4.Общие сведения о случайных функциях (процессах)
4.1.Основные понятия
Случайной называется функция неслучайного аргумента t, которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной. Случайные функции, как правило, обозначаются прописными буквами X(t), Y(t) и т.п.
Например, если Н – случайная величина, то и функция X(t)=t2*H случайная. Получаем при t1= 2 случайную величину Х1 = 4Н, при t2 = 3 случайную величину Х2 = 9Н и т. д.
Сечением случайной функции называют случайную величину, соответствующую фиксированному значению аргумента случайной функции.
Таким образом, случайную функцию можно рассматривать как совокупность случайных величин Х(t), зависящих от параметра t.
Реализацией (траекторией) случайной функции Х(t) называют неслучайную функцию аргумента t, которая может получиться в результате испытаний.
Таким образом, случайную функцию можно рассматривать как совокупность ее случайных реализаций.
Случайным (стохастическим) процессом называют случайную функцию аргумента t, который можно истолковать как время.
Примеры:
изменение температуры воздуха в течение суток (года);
процесс коррозии арматуры;
воздействие на мост транспортного потока.
4.2.Характеристики случайной функции
Математическим ожиданием случайной функции X(t) называют неслучайную функцию mx(t), которая при каждом значении аргумента ti равна математическому ожиданию случайной величины X(ti).
Дисперсией случайной функции X(t) называют неслучайную функцию Dx(t), значение которой для каждого ti равно дисперсии случайной величины X(ti).
Соответственно, среднее квадратическое
отклонение функции X(t)
– это неслучайная функция х(t)
=
.
Математическое ожидание и дисперсия не могут дать полного представления о случайной функции. Например, на рис. 4.1 представлены две случайные функции X1(t) и X2(t), имеющие одинаковые математические ожидания и дисперсии, но совершенно различную структуру.
Рис 4.1
Эта структура описывается специальной характеристикой – корреляционной функцией, которая отражает степень зависимости между различными сечениями случайной функции.
На рис. 4.1,а приведен пример тесной зависимости сечений случайной функции, соответствующих близким сечениям аргумента t. На рис. 4.1,б, наоборот, эта зависимость выражена слабо. Такая зависимость описывается корреляционным моментом, т.е. математическим ожиданием произведений двух случайных величин:
X0(t1)=X(t1) – mx(t1) и X0(t2)=X(t2) – mx(t2);
Kx(t1, t2) = M[X0(t1) X0(t2)]. (4.1)
Таким образом, корреляционной функцией случайной функции X(t) называют неслучайную функцию двух аргументов, которая при каждой паре значений t1 и t2 равна корреляционному моменту Кх(t1, t2).
4.3. Стационарные и марковские случайные процессы
Случайные процессы, математические ожидания и дисперсии которых постоянны во времени, называются стационарными.
Примером стационарного процесса могут служить колебания пролетного строения при установившемся режиме автомобильного движения.
В случае стационарного процесса корреляционная функция зависит только от промежутка между первым и вторым значениями аргумента.
Kx(t1, t+) = Kx(). (4.2)
Марковским называется случайный процесс X(t), если для каждого момента времени t0 протекание случайного процесса в будущем (при t > t0) определяется его настоящим (значение X(t0)) и не зависит от прошлого (от значений X(t) при t < t0).
Пример.
Развитие силовой трещины в железобетоне в каждый момент времени определяется ее шириной, длиной, конфигурацией и не зависит от того, как это состояние образовалось.