Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.

В этой статье поговорим о решении линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений порядка выше второго с постоянными коэффициентами. Такие уравнения имеют вид   и  , где   - действительные числа, а функция f(x) непрерывна на интервале интегрирования X. Сразу скажем, что аналитически решить такие уравнения далеко не всегда возможно и обычно используют приближенные методы. Однако в некоторых случаях возможно отыскать общее решение. Сформулируем две теоремы, которые показывают, в каком виде искать общие решения ЛОДУ и ЛНДУ. Общим решением y₀ линейного однородного дифференциального уравнения   на интервале X с непрерывными коэффициентами   на X является линейная комбинация n линейно независимых частных решений ЛОДУ   с произвольными постоянными коэффициентами  , то есть  . Общее решение y линейного неоднородного дифференциального уравнения   на интервале X с непрерывными на том же промежутке Xкоэффициентами   и функцией f(x) представляет собой сумму  , где y₀ - общее решение соответствующего ЛОДУ  , а   - какое-нибудь частное решение исходного ЛНДУ. Таким образом, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами   ищем в виде  , где   - какое-нибудь его частное решение, а   – общее решение соответствующего однородного уравнения  . Сначала разберемся как находить  , а в конце покажем как определить  . Уравнение   называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения  . Если мы найдем все n корней характеристического уравнения  , то, исходя из их значений, можно определить n частных линейно независимых решений   исходного ЛОДУ. Перечислим все возможные варианты и разберем примеры на каждый из них:

1. если все решения характеристического уравнения   действительные и различные, то линейно независимые частные решения имеют вид и  ; 

2. если все решения характеристического уравнения действительные и одинаковые  , то линейно независимые частные решения имеют вид и   

3. если решениями характеристического уравнения являются различные комплексно сопряженные пары  , n = 2m, то линейно независимые частные решения имеют вид   и    если решениями характеристического уравнения являются совпадающие комплексно сопряженные пары  , то линейно независимые частные решения имеют вид   и   

1. Пример. Найдите общее решение линейного однородного дифференциального уравнения третьего порядка с постоянными коэффициентами  . Решение. Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни, предварительно разложив многочлен в левой части равенства на множители способом группировки:   Все три корня действительные и различные, поэтому общее решение ЛОДУ имеет вид . 

2. Пример. Найдите общее решение дифференциального уравнения  . Решение. Характеристическое уравнение этого ЛОДУ четвертого порядка имеет вид  . Если обратиться к формуле бинома Ньютона, то характеристическое уравнение можно переписать в виде  , откуда видно его четырехкратный корень k₀ = 2. Таким образом, общее решение исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами есть .