11. Уравнения касательной и нормали к кривой
Р
ассмотрим
кривую
(рис. 3). Возьмем на этой кривой точку
.
Запишем уравнение касательной к кривой
в этой точке, предполагая, что касательная
не параллельна ось ординат. Зная
геометрический смысл производной,
отметим, что угловой коэффициент
касательной равен значению производной
в точке касания:
Поэтому уравнение
касательной,
проходящей через точку
имеет вид:
(14)
Прямая, проходящая через данную точку, перпендикулярно к касательной в этой точке, называется нормалью к кривой в данной точке.
Из определения
нормали следует, что её угловой коэффициент
связан с угловым коэффициентом касательной
соотношением:
(15)
Следовательно, уравнение нормали к кривой в точке имеет вид:
(16)
П р и м е р 13.
Написать уравнения касательной и нормали
к кривой а)
в точке
б)
в точке
Решение.
а) Найдем производную
функции:
Угловой коэффициент касательной к
кривой равен
Следовательно, уравнение касательной
(формула 14) имеет вид:
или
Угловой коэффициент нормали к кривой
равен:
Следовательно, уравнение нормали
(формула 16) имеет вид:
или
б) Из уравнения
кривой найдем производную:
т.е.
Следовательно,
Тогда
и уравнение касательной:
или
Тогда
и уравнение нормали:
или
12. Варианты индивидуальных заданий для самостоятельной работы
З а д а н и е 1. Найти производную функции по определению.
1. |
|
11. |
|
21. |
|
2. |
а)
|
12. |
а) |
22. |
а)
|
3. |
а)
|
13. |
а)
|
23. |
а)
|
4. |
а)
|
14. |
а)
|
24. |
а)
|
5. |
а)
|
15. |
а)
|
25. |
а)
|
6. |
|
16. |
а)
|
26. |
|
7. |
а)
|
17. |
а)
|
27. |
а)
|
8. |
а)
|
18. |
а)
|
28. |
а) ;
|
9. |
а)
|
19. |
а)
|
29. |
а)
|
10. |
а)
|
20. |
а)
|
30. |
а)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
З а д а н и е 2. Вычислить производную функции пользуясь таблицей производных и правилами дифференцирования.
1. |
|
16. |
|
2. |
|
17. |
|
3. |
|
18. |
|
4. |
|
19. |
|
5. |
|
20. |
|
6. |
|
21. |
|
7. |
|
22. |
|
8. |
|
23 |
|
9. |
|
24. |
|
10. |
|
25 |
|
11. |
|
26. |
|
12. |
|
27. |
|
13. |
|
28. |
|
14. |
|
29. |
|
15. |
|
30 |
|
З а д а н и е 3. Вычислить производную сложной функции.
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
16. |
|
17. |
|
18. |
|
19. |
|
20. |
|
21. |
|
22. |
|
23. |
|
24. |
|
25. |
|
26. |
|
27. |
|
28. |
|
29. |
|
30. |
|
З а д а н и е 4. Найти производную функции, используя логарифмическую производную.
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
16. |
|
17. |
|
18. |
|
19. |
|
20. |
|
21. |
|
22. |
|
23. |
|
24. |
|
25. |
|
26. |
|
27. |
|
28. |
|
29. |
|
30. |
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
З а д а н и е 5. Найти производную неявно заданной функции.
1. |
а) б) |
16. |
а) б) |
2. |
а) б) |
17. |
а) б) |
3. |
а) б) |
18. |
а) б) |
4. |
а) б) |
19. |
а) б) |
5. |
а) б) |
20. |
а) б) |
6. |
а) б) |
21. |
а) б) |
7. |
а) б) |
22. |
а) б) |
8. |
а) б) |
23. |
а) б) |
9. |
а) б) |
24. |
а) б) |
10. |
а) б) |
25. |
а) б) |
11. |
а) б) |
26. |
а) б) |
12. |
а) б) |
27. |
а) б) |
13. |
а) б) |
28. |
а) б) |
14. |
а) б) |
29. |
а) б) |
15. |
а) б) |
30. |
а) б) |
;
;
;
;
.
;
;
.
;
.
;
.
;
.
;
;
.
;
.
;
.
;
.
;
;
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
;
;
З а д а н и е 6. Найти
производные
функций, заданных в параметрическом
виде.
1. |
а) |
16. |
а) |
2. |
а) |
17. |
а) |
3. |
а) |
18. |
а) |
4. |
а) |
19. |
а) |
5. |
а) |
20. |
а) |
6. |
а) |
21. |
а) |
7. |
а) |
22. |
а) |
8. |
а) |
23. |
а) |
9. |
а) |
24. |
а) |
10. |
а) |
25. |
а) |
11. |
а) |
26. |
а) |
12. |
а) |
27. |
а) |
13. |
а) |
28. |
а) |
14. |
а) |
29. |
а) |
15. |
а) |
30. |
а) |
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
З а д а н и е 7. Найти производную второго порядка
1. |
а) |
16. |
а) |
2. |
а) |
17. |
а) |
3. |
а) |
18. |
а) |
4. |
а) |
19. |
а) |
5. |
а) |
20. |
а) |
6. |
а) |
21. |
а) |
7. |
а) |
22. |
а) |
8. |
а) |
23. |
а) |
9. |
а)
|
24. |
а) |
10. |
а) |
25. |
а) |
11. |
а) |
26. |
а) |
12. |
а) |
27. |
а) |
13. |
а) |
28. |
а) |
14. |
а)
|
29. |
а) |
15. |
а)
|
30. |
а) |
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
З а д а н и е 8. Записать дифференциал функции.
1. |
|
16. |
|
2. |
|
17. |
|
3. |
|
18. |
|
4. |
|
19. |
|
5. |
|
20. |
|
6. |
|
21. |
|
7. |
|
22. |
|
8. |
|
23. |
|
9. |
|
24. |
|
10. |
|
25. |
|
11. |
|
26. |
|
12. |
|
27. |
|
13. |
|
28. |
|
14. |
|
29. |
|
15. |
|
30. |
|
З а д а н и е 9.
Записать уравнения касательной и нормали
к кривой в точке
.
1. |
а) |
2. |
а) |
3. |
а) |
4. |
а) |
5. |
а) |
6. |
а) |
7. |
а) |
8. |
а) |
9. |
а) |
10. |
а) |
11. |
а) |
12. |
а) |
13. |
а) |
14. |
а) |
15. |
а) |
16. |
а) |
17. |
а) |
18. |
а) |
19. |
а) |
20. |
а) |
21. |
а) |
22. |
а) |
23. |
а) |
24. |
а) |
25. |
а) |
26. |
а) |
27. |
а) |
28. |
а) |
29. |
а) |
30. |
а) |
;
б)
;
б)
;
б)
;
б)
;
б)
;
б)
;
б)
;
б)
;
б)
;
б)
;
б)
;
б)
;
б)
;
б)
;
б)
;
б)
;
б)
;
б)
;
б)
;
б)
;
б)
;
б)
;
б)
;
б)
;
б)
;
б)
;
б)
;
б)
;
б)
;
б)
Библиографический список
Ф и х т е н г о л ь ц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Ф и х т е н г о л ь ц. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. Т. 1. 616 с.
П и с к у н о в Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. / Н. С. П и с к у н о в. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1996. Т. 1. 416 с.
П и с ь м е н н ы й Д. Т. Конспект лекций по высшей математике / Д. Т. П и с ь м е н н ы й. М.: Айрис − пресс, 2006. Ч. 1. 288 с.
В ы г о д с к и й М. Я. Справочник по высшей математике/ М. Я. В ы г о д с к и й. М.: Астрель, 2005.
Б а р а н о в а Е. С., В а с и л ь е в а Н. В., Ф е д о т о в В. П.. Практическое пособие по высшей математике. Типовые расчеты. Учебное пособие./ Е. С. Б а р а н о в а, Н. В. В а с и л ь е в а, В. П. Ф е д о т о в. – СПб.: Питер, 2009. – 320 с.
К у з н е ц о в а Л. Г. Элементы математического анализа для экономистов: Учебное пособие./ Л. Г. К у з н е ц о в а – Омск: Изд-во Омского экономического института. 2005. – 184 с.