2.1 Метод Рунге-Кутта второго порядка с полным шагом
Для
уменьшения погрешности метода
интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений, использующего
разложение искомого решения в ряд
Тейлора, необходимо учитывать большее
количество членов ряда. Однако при этом
возникает необходимость аппроксимации
производных от правых частей уравнений.
Основная идея методов Рунге-Кутта
заключается в том, что производные
аппроксимируются через значения функции
в точках на интервале
,
которые выбираются из условия наибольшей
близости алгоритма к ряду Тейлора. В
зависимости от старшей степени
,
с которой учитываются члены ряда,
построены вычислительные схемы
Рунге-Кутта разных порядков точности.
Для второго порядка получено однопараметрическое семейство схем вида
где
<
– свободный параметр,
Локальная
погрешность схем имеет третий порядок,
глобальная – второй. Решение уравнения,
полученное по этой схеме, равномерно
сходится к точному решению с погрешностью
.
Для параметра
наиболее часто используют значения
и
.
Рисунок 6. Метод Рунге-Кутта второго порядка ( = 0,5)
В данном случае формула приобретает вид
геометрическая
интерпретация которой представлена на
рис. 6 Вначале вычисляется приближенное
решение уравнения в точке
по формуле Эйлера
Затем определяется наклон интегральной
кривой в найденной точке
и после нахождения среднего наклона на
шаге
находится уточненное значение
Схемы подобного типа называют
«прогноз-коррекция»,
что подразумевает грубое вычисление
решения по формуле низкого порядка, а
затем уточнение с учетом полученной
информации о поведении интегральной
кривой.
3. Анализ гармонического состава тока нелинейной цепи в установившемся режиме
В п. 2 после решения ДУ было найдено время переходного процесса в нелинейной электрической цепи. Гармонический анализ следует проводить в установившемся режиме после окончания переходного процесса.
Указание: при разложении тока на гармоники следует брать интервал времени равный или кратный целому числу колебаний.
3.1 Разложение в ряд Фурье
Разновидность обработки данных, связанная с преобразованием их частотного представления или спектра. Спектр получается в результате разложения исходной функции, зависящей от времени (временной ряд) или пространственных координат (например, изображения), в базис некоторой периодической функции. Наиболее часто для спектральной обработки используется спектр Фурье, получаемый на основе базиса синуса (разложение Фурье, преобразование Фурье).
Основной смысл преобразования Фурье в том, что исходная непериодическая функция произвольной формы, которую невозможно описать аналитически и в общем случае трудная для обработки и анализа, представляется в виде совокупности синусов или косинусов с различной частотой и амплитудой. Иными словами, сложная функция преобразуется в множество более простых. Каждая синусоида (или косинусоида) с определенной частотой и амплитудой, полученная в результате разложения Фурье, называется спектральной составляющей или гармоникой. Спектральные составляющие образуют спектр Фурье.
Тригонометрическим
рядом Фурье функции 
называют
функциональный ряд вида
(3.1)
где
или
,
или
,
или
,
Числа
, (
)
называются коэффициентами
Фурье функции f.
T
– период
гармонической функции.
В нашем случае зависимость I(t) не является тригонометрической функцией и следовательно вычислить определенный интеграл будет не возможно. Для определения коэффициентов ряда Фурье, заменим интеграл суммой:
,
(3.2)
,
(3.3)
,
(3.4)
где
,
,
– частота основной гармоники.
Вывод
Был рассмотрен метод интерполяции полиномами Ньютона. Используя этот метод, была подвержена интерполяции основная кривая намагничивания, которая задана таблично. В результате была определена зависимость Н(В).
Для решения дифференциального уравнения был использован метод Рунге-Кутта второго порядка с полным шагом. Этот метод позволил построить переходной процесс тока нелинейной цепи. Было определено время переходного процесса методом секущих из разностного уравнения.
Анализ гармонического состава тока в цепи показал что не нулевыми гармониками оказались нечетные гармоники.