5. Использование логарифмической производной

Выражение , являющееся производной по x от натурального логарифма данной функции , называется логарифмической производной. Применение логарифмической производной значительно упрощает дифференцирование в случаях, когда

1. сложная функция является показательно-степенной, т.е. у которой и основание и показатель степени являются функциями от x: .

2. функция представлена в виде произведения большого количества сомножителей.

Применение логарифмической производной состоит из следующих приёмов:

1. Необходимо прологарифмировать функцию :

2. Преобразовать правую часть записанного равенства, пользуясь свойствами логарифмов:

3. Продифференцировать полученное равенство, учитывая, что

4. Выразить из этого равенства искомое выражение y´, учитывая, что

П р и м е р 4. Найти производные показательно-степенных функций:

а) б)

Решение.

а) Логарифмируя функцию и используя свойства логарифмов, получаем: Дифференцируя полученное равенство по x, будем иметь: Умножая на y и подставляя вместо y, получаем: .

б) Логарифмируя функцию и используя свойства логарифмов, получаем: или . Дифференцируем полученное равенство по переменной x:

Умножая на y и подставляя вместо y, получаем:

П р и м е р 5. Найти производную функции используя логарифмическую производную.

Решение.

Логарифмируя функцию и используя свойства логарифмов, получим: Дифференцируя полученное равенство по x, будем иметь:

Умножая на y и подставляя вместо y, получим:

7. Неявная функция и её дифференцирование

Пусть значения двух переменных связаны между собой некоторым уравнением, которое символически может быть обозначено в виде:

. (7)

Если функция определённая в некотором промежутке, при подстановке в это уравнение, обращает его в тождество, то уравнение задаёт неявную функцию. Термины «явная функция» и «неявная функция» характеризуют способ задания функции. Каждая явная функция может быть представлена как неявная в виде

Производную неявно заданной функции можно найти, продифференцировав уравнение (7) (при этом у считается функцией от х) и разрешая затем полученное уравнение относительно

П р и м е р 6. Найти производные функций, заданных неявно уравнениями:

а) б)

Решение.

а) Если y является функцией от x, то это равенство является тождеством. Дифференцируя обе части этого тождества по х, считая, что y является функцией, зависящей от х, и, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции (правило 4), получим:

Преобразовывая полученное равенство, выразим производную y´:

б) Продифференцируем обе части уравнения, рассматривая у как функцию от х, получим: Выразим производную y´:

7. Производная функции, заданной в параметрическом виде

Пусть функция y от x задана параметрическими уравнениями:

где (9)

Предположим, что функции x(t), y(t) имеют производные. Тогда производную y´ от функции, заданной параметрически, не находя выражения непосредственной зависимости y от x, можно найти по формуле:

(10)

П р и м е р 7. Функция y от x задана параметрическими уравнениями: где 0 ≤ t ≤ π. Найти угловой коэффициент касательной к кривой в точке

Решение.

Угловой коэффициент касательной к кривой в точке равен значению производной в этой точке. По формуле (10), учитывая, что получим: Следовательно, угловой коэффициент касательной к кривой в точке равен .