3. Установив ранг матрицы, указать количество базисных и свободных переменных.

Ранг найденной матрицы будет соответствовать количеству базисных переменных. (Это следует из определения ранга: ранг матрицы – наивысший порядок минора, отличного от нуля).

Тогда понятно, что количество свободных переменных есть разность общего количества переменных и ранга матрицы.

Ранг матрицы 3 2 2 2 2 rkA = 2

0 0 3 -3 -9

Нетрудно заметить, что наивысший порядок невырожденного (отличного от нуля) минора (выделен красными скобками) равен двум.

Этот минор является базисным. Тогда переменные, соответствующие столбцам, входящим в минор, также будут базисными.

Количество свободных переменных: n – rkA = 5 {общее количество переменных} - 2 = 3.

То есть базисные переменные в данном случае - х₂, х₃

свободные переменные - х₁, х₄, х₅

4. Привести базисный минор к диагональному виду.

Привести минор к диагональному виду означает обратить все элементы в миноре, кроме тех, что стоят на главной диагонали, в нуль. Это делается по правилу прямоугольника, однако, в отличие от вышеизложенных процедур, ход идет не сверху вниз, а снизу вверх. Следует помнить, что опорный элемент всегда находится на главной диагонали прямоугольника.

В данном случае:

3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 0 4 8

∼ ∼

0 0 3 -3 -9 0 0 1 -1 -3 0 0 1 -1 -3

После того, как базисный минор приведен к диагональному виду, можно перейти к следующему пункту.

5. Составление общей системы решений.

Составить общую систему – значит выразить базисные переменные через свободные и записать уже выраженные базисные переменные вместе со свободными в единую систему. Именно поэтому базисный минор приводится к диагональному виду: действительно, помня о том, что строки матрицы соответствуют уравнениям, а столбцы – переменным, при переходе от матрицы к системе уравнений получится следующее:

3х₁ + 2х₂ + 4х₄ + 8х₅ = 0,

х₃ - х₄ - 3х₅ = 0.

То есть в результате приведения базисного минора к диагональному виду в каждом уравнении системы получится только ОДНА базисная переменная. Соответственно каждую базисную переменную из своего уравнения не является сложной процедурой.

Для данной системы уравнений получается следующее:

х₂ = - 8х₅ - 4х₄ - 3х₁),

х₃ = 3х₅ + х₄,

х₁ = х₁,

х₄ = х₄,

х₅ = х₅.

Запись х₅ = х₅ означает, что переменная х₅ (аналогично х₄ и х₁) является свободной.

6. Указание фундаментальной системы решений.

Выше приведена общая система решений. Однако часто в заданиях требуется привести фундаментальную систему решений. Для того, чтобы это сделать, необходимо составить из свободных переменных невырожденную матрицу (то есть такую, у которой определитель отличен от нуля) и выбирать наборы переменных согласно столбцам этой матрицы.

На словах это звучит не совсем понятно с первого раза, поэтому демонстрируем на нашем примере.

Элементы матрицы выбираются произвольно, однако следует помнить о том, что матрица должна быть невырождена.

х₁ х₄ х₅

х₁ 1 1 1

х₄ 0 1 1

х₅ 0 0 1

Например, составлена такая верхнетреугольная матрица. Легко проверить, что она невырождена (находим определитель – перемножаем все элементы, стоящие на главной диагонали и получаем отличную от нуля единицу).

Теперь значения элементов из каждого столбца подставляются в общую систему решений:

первый столбец второй столбец третий столбец

х₁ = 1 х₁ = 1 х₁ = 1

х₂ = -1,5 х₂ = -3,5 х₂ = -7,5

х₃ = 0 х₃ = 1 х₃ = 4

х₄ = 0 х₄ = 1 х₄ = 1

х₅ = 0 х₅ = 0 х₅ = 1

Проверить эти наборы решений, подставив их в ИСХОДНУЮ систему уравнений. Каждый набор подставляется в каждое уравнение. Только в случае совпадения значений при использовании ВСЕХ наборов во ВСЕХ уравнениях можно считать эти наборы окончательным ответом. Ответ удобнее записывать в векторном виде:

{1 ; -1,5 ; 0; 0; 0} {1 ; -3,5 ; 1; 1; 0} {1 ; -7,5 ; 4 ; 1; 1}