Задачи, раскрывающие смысл операции деления
Следует отметить, что существует два типа задач на деление – задачи на деление по содержанию и задачи на деление на равные части, которые являются обратными по отношению друг к другу. В том и в другом случае необходимо данное множество разбить на попарно непересекающиеся подмножества, в каждом из которых содержится одинаковое число элементов. Различие же этих двух видов деления особенно ярко проявляется при практическом выполнении заданий: разделить указанное число предметов на указанное число частей или разделить указанное число предметов несколько предметов в каждой части.
Рассмотрим подготовительную работу при обучении решению задач на деление. Пусть надо разложить 12 яблок по 3 на каждую тарелку. Нужно узнать, сколько тарелок при этом потребуется. Практическое решение задачи состоит в следующем: берем тарелку и выкладываем на нее 3 яблока; если яблоки остались, берем еще одну тарелку и снова кладем на нее 3 яблока. Так поступаем до тех пор, пока все яблоки не будут разложены на тарелки. Остается подсчитать, сколько тарелок нам потребовалось. Подводя итог проделанной работы, учитель показывает, как можно записать проделанную операцию на математическом языке: 12 : 3 = 4 и вводит термины «делимое», делитель», «частное».
Рассмотрим, как практическим путем решается задача на деление на части. Пусть даны 8 яблок, которые необходимо разложить поровну на 2 тарелки. Нужно узнать, сколько яблок будет на каждой тарелке. Практическим путем задача решается таким образом: на каждую из тарелок кладем по одному яблоку; если яблоки остались, то на каждую тарелку кладем еще по одному яблоку, и так поступаем до тех пор, пока все яблоки не будут разложены на тарелки. Для того чтобы ответить на вопрос задачи, можно посчитать, сколько яблок оказалось на каждой тарелке, а можно поступить по-другому: вспомнить, сколько раз выполнялась операция по раскладыванию яблок по тарелкам.
Рассмотрим задачу на деление на равные части: «12 пассажиров поровну разместили в 3 автомобиля. Сколько пассажиров в каждом автомобиле?» (111, 2 класс)
Изобразим пассажиров квадратиками. Их надо разбить на 3 равночисленные группы. При этом надо узнать, сколько элементов будет в каждой группе.
Пересчетом находим, что в каждой группе будет по 4 элемента, т.е. в каждом автомобиле 4 пассажира. При решении задачи мы разделили 12 на 3 и получили 4. Решение записывают так: 12 : 3 = 4 (пассажира).
Рассмотрим другую задачу: «Винни-Пух раздал своим друзьям 12 воздушных шариков, по 3 каждому другу. Сколько друзей было у Винни-Пуха? (104, 2 класс) Изобразим воздушные шарики кружочками и разобьем их на группы по 3 шарика. Надо узнать, сколько таких групп шариков получится.
Задача также решается действием деления: 12 : 3 = 4. Число подмножеств, на которое разбито множество, на первом этапе также можно найти пересчетом.
Несмотря на то, что решение обеих задач записывается одинаково, в первом случае делитель обозначает число подмножеств, на которое разбито множество, а во втором – число элементов в каждом подмножестве.
На первом этапе работы над задачами на деление необходимо пользоваться наглядностью, находить результат пересчетом, а после этого записывать решение. Постепенно после решения необходимого числа задач учащиеся выбирают действие по представлению, не пользуясь наглядностью, а результат находят подбором искомого числа на основе знания таблицы умножения.
Удобно проиллюстрировать задачу на деление с помощью схемы с отрезками. Рассмотрим задачу: «У скольких двухколёсных велосипедов 18 колёс?» (153, 2 класс) Задача сформулирована в нестандартной форме, поэтому у ряда учащихся может вызвать затруднение. Начертим отрезок длиной 18 клеточек, приняв одну клетку за 1 колесо. Т.к. велосипеды двухколесные, то откладываем от начала отрезка по 2 клетки. В результате получаем графическое решение задачи.
Ответ можно найти пересчетом маленьких отрезков. Также схема может помочь в выборе действия для решения задачи: отрезок разбили на равные части, по 2 клетки в каждой, значит для ответа на вопрос задачи нужно 18 разделить на 2. В результате получим число двухколесных велосипедов.
Если числа в задаче большие, то чертить отрезок можно без учета клеточек, при этом при решении задачи на деление на части необходимо подписать численное значение длины каждого маленького отрезка.
Рассмотрим еще одну задачу: «В ларёк привезли 42 кг апельсинов в одинаковых ящиках по 6 кг в каждом. Сколько ящиков с апельсинами привезли в ларёк?» (150, 2 класс) Чтобы найти ответ на вопрос задачи, нужно 42 : 6. При этом необходимо обратить внимание детей на то, что, деля килограммы на килограммы, мы узнали, сколько раз по 6 кг содержится в 42 кг. При этом дети должны сделать правильный вывод, что если в 42 кг содержится 7 раз по 6 кг, то и ящиков было 7. Полезно решенную задачу преобразовать, получив обратную задачу: «В ларёк привезли 42 кг апельсинов в 7 одинаковых ящиках. Сколько килограммов апельсинов было в каждом ящике?». Для решения задачи нужно 42 : 7, при этом делим килограммы и в результате узнаем массу одного ящика, выраженную в килограммах.
Сопоставление решений двух видов задач поможет детям установить взаимосвязь между указанными видами деления.
Задачи на увеличение и уменьшение числа в несколько раз
Подготовительная работа к решению задач на увеличение числа в несколько раз должна быть направлена на понимание детьми конкретного смысла выражения «больше в несколько раз». Для раскрытия смысла этого выражения можно выполнить следующие упражнения: положите на стол 2 синих кружочка, а красных 3 раза по 2 кружочка. В этом случае говорят, что красных кружочков больше в 3 раза, т.к. красных кружочков 3 раза по стольку, сколько синих кружочков. Также можно сказать, что синих кружочков в 3 раза меньше, чем красных.
Трудность в решении задач на увеличение и уменьшение числа в несколько раз состоит в том, что дети часто путают их с задачами на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц. Поэтому обучение новому типу задач должно основываться на противопоставлении этих двух типов задач.
Например, на уроке учителем могут быть предложены одновременно две задачи, имеющие одинаковый сюжет и одинаковые числовые данные: «Дядя Фёдор выпил 2 кружки молока, а кот Матроскин – на 3 кружки больше. Сколько кружек молока выпил кот Матроскин?» и вторая задача: «Дядя Фёдор выпил 2 кружки молока, а кот Матроскин – в 3 раза больше. Сколько кружек молока выпил кот Матроскин? (57, 2 класс)
Учитель просит детей сравнить условия и требования задачи. Данные в условиях задач одинаковые, но в первой задаче число 3 означает число кружек молока, а во второй – «число раз». В той и другой задаче вопросы также одинаковы.
На доске можно записать краткую запись обеих задач, выделяя различие в условиях задачи:
Дядя Федор – 2 кружки Дядя Федор – 2 кружки
Матроскин – ?, на 3 кружки больше Матроскин – ?, в 3 раза меньше
Для каждой задачи можно сделать иллюстрацию, при этом иллюстрацию к первой задаче ученики могут выполнить самостоятельно, а ко второй задаче это делает учитель.
Опираясь на иллюстрацию ко второй задаче, дети ищут решение задачи: Дядя Федор выпил 2 кружки молока, а Матросскин – 3 раза по столько, значит, Матроскин выпил 6 кружек молока (2 · 3).
В результате решения ряда задач такого типа дети усваивают, что задача на увеличение числа в несколько раз решается действием умножения.
Таким же образом дети знакомятся и с решением задач на уменьшение числа в несколько раз. Они вводятся после того как дети научатся выполнять деление на равные части и усвоят, что если одно число больше другого в несколько раз, то второе число меньше первого во столько же раз.
Ознакомление с понятием «меньше в несколько раз» можно провести, например, так: положите на стол 8 треугольников и 4 кружочка. Что можно сказать о числе треугольников? (Их в 2 раза больше, потому что их 2 раза по столько, сколько треугольников.) Тогда что можно сказать о числе кружочков? (Их в 2 раза меньше.) Зная, что треугольников 8, а кружочков в 2 раза меньше, как узнать число кружочков? (Надо треугольники разделить на 2 равные части, получим в каждой части по 4 треугольника.) Значит, для того, чтобы найти число, которое меньше 8 в 2 раза, надо 8 : 2, получим 4.
Выполнив несколько аналогичных упражнений, учащиеся усваивают, что взять, например, квадратов в 3 раза меньше – это значит данное число квадратов разделить на 3 равные части, и взять столько кружков, сколько их содержится в одной части.
В дальнейшем можно рассматривать конкретные задачи на уменьшение числа в несколько раз, параллельно решая задачи на уменьшение числа на несколько единиц.
При затруднении в решении такого типа задач с числами в пределах 20 можно воспользоваться предметной наглядностью, в случае с большими числами можно проиллюстрировать задачу схемами с отрезками. Рассмотрим задачу: «Для награждения призёров городской олимпиады купили 16 энциклопедий, а блокнотов – в 4 раза больше. Сколько всего призов купили победителям олимпиады? » (224, 3 класс) Т.к. блокнотов в 4 раза больше, то и отрезок, обозначающий число блокнотов, будет в 4 раза длиннее.
Энциклопедий
Блокнотов
Использование таких схем при решении данного типа задач можно рассматривать как подготовку к составлению схем при решении большее сложных задач, например, задач на нахождение чисел по сумме или разности и кратному отношению.