Скалярное произведение векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе

На уроке мы рассматривали два случая: векторы на плоскости и векторы в трехмерном пространстве, при этом «плоские» и «пространственные» формулы были весьма похожи. Для скалярного произведения векторов всё точно так же! Прежде чем продолжать дальше, скажу, что все рассмотренные выше утверждения, теоремы и задачи (первого раздела данной статьи) справедливы как для плоскости, так и для пространства.

Второе важное замечание касается базиса. В данном разделе рассматриваются только ортонормированные базисы плоскости и пространства.

Повествование опять пойдёт параллельно – и для векторов плоскости и для пространственных векторов.

Скалярное произведение в координатах

Скалярное произведение векторов   и  , заданных в ортонормированном базисе  , выражается формулой 

Скалярное произведение векторов  , заданных в ортонормированном базисе  , выражается формулой 

То есть, скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов.

Пример 8

Найти скалярное произведение векторов: а)   и  б)   и  , если даны точки 

Решение:  а) Здесь даны векторы плоскости. По формуле  :

К слову: скалярное произведение получилось отрицательным, значит, угол между данными векторами является тупым. Пытливые умы могут отложить на плоскости векторы   от одной точки, и убедиться, что это действительно так.

б) А тут речь идёт о точках и векторах пространства. Сначала найдём векторы:   Надеюсь, эта простейшая задача у вас уже отработана.

По формуле   вычислим скалярное произведение:

К слову: скалярное произведение положительно, значит, угол между пространственными векторами   является острым.

Ответ: 

При некотором опыте скалярное произведение можно приноровиться считать устно.

Проверка векторов на ортогональность с помощью скалярного произведения

Вернёмся к важному случаю, когда векторы являются ортогональными. Напоминаю: векторы   и   ортогональны тогда и только тогда, когда  . В координатах данный факт запишется следующим образом:  (для векторов плоскости);  (для векторов пространства).

Пример 9

а) Проверить ортогональность векторов:   и   б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки   и  , если 

Решение:  а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Вычислим их скалярное произведение: , следовательно, 

б) Здесь речь идёт об обычных отрезках плоскости (в чём сходство и различия вектора и отрезка, я очень подробно разъяснил на первом уроке). Речь идёт об обычных отрезках, а задача всё равно решается через векторы. Найдём векторы:

Вычислим их скалярное произведение: , значит, отрезки   и   не перпендикулярны.

Обратите внимание на два существенных момента:

– В данном случае нас не интересует конкретное значение скалярного произведения, важно, что оно не равно нулю.

– В окончательном выводе «между строк» подразумевается: «если векторы не ортогональны, значит, соответствующие отрезки тоже не будут перпендикулярными». Геометрически это очевидно, поэтому можно сразу записывать вывод об отрезках:  «значит,отрезки   и   не перпендикулярны».

Ответ: а)  , б) отрезки   не перпендикулярны.

Пример 10

Даны четыре точки пространства  . Выяснить будут ли перпендикулярными следующие прямые: а)  ; б)  .

Это задача для самостоятельного решения. В условии требуется проверить перпендикулярность прямых. А решается задача снова через векторы по полной аналогии с предыдущим примером. Геометрически тоже всё очевидно – если удастся доказать перпендикулярность векторов, то из этого автоматически будет следовать перпендикулярность соответствующих прямых. Четыре вектора, которые вы найдёте, называют направляющими векторами прямых.

Полное решение и ответ в конце урока.

Мощь аналитической геометрии – в векторах. Так, в рассмотренных примерах, с помощью скалярного произведения можно установить не только ортогональность векторов самих по себе, но и перпендикулярность отрезков, прямых. И это приоткрылась только малая часть красоты предмета.

Завершая разговор об ортогональности, разберу ещё одну небольшую задачу, которая время от времени встречается на практике:

Пример 11

При каком значении   векторы   будут ортогональны?

Решение: По условию требуется найти такое значение параметра  , чтобы данные векторы были ортогональны. Два вектора пространства   ортогональны тогда и только тогда, когда  .

Дело за малым, составим уравнение:

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

Решаем простейшее линейное уравнение:

Ответ: при  В рассмотренной задаче легко выполнить проверку, в исходные векторы   подставляем полученное значение параметра  :

И находим скалярное произведение:  – да, действительно, при   векторы   ортогональны, что и требовалось проверить.

Пример 12

При каком значении   скалярное произведение векторов   будет равно –2?

Это простенький пример с векторами плоскости. Для самостоятельного решения.

Немного усложним задачу:

Скалярное произведение в координатах, если векторы заданы суммами векторов

Пример 13

Найти скалярное произведение векторов  , если 

Решение: Напрашивается трафаретное решение предыдущего раздела, где мы составляли произведение и раскрывали скобки:  . Но сейчас нам неизвестны длины векторов   и угол между ними. Зато известны координаты. Решение на самом деле будет очень простым:

Найдём вектор  : Найдём вектор  : Проделаны элементарные действия с векторами, которые рассмотрены в конце урокаВекторы для чайников.

Вычислим скалярное произведение:

Ответ: 

Что и говорить, иметь дело с координатами значительно приятнее.

Пример 14

Найти скалярное произведение векторов   и  , если 

Это пример для самостоятельного решения. Здесь можно использовать ассоциативность операции, то есть не считать  , а сразу вынести тройку за пределы скалярного произведения и домножить на неё в последнюю очередь. Решение и ответ в конце урока.

В заключение параграфа провокационный пример на вычисление длины вектора:

Пример 15

Найти длины векторов  , если 

Решение: Снова напрашивается путь из предыдущего раздела:  , и опять мы не знаем длин векторов и угла между ними. Решение элементарно:

Найдём вектор  :

И его длину по тривиальной формуле  :

Скалярное произведение здесь вообще не при делах!

Как не при делах оно и при вычислении длины вектора  :  Стоп. А не воспользоваться ли очевидным свойством длины вектора? Что можно сказать о длине вектора  ? Данный вектор длиннее вектора   в 5 раз. Направление противоположно, но это не играет роли, ведь разговор о длине. Очевидно, что длина вектора   равна произведению модуля числа   на длину вектора  :   – знак модуля «съедает» возможный минус числа  .

Таким образом:

Ответ: 

Формула косинуса угла между векторами, которые заданы координатами

Теперь у нас есть полная информация, чтобы ранее выведенную формулу косинуса угла между векторами   выразить через координаты векторов  :

Косинус угла между векторами плоскости   и  , заданными в ортонормированном базисе  , выражается формулой: .

Косинус угла между векторами пространства  , заданными в ортонормированном базисе  , выражается формулой: 

Пример 16

Даны три вершины треугольника  . Найти   (угол при вершине  ).

Решение: По условию чертёж выполнять не требуется, но всё-таки: Требуемый угол   помечен зелёной дугой. Сразу вспоминаем школьное обозначение угла:   – особое внимание на среднюю букву    – это и есть нужная нам вершина угла. Для краткости можно было также записать просто  .

Из чертежа совершенно очевидно, что угол   треугольника совпадает с углом между векторами   и  , иными словами:  .

Проведённый анализ желательно научиться выполнять мысленно.

Найдём векторы:

Вычислим скалярное произведение:

И длины векторов:

Косинус угла:

Именно такой порядок выполнения задания рекомендую чайникам. Более подготовленные читатели могут записывать вычисления «одной строкой»:

Вот и пример «плохого» значения косинуса. Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе.

Найдём сам угол:

Если посмотреть на чертёж, то результат вполне правдоподобен. Для проверки угол также можно измерить и транспортиром. Не повредите покрытие монитора =)

Ответ: 

В ответе не забываем, что спрашивалось про угол треугольника (а не про угол между векторами), не забываем указать точный ответ:   и приближенное значение угла:  , найденное с помощью калькулятора.

Те, кто получил удовольствие от процесса, могут вычислить углы  , и убедиться в справедливости канонического равенства 

Пример 17

В пространстве задан треугольник координатами своих вершин  . Найти угол между сторонами   и 

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока

Небольшой заключительный раздел будет посвящен проекциям, в которых тоже «замешано» скалярное произведение: