Теорема 3

Пусть u(t,x) классическое решение в Q_T уравнения (1) и выполняется соотношение |f(t,x)|N,c(t,x)-c₀ в Q_T и |u(t,x)|_Гтq тогда всюду в Q_T |u(t,x)|max{N/c₀,q} (7). Доказательство: w_+-(t,x)=max{N/c₀,q}+-u(t,x), w_+-|_Гтq-+u(t,x)|_Гт, w_-+|_Гт0 так как |u(t,x)|_Гтq, L(w_+-)=c*max{N/c₀,q}+-f-c₀*max{N/c₀,q}+-f-c₀*N/c₀+-f=-N+-f0 условие Th1 выполнено для w_+-  по Th1 w_+-(t,x)0 в Q_T то есть |u(t,x)| max{N/c₀,q}

Теорема 4 (строгий принцип максимума)

Пусть u(t,x) классическое решениеL(u)=0 все коэффициенты оператора L ограниченны в Q_T c(t,x)0 и _i,j=1ⁿa_ij_i_j_i=1ⁿ_i², -const>0, для E_n, пусть в некоторой точке (t⁰,x⁰) Q_T\Г_т функция достигает своего положительного максимума , а именно (t⁰,x⁰)=max_Qтu(t,x)=M>0 тогда u(t,x)=M в каждой точке (t,x) Q_T для которой t<t₀. Без доказательства.

Задача Коши

L(u)=f (1) где L(u)=_i,j=1ⁿa_ij(t,x)²u/x_ix_j+_i=1ⁿb_i(t,x)u/x_i+c(t,x)-u_t, f=f(t,x), a_ij,b_i,c- коэффициенты оператора f. Заданы в Q_T{(t,x)|0<t<T,x},E_n. Все коэффициенты и правая часть ограничены в Q_T |a_ij(t,x)|+|b_i(t,x)|+|c(t,x)|+(f(t,x)|K, 0<_i,jⁿa_ji(f,x)_i_j (2) (t,x)Q_T,(₁…_n)E_n .

Рассмотрим для (1) задачу Коши: найти непрерывную в П_[0,T] функцию u(t,x) удовлетворяют в П_[0,T) уравнению (1) и при t=0 совпадающую с некоторой функцией  на Е_к u(0,x)=(x) (1), xE_n.

Теорема 1.

Пусть u(t,x) в П_[0,T] непрерывна и ограничена снизу: u(t,x)d, d0-const (2) а в П_[0,T] имеет все непрерывные производные входящие в L и удовлетворяет условию L(x)0. Пусть константы оператора L a_ij,b_i,c удовлетворяют соотношению |a_ij(t,x)|<M(|x|²+1)|b_i(t,x)|<M(|x|²+1)^1/2, c(t,x)<M, M-const>0 тогда u(t,x)0 всюду в П_[0,T], если u0 при t=0/

Теорема 2.

Пусть u(t,x) классическое решение задачи Коши для уравнения (1) коэффициенты a_ij,b_i оператора L подченены условию Th1 и выполнено соотношение |(x)|q , xE_n, |f(t,x)|N, (t,x) П_[0,T] , с(t,x)M, (t,x)  П_[0,T] , тогда |u(t,x)|e^Mt(q+Nt) (t,x)  П_[0,T] (*).

Предложение

L(u)=f (1) где L(u)=_i,j=1ⁿa_ij(t,x)²u/x_ix_j+_i=1ⁿb_i(t,x)u/x_i+c(t,x)-u_t, f=f(t,x), a_ij,b_i,c- коэффициенты оператора f. Заданы в Q_T{(t,x)|0<t<T,x},E_n. Все коэффициенты и правая часть ограничены в Q_T |a_ij(t,x)|+|b_i(t,x)|+ |c(t,x)|+(f(t,x)|K, 0<_i,jⁿa_ji(f,x)_i_j (2) (t,x)Q_T,(₁…_n)E_n .

1. Пусть выполняются условия Th1 и f=0, доказать что всюду в Q_T |u(t,x)|max_Г|u(t,x)|(1). Доказательство: пусть M= max_Гт|u(t,x)|. Рассмотрим функцию w_+-=M⁺_-u(t,x), w_+-|_Гт0, L(w_+-)=L(M)_-⁺L(u)=c*M<0, то есть выполняется условие Th1 w_+-0Mu(t,x)M, |u(t,x)|=M.

2. Пусть выполняются условия Th1 и f=c=0, доказать что всюду в Q_T,m=min_Гтu(t,x)u(t,x)max_Гтu(t,x)=M (2). Доказательство: введем функции w₊=u(t,x)-m, w_-=M-u(t,x), очевидно w_+-|_Г0,L(w_+-)0 на Г_тпо Th1 w_+-0 в Q_T(2).

3. Пусть выполняются условия Th1, условие С<0 заменено на условие СM=const>0. Тогда |u(t,x)|e^Mt(q+Nt), (t,x)Q_T. Доказательство: замена u(t,x)= e^Mtv(t,x) по замечанию 1 ^~L(v) имеем ^~e<0, L(u) и ^~L(v) имеют одинаковые знаки. По Th2 |v(t,x)|q+Nt, |v(t,x)|_Гт|u|q, |F||f|N, |u(t,x)| e^Mt |v(t,x)| e^Mt(q+Nt) (3).

4. Доказать теорему единственности классического решения 1 КЗ для уравнения (1). Доказательство: пусть u₁,u₂-два решения 1 КЗ для уравнения (1). Рассмотрим u=u₁-u₂. Тогда u-решение уравнения L(u)=0, u|_Гт=0, f0q=0, N=0 Из (3) получаем |u(t,x)| e^Mt(0+0*t)=0 в Q_T.

5. Доказать теорему о непрерывной зависимости классического решения 1 КЗ для уравнения (1) от f, начальная функция (x) и граничной функции (t,x). Доказательство: пусть u₁,u₂- решения задачи с входными данные f₁, f₂, ₁,₂,₁,₂. Тогда u=u₁-u₂- решения уравнения (1) с данными f =f₁-f₂, =₁-₂, =₁-₂. Предположим ||+||+|f|(**), |u|_Гт, |f|. По формуле из (3) |u(t,x)| e^Mt(+*T), 0, |u(t,x)|0. Это доказывает непрерывную зависимость решения 1 КЗ от начальных данных ( мы предполагали, что условия задачи 3 выполнены ).

6. Доказать теорему единственности классического решения 1 КЗ для уравнения Бургерса u_t(t,x)+u(t,x)u_x(t,x)= u_xx(t,x) +f (4), =const>0, f- заданная функция, в предположении вQ_T u_x(t,x). Доказательство: пусть u₁,u₂- два решения 1 КЗ для уравнения (4) u=u₁-u₂, u|_Гт=0 (6), u_t+u₁u_1x-u₂u_2x-⁺u₁u_2x=u_xx, u_t+u₁u_x-u_2xu-u_xx получили линейное параболическое уравнение. u_2x –ограничена. Выполняются условия задачи (3) N=0, q=0|u(t,x)|e^Mt*0=0 , u(t,x)=0.

Теорема 1.

Пусть функция u непрерывна в Q_T все ее производные входящие в оператор L непрерывны в Q_T\Г_Т и выполняется неравенство L(u(t,x))0 в Q_T\Г_Т (3) u(t,x)0 на Г_Т (4).Пусть коэффициент c(t,x) ограничена сверху некоторой постоянной M[ c(t,x)<M (t,x) Q_T] Тогда u(t,x)0 в Q_T.

Теорема 2. Пусть функция u(t,x) непрерывна в Q_T удовлетворяет в Q_T\Г_Т уравнению (1) и |u(t,x)|_Гтq. Пусть f ограниченная функция а коэффициент c(t,x) не положителен |f(t,x)|N, c(t,x)<0 (t,x) Q_T. Тогда всюду в Q_T |u(t,x)|q+Nt (6)