Производные высших порядков
Если функция
имеет конечную производную на некотором
числовом промежутке, так что эта
производная представляет новую функцию
от x,
то может оказаться что эта функция в
свою очередь имеет производную. Её
называют производной второго порядка
или второй производной функции
и обозначают одним из символов:
В п. 2 мы говорили,
что скорость движения точки v
равна производной от пройденного пути
по времени t
, а ускорение есть производная от скорости
по времени. Значит, ускорение
является второй производной от пути
по времени t.
Подобным образом от второй производной можно перейти к третьей, четвертой производной.
О п р е д е л е н и
е. Производной
n-го
порядка или
n-ой
производной от функции
называется производная (первого порядка)
от производной (n-1)-го
порядка и обозначается в виде:
Порядок производной берётся в скобки для того, чтобы его нельзя было принять за показатель степени. Производные четвертого, пятого и высших порядков обозначаются так же с помощью римских цифр без скобок.
П р и м е р 8. Найти
производную шестого порядка от функции
Решение.
Если
то
П р и м е р 9. Найти
производную второго порядка от функции
Решение.
П р и м е р 10. Найти
третью производную функции
Решение.
Производная второго порядка от функции, заданной в параметрическом виде находится по формуле:
(11)
П р и м е р 11. Найти
вторую производную от функции
,
заданной параметрическими уравнениями
Решение.
Сначала найдем
первую производную
по правилу
дифференцирования функции, заданной
параметрически (формула 10)
Затем по
формуле (11), имеем:
Дифференциал
Пусть функция
является дифференцируемой на некотором
промежутке. По определению производной
(формула 7)
Следовательно,
отношение
при Δx
→ 0 отличается от производной
на величину бесконечно малую:
,
где
при
.
Умножая все
члены полученного равенства на Δx
, получим
.
Таким образом, приращение Δy функции состоит из двух слагаемых, первое из которых есть (при f ´(x) ≠ 0) главная часть приращения, линейная относительно Δx. Произведение f ´(x)·Δx называют дифференциалом функции и обозначают через dy или df(x).
О п р е д е л е н и е. Дифференциалом функции в точке х называется главная часть ее приращения равная произведению производной функции на приращение аргумента:
-
(12)
Дифференциал dx независимой переменной x совпадает с приращением Δx, поэтому формулу (12) можно записать так:
-
(13)
Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.
Р
ассмотрим
на графике функции
некоторую точку М(x,y)
(рис.2), проведем в этой точке касательную
к кривой
и обозначим через α
угол, который
образует касательная с положительным
направлением оси
Ox.
Дадим независимой
переменной приращение Δx,
тогда функция получит приращение Δy.
На кривой это точка
.
На чертеже
отметим точки Т
и N,
Из прямоугольного треугольника MNT,
имеем:
Согласно геометрическому смыслу
производной
поэтому
Учитывая, что
получим
(по формуле 13).
Последнее равенство означает, что
дифференциал функции y
= f(x),
соответствующий данным значениям x
и Δx,
равен приращению ординаты касательной
к кривой
в данной точке x.
В этом состоит геометрический
смысл
дифференциала.
Понятие дифференциала используется в приближенных вычислениях и при решении дифференциальных уравнений.
П р и м е р 12. Вычислить дифференциалы функций:
а)
б)
Решение.
а) Используя
формулу (13), имеем
б) Используя
формулу (13), имеем
