Список литературы

1. Глазырин А.С. Математическое моделирование электромеханических систем. Аналитические методы: учебное пособие / А.С. Глазырин; Томский политехнический университет. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2011. – 206 с..

2. Мальцева, Ольга Павловна. Численные методы в электротехнике: Компьютерный лабораторный практикум / О. П. Мальцева, Н. В. Коян, Л. С. Удут; Томский политехнический университет (ТПУ). – Томск: Изд-во ТПУ, 2003. – 99 с.: ил. – (Учебники Томского политехнического университета). – Библиогр.: с. 97. – ISBN 5-98298-101-X.

3. Методы и средства автоматизации профессиональной деятельности: учебное пособие / (ТПУ). – Томск: Издательство ТПУ. 2007. Ч. 1 / А.С. Глазырин и др. 2007, 199 с.

4. Яковенко П.Г. Моделирование систем: учебное пособие / П.Г. Яковенко. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2009. – 106 с.

Контрольный вопрос

Метод Эйлера

В дифференциальное уравнение –го порядка в качестве неизвестных величин входят функция и ее первые производных по аргументу

(1)

Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что уравнение (1) эквивалентно системе уравнений первого порядка

(2)

где

Уравнение (1) и эквивалентная ему система (2) имеют бесконечное множество решений. Единственные решения выделяют с помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять искомые решения.

Систему (2) часто удается представить в каноническом виде, в так называемой форме Коши

(3)

где .

При формулировке задачи Коши система (3) дополняется начальными условиями. Рассмотрим задачу Коши для одного уравнения типа (7.3)

(4)

В окрестности точки функцию разложим в ряд Тейлора

(5)

который можно применить для приближенного определения искомой функции В точке при малых значениях можно ограничиться двумя членами ряда (5)

(6)

где – бесконечно малая величина порядка Заменим производную входящую в формулу (6), на правую часть уравнения (4)

(7)

Теперь приближенное решение в точке можно вновь рассматривать как начальное условие и по формуле (7) найти значение искомой функции в следующей точке В результате получен простейший алгоритм решения задачи Коши, который называется методом Эйлера, или методом ломаных. Последнее название связано с геометрической интерпретацией процесса (рис. 11); искомую функцию заменяем ломаной линией, представляющей собой отрезки касательных к этой функции в узлах

Формула (7) может быть получена из других соображений. Заменим производную в левой части уравнения (4) приближенным конечно-разностным отношением

Нетрудно видеть эквивалентность последнего выражения с алгоритмом Эйлера (7).

Рисунок 11. Метод Эйлера

На каждом шаге метода Эйлера решение определяется с погрешностью за счет отбрасывания членов ряда Тейлора, пропорциональных в степени выше первой. Это означает, что метод Эйлера имеет второй порядок локальной погрешности. Глобальная погрешность имеет первый порядок. При постоянном шаге для оценки глобальной погрешности применима первая формула Рунге.

(8)

где – приближенное решение дифференциального уравнения в точке полученное с шагом – приближенное решение того же уравнения с шагом – порядок метода.

Формула (8) позволяет опытным путем определить шаг обеспечивающий требуемую точность решения Так же, как и при вычислении определенных интегралов, можно осуществлять автоматическое изменение шага в процессе интегрирования дифференциального уравнения.

Для уточнения решения применима вторая формула Рунге

(9)

Формула Эйлера (7) обобщается для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, записанных в форме Коши (3) с начальными условиями

. (10)

Метод Эйлера дает сравнительно низкую точность, так как имеет первый порядок.