12.Оценка значимости уровня регрессии. Коэффициент детерминации.

Коэфф-т детерминац исп д/проверки кач-ва модели в целом. Показывает, какую долю общ вариации составляет объясненная регрессией вариация. Провер по F-крит =R2(n-k-1)/(1-R2)k, сравнив с F_табл(α = 0,05; n-k-1; k) по табл распр Фишера. F превыш табл - R² стат значим, модель адекватна. +На кажд шаге метода посл включ провер влияние включенн переменной на коэфф регр, если радикально измен все коэфф-ты регр, но R² без улучш, х вредный.

;

, что равносильно

Максимальное значение коэффициента R² равно единице. Это происходит в

том случае, когда линия регрессии точно соответствует всем наблюдениям, так

что для всех i и все остатки равны нулю. Тогда Var( ) = Var (у), Var (e) = О

R²=1.

Если в выборке отсутствует видимая связь между у и х, то коэффициент R²

будет близок к нулю.

13.Преобразование переменных в регрессионных моделях. Базовая процедура преобразования переменных. Логарифмические преобразования. Нелинейные регрессионные модели.

Уравнения вида и y=αx^β являются нелинейными, но в обоих случаях можно применить линейный регрессионный анализ. Уравнения являются линейными в двух смыслах. Правая часть линейна по переменным, если определить их в представленном виде, а не как функции. Следовательно, она состоит из взвешенной суммы переменных, а

параметры являются весами. Правая часть также линейна по параметрам, так как она состоит из взвешенной суммы параметров, а переменные х в данном случае являются весами. Для целей линейного регрессионного анализа важное значение имеет только

второй тип линейности.

Логарифмические преобразования

соотношение у = αх^β может быть преобразовано в линейное

уравнение путем использования логарифмов.

Используя правила применения логарифмов, уравнение можно преобразовать

в линейное путем логарифмирования его обеих частей. Если соотношение у = αх^β верно, то

logy = log αх^β = logα + βlogх

Если обозначить у' = log у, z=log x и α' = logα, то уравнение у = αх^β можно

переписать в следующем виде: y' = α' +βz

Нелинейная регрессия

Предположим, что переменная у связана с переменной х следующим

соотношением: y = α+ βх^ɤ + u

необходимо получить оценки α, β и ɤ, имея значения у и х. Для получения оценок параметров мы можем

применить принцип минимизации суммы квадратов отклонений

Процедуру лучше всего описать как последовательность шагов.

1. Принимаются некоторые правдоподобные исходные значения параметров.

2. Вычисляются предсказанные значения у по фактическим значениям х с

использованием этих значений параметров.

3. Вычисляются остатки для всех наблюдений в выборке и, следовательно,

S — сумма квадратов остатков.

4. Вносятся небольшие изменения в одну или более оценку параметров.

5. Вычисляются новые предсказанные значения у, остатки и S.

6. Если S меньше, чем прежде, то новые оценки параметров лучше прежних

и их следует использовать в качестве новой отправной точки.

7. Шаги 4, 5 и 6 повторяются вновь до тех пор, пока не окажется невозможным

внести такие изменения в оценки параметров, которые привели бы

к уменьшению S.

8. Делается вывод о том, что величина S минимизирована и конечные оценки

параметров являются оценками по методу наименьших квадратов.