Вариант 2.

1. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет

1. Хотя бы один раз;

2. Более 1-го раза и менее 4-х раз. Решение

а) Обозначим через событие А – событие «герб выпал хотя бы один раз». Событию А противоположным является событие – «решка выпала четыре раза». Искомую вероятность находим по формуле Бернулли: Р_n(m) = · р^m · q^n–m.

Из условия задачи имеем: р = Р(А)=0,5, q = 0,5, m=4, n=4

По теореме умножения вероятностей независимых событий и свойству вероятности противоположного события получаем:

=Р₄(4)= ·0,5⁴·0,5⁰= ·0,0625·1= 0,0625=0,0625.

Р(А) = 1 – Р( ) = 1 –0,0625=0,9375.

б) Обозначим через событие В - событие, наступающее тогда, когда герб выпал более 1-го раза и менее 4-х раз. Это значит, что герб выпал 2 или 3 раза. Вероятность выпадения герба при одном подбрасывании равна р=0,5. Следовательно, вероятность выпадения орла q=1-р=0,5.

Вероятность того, что событие, появляющееся в каждом испытании с вероятностью р и не появляющееся с вероятностью q = 1 – р, появится в m испытаниях из n, находим по формуле Бернулли: Р_n(m) = · р^m · q^n–m. Искомую вероятность найдём из равенства:

Р(В)= Р₄(2)+ Р₄(3)

Определяем вероятности Р₄(2) и Р₄(3):

Р₄(2)= ·0,5²·0,5²= ·0,25·0,25 = 0,25·0,25=6∙0,25·0,25=0,375.

Р₄(3)= ·0,5³·0,5¹= ·0,125·0,5 = 0,125·0,5=4∙0,125·0,5=0,25.

Следовательно: Р(В)= Р₄(2)+ Р₄(3)=0,375+0,25=0,625.

Ответ: а) 0,9375; б) 0,625.

2. Из букв разрезной азбуки составлено слово «вероятность». Ребёнок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем часть их собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что

1. Буква «о» появится раньше «р»;

2. У него получится слово «верность». Решение

1) В слове «вероятность», состоящем из 11 букв, буква «т» встречается дважды, буква «0» встречается дважды. В соответствии с формулой

при n₁=2, n₂=2 получаем общее число возможных исходов:

Событию А - буква «о» появится раньше «р» благоприятствуют 9 исходов. Следовательно: Р(А)=

3. В слове «вероятность», состоящем из 11 букв, буква «т» встречается дважды, буква «0» встречается дважды. В соответствии с формулой

при n₁=2, n₂=2 получаем общее число возможных исходов:

Событию В – «получится слово «верность» благоприятствует четыре исхода (так как букв «о» и «т» по две). Следовательно: Р(В)=

Ответ: а) Р(А) ; б) Р(В) .

3. Группа студентов состоит из 5 отличников, 10 хорошо успевающих, 5 занимающихся слабо. Отличники на экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад два студента. Найти вероятность того, что

1. Среди них окажется хотя бы один слабый студент;

2. Были вызваны два хороших студента, если они получили две хорошие оценки. Решение:

1. Введём событие: А – среди вызванных наугад двух студентов окажется хотя бы один слабый студент. Этому событию противоположным является событие - среди вызванных наугад двух студентов не окажется ни одного слабого студента, т.е. вызваны 2 отличника или 2 хорошо успевающих или 1 отличник и 1 хорошо успевающий. Найдём сумму этих событий.

Общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно выбрать 2 студента из 20, т.е. числу сочетаний из 20 по 2 .

Определяем число исходов, благоприятствующих событию «вызваны 2 отличника». Два отличника из 5 можно выбрать способами.

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

.

При расчётах воспользуемся формулой: . Подставляя, находим:

Определяем число исходов, благоприятствующих событию «вызваны 2 хорошо успевающих студента». Два хорошо успевающих студента из 10 можно выбрать способами.

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

Определяем число исходов, благоприятствующих событию «вызваны 1 отличник и 1 хорошо успевающий студенты». Одного отличника из 5 можно выбрать способами. Одного хорошо успевающих студента из 10 можно выбрать способами.

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

Следовательно, Р( )=Р₁+Р₂+Р₃=

Тогда: Р(А)=1- Р( )=

2. Обозначим события:

В = {получены две хороших оценки};

Рассмотрим гипотезы:

H₁ = {приглашены два студента-хорошиста};

H₂ = {приглашены два студента, занимающихся слабо};

H₃ = {приглашён один слабо занимающийся студент и один студент-хорошист};

Находим вероятности рассмотренных гипотез

P(H₁)= ;

P(H₂) = ;

P(H₃) =

Условные вероятности события В (по условию):

P(В / H₁) = 0,5∙0,5=0,25; P(В / H₂) = ; P(В / H₃) = .

Вероятность того, что оба студента - хорошисты, находим по формуле Бейеса:

При i=1, n=3 находим Р(Н1/В):

Ответ: Р(А) = 0,5789; Р(Н₁/В)=0,6807.

4. 90% всех студентов сдают сессию с первого раза. Найти математическое ожидание и стандартное отклонение числа студентов, сдавших сессию с первого раза, из выбранных наугад четырёх. Найти функцию распределения указанной случайной величины и построить её график.

   Решение

Случайная величина Х числа студентов, сдавших сессию с первого раза, может принять следующие значения:

х₁ = 0; х₂ = 1; х₃ = 2; х₄ = 3; х₅ = 4.

Вероятность того, что событие А, появляющееся в каждом испытании с вероятностью р и не появляющееся с вероятностью q = 1 – р, появится в m испытаниях из n, находим по формуле Бернулли: Р_n(m) = · р^m · q^n–m.

Из условия задачи имеем: р = Р(А)=0,9, q = 1 – p = 1 – 0,9 = 0,1.

Определяем вероятности:

Р(Х = 0) = Р₄(0) = · 0,9⁰ · 0,1⁴ = 1 · 1 · 0,0001 = 0,0001;

Р(Х = 1) = Р₄(1) = · 0,9¹ · 0,1³ = 4 · 0,9 · 0,001 = 0,0036;

Р(Х = 2) = Р₄(2) = · 0,9² · 0,1² = 6 · 0,81 · 0,01 = 0,0486;

Р(Х = 3) = Р₄(3) = · 0,9³ · 0,1¹ = 4 · 0,729 · 0,1 = 0,2916;

Р(Х = 4) = Р₄(4) = · 0,9⁴ · 0,1⁰ = 1 · 0,6561 · 1 = 0,6561.

Закон (ряд) распределения случайной величины ξ запишется в виде:

x	0	1	2	3	4
p	0,0001	0,0036	0,0486	0,2916	0,6561

Построим многоугольник распределения (рис. 1).

Рис. 1

Для построения функции распределения дискретной случайной величины ξ воспользуемся тем свойством F(x), что при x_n–1 < x x_n

F(x) = p₁ + p₂ + … + p_n–1 = .

Для данной случайной величины Х функция распределения имеем:

при х 0: F(x) = 0;

при 0 < х 1: F(x) = 0,0001;

при 1 < х 2: F(x) = 0,0001 + 0,0036 = 0,0037;

при 2 < х 3: F(x) = 0,0037 + 0,0486 = 0,0523;

при 3 < х 4: F(x) = 0,0523 + 0,2916 = 0,3439;

при х > 4: F(x) = 0,3439 + 0,6561 = 1.

Следовательно, функция распределения имеет вид:

F(x) =

Найдём математическое ожидание по формуле: М(Х) = .

В нашем случае n = 5. Тогда имеем

М(Х) = 0 · 0,0001 + 1 · 0,0036 + 2 · 0,0486 + 3 · 0,2916 + 4 ∙ 0,6561= 0,0036+0,0972+0,8748+2,6244=3,6.

Для определения дисперсии применяем формулу: D(Х) = .

D(Х) = (0 – 3,6)² · 0,0001+(1 – 3,6)² · 0,0036+(2 – 3,6)² · 0,0486+(3 – 3,6)² · 0,2916+(4 – 3,6)² · 0,6561= = 0,000689+0,009499+0,018948+0,041138+1,241522=1,311795

Среднее квадратичное отклонение σ(Х) находим по формуле: σ(Х)= =

Построим график функции распределения F(x):

Ответ: М(Х) = 3,6; D(Х) = 1,3118, σ(Х)=1,1453.

5. Рост мужчины в некоторой местности является случайной величиной, распределённой по нормальному закону с дисперсией, равной 49 см². Считая, что средний рост равен 170 см, найти вероятность того, что трое наугад выбранный мужчина будет иметь рост:

1) от 172 до 177 см;