Простейшие правила дифференцирования
Пусть у = у(х) – некоторая функция, c = const. Постоянный множитель может быть вынесен за знак производной:
Пусть функции u и v имеют производные в некоторой точке. Тогда в этой же точке производная суммы либо разности функций равна сумме либо разности производных:
Пусть функции u и v имеют производные в некоторой точке.
Тогда в этой же
точке производная произведения двух
дифференцируемых функций существует
и равна произведению производной первой
функции на вторую плюс произведение
первой функции на производную второй
функции:
4. Пусть функции u
и v
имеют производные в некоторой точке и
кроме того v
не равно нулю. Тогда в этой же точке
производная дроби (т.е. частного от
деления двух функций) существует и равна
дроби, у которой знаменатель есть квадрат
знаменателя данной дроби, а числитель
есть разность между произведением
знаменателя на производную числителя
и произведением числителя на производную
знаменателя:
П р и м е р 2. Найти производные функций:
а)
б)
в)
Решение.
а) Учитывая, что
постоянный множитель может быть вынесен
за знак производной и что производная
суммы либо разности функций равна сумме
либо разности производных (правила
дифференцирования 1 и 2), получим:
(воспользуемся
таблицей производных) =
б) Учитывая правило 3, получим:
в) Учитывая правило 4, получим:
Производная сложной функции
Пусть
и
,
тогда
сложная функция с промежуточным
аргументом
и независимым аргументом х.
Если функция
имеет производную
в точке х,
а функция
имеет производную
в соответствующей точке
,
то сложная функция
имеет производную
в точке х,
которая находится по формуле:
(6)
Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.
П р и м ер 3. Найти производные сложных функций:
а)
б)
в)
г)
Решение.
а) Функция
является сложной, здесь
и
Другими словами, функция такова, что
она является степенью
Найдем производную степени (таблица
производных): это показатель степени,
умноженный на то, что в степень возводится,
в степени на единицу меньше. Поскольку
в степень возводится функция, зависящая
от x,
необходимо предыдущий результат умножить
на производную sin
x
(формула 6). Таким образом, получим:
Итак,
б) Данная функция
является сложной. Показатель степени
у показательной функции это
а аргументом тригонометрической функции
является
Применяя последовательно правило
дифференцирования сложной функции
(формула 6),
получим:
Итак,
в) Применяя
последовательно правило дифференцирования
сложной функции (формула 6), получим:
.
Итак,
г) Найдем производную
данной функции по правилу дифференцирования
частного двух функций (правило 4):
Функции
и
сложные, найдем их производные по правилу
дифференцирования сложной функции
(формула 6):
,
.
Подставим вычисленные производные в формулу для производной частного и запишем производную от заданной функции в виде:
