Белорусский
государственный университет
Физический факультет
Решение систем однородных уравнений методом Гаусса.
Минск, 2012
Решение систем однородных уравнений.
Системы линейных однородных уравнений с несколькими переменными можно решать методом Гаусса. Он применим для систем с любым количеством переменных.
Здесь будет рассмотрен алгоритм решения методом Гаусса на примере одной системы уравнений.
П р и м е р. Решить систему уравнений:
3х1 + 2х2 + 2х3 + 2х4 + 2х5 = 0,
3х1 + 2х2 + 3х3 + х4 – х5 = 0,
6х1 + 4х2 + 3х3 + 5х4 + 7х5 = 0,
6х1 + 4х2 + 5х3 + 3х4 + х5 = 0.
1. Записать матрицу системы.
Матрица системы – это матрица, элементами которых являются коэффициенты при переменных, стоящих в уравнениях. Каждая строка соответствует уравнению, входящему в систему, а столбец – соответствующей по порядку переменной. Именно поэтому над строками можно проводить операции (ведь без разницы, в каком порядке записаны уравнения в системе), а над столбцами – нет (тогда получается, что вы будете менять местами коэффициенты у переменных, а это уже влияет на решение системы).
В данном случае матрица системы имеет вид:
3 2 2 2 2
3 2 3 1 -1
6 4 3 5 7
6 4 5 3 1
2. Привести ее к трапециевидному виду (или к треугольному в случае квадратной матрицы).
Трапециевидная матрица – такая матрица, у которой элементы под диагональю, выходящей из элемента, стоящего в первой строке и в первом столбце, равны нулю. Для того, чтобы заменить элементы матрицы нулями без последствий для решения системы, применяется правило прямоугольника.
Правило прямоугольника:
Дана некоторая матрица, например, 3х3:
2 5 1
1 3 7
4 2 1
Необходимо привести ее к верхнетреугольному виду – то есть, обратить в нуль все элементы, стощие под главной диагональю.
1. Выбирается опорный элемент. Строка, в которой находится этот элемент, остается без изменений; элементы столбца, в котором находится этот элемент обращаются в нуль (кроме, разумеется, самого опорного элемента).
2 5 1
0
0
Вообще говоря, опорный элемент может быть выбран абсолютно произвольно. Здесь же он выбирается исходя из того, какие именно элементы требуется обратить в нуль (здесь требуется обратить в нуль элементы, стоящие под главной диагональю; как видно, два из них уже обращено в нуль).
Остальные элементы пересчитываются так:
в ИСХОДНОЙ матрице мысленно строится прямоугольник, в котором опорный элемент и элемент, который необходимо пересчитать (выделен синим цветом), находятся на главной диаогнали прямоугольника (под главной диагональю понимается диагональ, исходящая из левой верхней вершины прямоугольника):
2
5
1
1 3 7
4 2 1 элементы, выделенные серым цветом, используются только для пересчета;
затем из произведения элементов, стоящих на главной диагонали, вычитается произведение элементов, стоящих на побочной диагонали: 2·3 - 1·5 = 1;
результат вычитания записывается на место пересчитываемого элемента;
Пересчитан один элемент:
2 5 1
0 1
0
Аналогично пересчитываются все оставшиеся элементы (кроме, как уже было отмечено выше, элементов, стоящей в строке и столбце, содержащей опорный элемент – строка переписывается неизменно, а элементы столбца (кроме самого опорного) зануляются).
Таким образом пересчитать матрицу системы:
3 2 2 2 2
0 0 3 -3 -9
0 0 -3 3 9
0 0 3 -3 -9
Такую процедуру проводят до тех пор, пока матрица не будет приведена к трапециевидному виду. То есть, если после первого пересчета не образовались пропорциональные (а еще лучше, равные) строки или еще недостаточно условий для того, чтобы матрицу называть трапециевидной, аналогичная процедура проводится далее. В следующей строке выбирается новый опорный элемент и остальные элементы пересчитываются по правилу прямоугольника аналогично. Строка и столбец, содержащие предыдущий опорный элемент, переписываются в том виде, в котором они были после предыдущего пересчета (то есть строка в том же виде, а в столбце все элементы, кроме предыдущего опорного равны нулю). Если в результате предыдущего пересчитывания образовались строки, полностью состоящие из нулей, они уничтожаются.
В том случае (который наблюдается тут), если образовались пропорциональные (или одинаковые строки), из них остается только одна, остальные уничтожаются.
Здесь имеется три абсолютно одинаковые строки. Действительно, если разделить все элементы третьей строки на -1, получится три одинаковые строки:
3 2 2 2 2
0 0 3 -3 -9
0 0 3 -3 -9
0 0 3 -3 -9
Из одинаковых строк остается только одна, остальные уничтожаются. Тогда получим следующее:
3 2 2 2 2
0 0 3 -3 -9
Может возникнуть вопрос: по какой причине уничтожаются все, кроме одной, одинаковые строки? Следует помнить, что строки в матрице при решении системы методом Гаусса соответствуют уравнениям системы. То есть, одинаковые строки эквивалентны одинаковым уравнениям в системе. Точно так же, как нет необходимости в системе несколько раз одно и то же уравнение, нет необходимости сохранять в матрице все одинаковые строки – достаточно только одной.
Представленная матрица уже является трапециевидной (если проводить диагональ (выделена красным) из элемента, стоящего в первой строке первого столбца, видно, что элементы, находящиеся под ней (в данном случае он один) равны нулю):
3 2 2 2 2
0 0 3 -3 -9