1Вопрос

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения.

Точки разрыва

Если условие, входящее в определение непрерывности функции в некоторой точке, нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв. Другими словами, если   — значение функции   в точке  , то предел такой функции (если он существует) не совпадает с  . На языке окрестностей условие разрывности функции   в точке  получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки   области значений функции  , что как бы мы близко не подходили к точке   области определения функции  , всегда найдутся такие точки, чьи образы будут за пределами окрестности точки  .

Устранимые точки разрыва

Если предел функции существует, но он не совпадает со значением функции в данной точке:

тогда точка   называется точкой устранимого разрыва функции   (в комплексном анализе — устранимая особая точка).

Если «поправить» функцию   в точке устранимого разрыва и положить  , то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности, что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.

Локальные

• Функция, непрерывная в точке  , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.

• Если функция   непрерывна в точке   и   (или  ), то   (или  ) для всех  , достаточно близких к  .

• Если функции   и   непрерывны в точке  , то функции   и   тоже непрерывны в точке  .

• Если функции   и   непрерывны в точке   и при этом  , то функция   тоже непрерывна в точке  .

• Если функция   непрерывна в точке   и функция   непрерывна в точке  , то их композиция   непрерывна в точке  .

Глобальные

• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.

• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.

• Областью значений функции  , непрерывной на отрезке  , является отрезок   где минимум и максимум берутся по отрезку  .

• Если функция   непрерывна на отрезке   и   то существует точка   в которой  .

• Если функция   непрерывна на отрезке   и число   удовлетворяет неравенству   или неравенству   то существует точка   в которой  .

• Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.

• Монотонная функция на отрезке   непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами   и  .

• Если функции   и   непрерывны на отрезке  , причем   и   то существует точка   в которой   Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.