1.3.Вероятность события при многократных испытаниях

Если производится несколько испытаний и в каждом из них вероятность события А не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А (выборка с возвратом).

Сложное событие – определенная комбинация нескольких простых событий (исходов испытаний).

Если вероятность события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность сложного события, состоящего в том, что в «n» однородных испытаниях событие А наступит «K» раз, равна (формула Бернулли):

, (1.11)

где p – вероятность события А в одном испытании;

q =(1 – p) – вероятность непоявления события А в испытании.

Пример.

Вероятность проектного натяжения высокопрочных болтов равна p=0.95. Найти вероятность того, что из пяти проверенных болтов два окажутся недотянуты.

Подставляем в формулу (11) значения n=5; K=2; p=0,95; q=0,05:

.

При достаточно больших значениях n и K пользоваться формулой Бернулли крайне неудобно. В этих случаях вероятность Р_n(К) можно оценить приближенно по формуле Лапласа:

(1.12)

где

(табличная функция). (1.13)

Чем больше n , тем точнее формула (1.12).

Пример.

Вероятность проектного натяжения высокопрочных болтов равна 0.97. Найти вероятность того, что из 20 проверенных болтов 2 окажутся недотянуты.

Применим в данном случае формулу (1.12) Лапласа. При этом n=20; K=2; p=0,03; q=0,97. Вычисляем . Далее по таблице находим 0,074. И, наконец, по формуле (1.12) находим .

Интегральная формула:

Вероятность Р_n (К₁, К₂) того, что событие А в n испытаниях появится от К₁ до К₂ раз, приближенно равна:

, ( 1.13 )

где , .

Интеграл - табличный (функция Лапласа).

Контрольные вопросы

1. Дайте определение понятия вероятность.

2. Дайте определение суммы и произведения двух событий.

3. Что такое условная вероятность?

4. Как определить вероятность сложного события?

2.Случайные величины

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Зависимость между значениями Х случайной величины и их вероятностями р(Х) определяет закон распределения случайной величины Х.

Для дискретных случайных величин сумма вероятностей р(Х) всех их значений (Х), составляющих полную группу, равна единице, а для непрерывных – выражается определенным интегралом, равным единице т.е.

; . (2.1)

2.1.Числовые характеристики случайной величины

Математическое ожидание М(Х) – среднее арифметическое всех значений случайной величины (Х).

для дискретных случайных величин

; (2.2)

для непрерывных случайных величин

. (2.2’)

Свойства математического ожидания

1) Для постоянной величины С математическое ожидание

М(С) = С. (2.3)

2) Для произведения постоянной (С) и случайной (Х) величин

М(СХ) = С  М(Х). (2.4)

3) Для суммы случайных величин Х и Y

М(Х+Y) = М(Х)+М(Y). (2.5)

4) Если Х и Y – независимые случайные величины, то

М(Х  У) = М(Х)  М(У). (2.6)

Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

. (2.7)

Для вычисления дисперсии удобно использовать формулу:

. (2.8)

Свойства дисперсии

1) ; (2.9)

2) ; (2.10)

3) Если Х и Y – независимые случайные величины, то

. (2.11)

Это правило распространяется на сумму нескольких случайных величин.

Для анализа степени рассеивания случайных величин удобней иметь дело с характеристикой, имеющей ту же размерность, что и сама случайная величина. Таковой является корень квадратный из дисперсии, который называется средним квадратическим отклонением или стандартом:

. ( 2.12)

Для суммы независимых случайных величин:

;

(2.13)