МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ ТАТАРСТАН

ГАОУ СПО «Набережночелнинский педагогический колледж»

«Обыкновенные дифференциальные уравнения»

Методическое пособие

Преподаватель математики Гилязова

ГАОУ СПО «Набережночелнинского Лиана

педагогического колледжа»: Равилевна

2010 год

ББК

22.161.6

А30

Утверждено на заседании кафедры информатики и математики ГАОУ СПО «Набережночелнинского педагогического колледжа»

Зав. кафедрой информатики и математики: _______ Астафьева Л. Е.

Зам. директора по учебной работе: _________Яковлева А. Н.

Методическое пособие разработано в соответствии с ГОС СПО по специальности 230105 «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем»

В пособии представлены все основные типы дифференциальных уравнений: уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными, однородные уравнения 1-го порядка; уравнения, приводящиеся к однородным; линейные однородные и неоднородные уравнения 1-го порядка, дифференциальные уравнения высших порядков, линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами, линейные неоднородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами, дифференциальные уравнения, допускающие понижение степеней.

Теоретическую часть пособия дополняет большое количество практических задач, а также приведен примерный перечень задач для контроля знаний.

Данное руководство адресовано преподавателям и студентам технических специальностей учреждений среднего профессионального образования.

Введение

Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины. Соответствующее уравнение содержит одну или несколько функций и их производных и называется дифференциальным уравнением. Темп изменения расстояния со временем определяется скоростью; следовательно, скорость - производная от расстояния; аналогично, ускорение - производная от скорости, так как ускорение задает темп изменения скорости со временем. Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и особенно для ее приложений, объясняются тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач. Дифференциальные уравнения играют существенную роль и в других науках, таких, как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений (коль скоро окружающий мир изменяется во времени, а условия изменяются от одного места к другому).

Основной задачей теории дифференциальных уравнений является изучение функций, являющихся решениями таких уравнений.

Дифференциальные уравнения делятся на обыкновенные дифференциальные уравнения, в которых неизвестны функции являются функциями одной переменной, и на дифференциальные уравнения в частных производных, в которых неизвестные функции являются функциями двух и большего числа переменных.

Теория дифференциальных уравнений в частных производных более сложна и изучается в полных или специальных математических курсах. С элементами теории обыкновенных дифференциальных уравнений мы познакомимся в настоящей главе. В дальнейшем, говоря о дифференциальных уравнениях, будем иметь в виду только обыкновенные дифференциальные уравнения.