6. Найдём степень разбросанности св х относительно её среднего значения.

D(X)=M(X²)-M(X)² M(X²)= .

В нашем случае n = 3. Тогда имеем

М(Х²) = 0² · 0,15 + 1² · 0,45 + 2² · 0,4 = 0,45+1,6=2,05.

Следовательно: D(X)=2,05-1,25²=2,05-1,5625=0,4875.

σ(Х)= =

7. Найдём дисперсию функции СВ U=X-6X-4.

D(U) = D(X-6X-4} = D(-5X-4)= D(-4)-5²D(X) = 0-25∙D(X) = -25∙0,4875 = -12,1875 = 12,1875.

8. Найдём ковариацию св х и у. Что означает положительная ковариация?

Центральный момент второго порядка называется ковариацией случайной величины (Х, У). удобнее вычислять по формуле

Предварительно составим ряд распределения СВ У и найдём среднее значение СВ У.

У	1	3
Pi	0,1+0,3+0,2=0,6	0,05+0,15+0,2=0,4

М(У) = 1 · 0,6 + 3 · 0,4 = 0,6+1,2=1,8.

В нашем случае

Находим коэффициент ковариации:

Отрицательная ковариация означала бы обратную зависимость.

9. Найдём коэффициент корреляции св х и у. Может ли коэффициент корреляции равняться 3?

Коэффициент корреляции СВ Х на У найдём по формуле:

Предварительно находим

М(У²) = 1² · 0,6 + 3² · 0,4 = 0,6+3,6=4,2.

Следовательно: D(У)=4,2-1,8²=4,2-3,24=0,96.

σ(У)= =

Откуда находим коэффициент корреляции:

Коэффициент корреляции не может равняться 3, т.к. -1≤ ≤+1

10. Найти коэффициент корреляции СВ Х и V=-5+3X.

Предварительно составим ряд распределения СВ У и найдём среднее значение СВ V.

V	-5+3∙0=-5	-5+3∙1=-2	-5+3∙2=1
Pi	0,15	0,45	0,4

М(Х) = 1,25.

М(V) = -5 · 0,15 - 2 · 0,45 + 1 · 0,4 = -0,75-0,9+0,4=-1,25.

Находим коэффициент ковариации по формуле:

D(X)= 0,4875.

D(V) = D(-5+3X} = D(-5)+3²D(X) = 0+9∙D(X) = 9∙0,4875 = 4,3875.

σ(Х)=

σ(V)= =

Коэффициент корреляции СВ Х на V найдём по формуле:

7. Данные о месячной заработной плате 25 случайно отобранных рабочих завода приведены в таблице

Зарплата, ден. ед.	500 – 550	550 – 600	600 – 650	650 – 700	700 – 750
Число рабочих	10	5	4	4	2

Вычислите выборочную среднюю зарплату и несмещённую оценку стандартного отклонения.

Решение.

1. Составлен интервальный статистический ряд СВ X.

Находим максимальное и минимальное значения в выборке Х_max=750; Х_min =500. Находим размах варьирования: ω= Х_max- Х_min=750-500=250. Выборка разбита на 5 интервалов. Тогда длина одного интервала равна отношению размаха варьирования к числу интервалов . Подсчитаем количество всех значений выборки n=10+5+4+4+2=25.

Находим середины интервалов по формуле . Определим относитеьную частоту каждого интервала . В последнем столбике таблицы найдём плотность относительной частоты, разделив полученные значения относительных частот на длину интервала h=50.

Таким образом, интервальные статистические ряды частот распределения и относительных частот наблюдаемых значений СВ X составлены (таблица 1).

Таблица 1.

Номер частичного интервала	Границы интервала		Середина интервала X=(Xi+Xi+1)/2	Частота интервала Ni	Относительная частота Wi=ni/n	Плотность относительной частоты Wi/h
	Хi	Xi+1
1	500	550	525	10	0,4	0,008
2	550	600	575	5	0,2	0,004
3	600	650	625	4	0,16	0,0032
4	650	700	675	4	0,16	0,0032
5	700	750	725	2	0,08	0,0016

Cтроим полигон и гистограмму относительных частот (рис. 1)

Рис. 1

2. Найдём числовые характеристики выборки: выборочную среднюю зарплату, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение.

Выборочное среднее определяется по формуле: , а выборочная дисперсия по формуле . Для удобства вычислений составляем расчётную таблицу (таблица 2).

Таблица 2.

Номер частичного интервала	Середина интервала	Частота интервала
1	525	10	5250,00	275625	2756250,00
2	575	5	2875,00	330625	1653125,00
3	625	4	2500,00	390625	1562500,00
4	675	4	2700,00	455625	1822500,00
5	725	2	1450,00	525625	1051250,00
сумма		25	14775,00	1978125	8845625,00

Из таблицы получаем:

Выборочная дисперсия является смещённой оценкой генеральной дисперсии, а исправленная дисперсия – несмещённой оценкой.

Ответ: .

8. При опросе 150 человек 5 оказались безработными. С надёжностью 0,95 оценить процент безработных в городе. Сколько человек нужно опросить, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что доля всех безработных отличается от истинной не более чем на 0,2?

Решение.

а) Если случайные величины независимы, имеют математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X), ограниченные одним и тем же числом С, то для любого числа ε>0 выполняется неравенство:

В нашем случае n=150, С=5/150=0,03, Р=0,95. Тогда:

Поскольку

, то ,

⇒

б) В соответствие с неравенством

при С=5/150=0,03, Р=0,95, , получаем:

Поскольку

, то ,

⇒ человек.

Ответ: .