения.

1) справедливо .

2) справедливо .

3) (нейтральный элемент умножения) такой, что справедливо .

4) такой, что .

3. Аксиома сложения и умножения.

1) справедливо .

4. Аксиомы порядка.

1) справедливо .

2) таких, что , справедливо одно из двух соотношений: или .

3) Если выполняются одновременно соотношения и , то справедливо соотношение .

4) Если выполняются одновременно соотношения и , то .

5. Аксиомы порядка, связанные с операциями.

1) Если , то для справедливо .

2) Если выполняются одновременно соотношения и , то .

6. Аксиома непрерывности.

Пусть и – подмножества множества , причем для и для справедливо . Тогда такое, что и для и для .

Все перечисленные аксиомы обеспечивают те свойства вещественных чисел, которыми мы привычно пользуемся.

Последняя аксиома кажется лишней в перечне аксиом. Однако именно эта последняя аксиома позволяет ввести иррациональные числа в множество действительных чисел.

Действительно, первые пять аксиом справедливы и для множества рациональных чисел , то есть, чисел, представимых в виде отношения , где – целое число, а – натуральное число. Однако еще древние греки знали, например, что число, квадрат которого равен 2, не является рациональным. Существование иррациональных чисел во множестве R доказывается именно применением аксиомы непрерывности.

Известной еще древним грекам является интерпретация множества в виде бесконечной прямой, на которую нанесена точка (O), являющаяся началом отсчета как в положительном, так и в отрицательном направлениях. Действительные числа – это точки прямой с расстояниями от точки отсчета, равными величинам чисел. Такой интерпретацией мы активно пользуемся со школы, называя положительной бесконечностью ( ) условный предел при удалении точки по прямой вправо и отрицательной бесконечностью ( ) условный предел при удалении точки по прямой влево.

Другой моделью множества является окружность. Характерной особенностью такой интерпретации является то, что аналогом бесконечности является одна из точек окружности. Покажем, что между точками бесконечной прямой и конечной окружности существует взаимнооднозначное соответствие, позволяющее заменять одну модель на другую.

Представим окружность, касающуюся прямой в точку A, которую мы назовем полюсом. Другим полюсом (B) назовем точку, диаметрально противоположную A. Проводя из B лучи, пересекающие окружность и данную прямую, мы получим взаимнооднозначное соответствие точек окружности и прямой. Полюс A будут соответствовать самому себе. Полюс B будет соответствовать бесконечности. При этом понятия и будут означать только направление движения к одной и той же точке B, соответствующей бесконечно удаленной точке.