4.Уравнения высших порядков. Задачи Коши
4.1.Постановка задачи Коши
Среди уравнений высших порядков выделим такие, которые можно записать в следующем виде:
(4.1)
т.е.
в разрешенном относительно старшей
производной. Напомним, что задачей Коши
для уравнения (4.1)
называется
задача нахождения частного решения
этого уравнения
,
удовлетворяющего условиям:
где
- заданные числа.
Вопрос
о разрешимости задачи Коши на отрезке
решается в терминах, аналогичных случаю
уравнений первого порядка.
4.2.Разрешимость задачи Коши
Пусть
- упорядоченный набор действительных
чисел. Обозначим через
Множество точек в (n+1) – мерном пространстве
),
Для
которых 
,
а 
принимают любые значения, называется
слоем и обозначается как 
.
Функцию, стоящую в правой части уравнения
(11.21), будем рассматривать как функцию
(n+1)
переменных: 
.
Теорема
.
Пусть функция:
определена и непрерывна в слое
и пусть она удовлетворяет условию
Липшица в следующей формуле: существует
положительная константа L
такая, что для любых
,
и произвольной
и
выполняется
,
где
Тогда
для любого набора начальных значений:
существует и притом единственное решение
задачи Коши для уравнения
.
Следствие. Если уравнение (4.1) имеет вид
(4.2)
где
,f(x)
– функции, непрерывные на 
,
то при любом 
и любых начальных данных решение задачи
Коши существует и единственно на всем
интервале 
Доказательство теоремы о разрешимости задачи Коши и ее следствия здесь не приводим.
5. Линейные уравнения высших порядков
5.1. Основные понятия
Определение 1. Линейным уравнением порядка n называется уравнение следующего вида:
(5.1)
где
-
функции, непрерывные на некотором
интервале (a
,b)
[этот интервал может быть 
],причем
на этом интервале функция 
ни в какой точке.
Как вытекает из следствия из теоремы о разрешимости задачи Коши, уравнение (5.1) при любых начальных данных имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям. Чтобы описать структуру формулы, дающей общее решение такого уравнения, необходимо ввести некоторые понятия.
Определение
2.
Уравнение (5.1) при условии, что 
на (a ,b), называется линейным однородным уравнением n-ого порядка.
Определение 3. Соответствие L, когда по заданной функции h(x) однозначно находится другая функция g(x), называется оператором L . При этом используется запись L[h(x)]=g(x).
Определение 4. Оператор L называется линейным оператором, если он удовлетворяет двум условиям:
а) для любой функции h(x) любого числа l справедливо равенство
L[lh(x)]= lL[h(x)];
б) для любых двух функции h(x) и g(x) справедливо равенство
L[h(x)+g(x)]=L[h(x)]+L[g(x)].
Пример. Оператор дифференцирования
очевидно, является линейным оператором, поскольку константу всегда можно выносить за знак дифференцирования:
а производная суммы равна сумме производных
Определение
5.
Система функции 
определенных на интервале (a,b)
, называется линейно зависимой на этом
интервале, если и только если существуют
числа 
не все равные нулю, и такие, что
на интервале (a,b).