1. Уравнение теплопроводности

u/t=L(u(t,x))+f(t,x) (1), L(u)=_i,j=1ⁿa_ij(t,x)u_xixj(t,x)+_i=1ⁿb_i(t,x)u_xi+c(t,x)u

_i,j=1ⁿa_ij(t,x)_i_j>0, (t,x)П_[0,T]={(t,x)|0tT,xE_n}, f,a_ij,b_i,c-заданы в П_[0,T], u(0,x)=(x),xE_n (2).Задача Коши (1),(2): Найти функцию uC^1,2(П_[0,T])C(П_[0,T]) удовлетворяющую (1) в П_[0,T] и совпадающую с (х) при t=0(выполнение условия (2)). П_[0,T]=(0,Т]E_n, C^1,2(G) линейное пространство функций на G имеющие непрерывные производные u_t,u_xi,u,u_xixj.

2.Уравнение колебания

²u/t²=L(u(t,x))+f(t,x) (3),u(0,x)=u₀(x),xE_n(4), u_t(0,x)=u₁(x),xE_n(5), (3)-(5) задача Коши для (3): Найти u(t,x)C²(П_(0,T]C¹(П_[0,T]) удовлетворяющуу в П_(0,T] уравнению (3) и условию (4)(5).

Уравнение колебания струны. Формула Даламбера.

u_tt=a²u_xx (1), u(0,x)=u₀(x) (2), u_t(0,x)=u₁(x), xE₁(3). Введем следующую замену переменных: =x+at,=x-at подставляя в (1) получим u(,)_=0 отсюда получим решение u()=g()+f() произвольные дважды дифференцируемые, подставляя  из замены получаем u(t,x)=v(x+at,x-at)=f(x+at)+g(x-at) (4)-есть решение (1). Нужно найти f,g на основании (2),(3). При t=0 u(0,x)=f(x)+g(x)=u₀(x) (5), u_t(0,x)=af`(x)-ag`(x)=u₁(x) (6).f,g- функции одного аргумента. Проинтегрируем (6) по х, разделив его на а. f(x)-g(x)=1/a₀^xu₁()d+c (7) сложим (5) и (7) и разделим на 2. f(x)=u₀(x)/2+1/2a₀^xu₁()d+c/2 (8). Из (5) вычтем (7) находим g(x)= u₀(x)/2-1/2a₀^xu₁()d-c/2, u(t,x)=f(x+at)+g(x-at)= u₀(x+at)/2+1/2a₀^x+atu₁()d+c/2+ u₀(x-at)/2-1/2a₀^x-atu₁()d-c/2, u(t,x)= u₀(x+at)/2+ u₀(x-at)/2+1/2a_x-at^x+atu₁()d..Функция v(t,x)=(x+_-at) где  функция одного аргумента, а константа называется простой волной. Покажем что решение задачи (1)-(3) есть сумма двух простых волн u(t,x)=(x+at)+(x-at) где (x+at)=u₀(х+at)/2+1/2a ₀^x+atu₁()d,(x-at)=u₀(х-at)/2+1/2a _x-at⁰u₁()d,x+at=C₁,x-at=C₂, (x+-at)=(const), (x+at),(x-at)-простые волны. Пусть u₁=0u(t,x)=u₀(x+at)/2+u₀(x-at)/2 ,X¹=x⁰-at⁰, x²=x⁰+at⁰, u(t⁰,x⁰)=[u₀(x¹)+ u₀(x²)]/2, u(t⁰,x⁰)=[u₀(x¹)+u₀(x²)]/2+1/2a_[x1,x2]u₁()d. Пусть u₁(x)0 тогда u(t,x)=u₀(x+at)/2+u₀(x-at)/2, u(0,x)=u₀, u₀=u₀(x)/2+u₀(x)/2.

Задача Коши на полупрямой u_tt=a²u_xx (1) u(0,x)=u₀(x) (2) u_t(0,x)=u₁(x) (3) u(t,0)=0 (4),t>0,x>0,u_x(t,0)=0 (5),(1)-(4)-задача где на левом конце задана функция (1)-(3),(5)- задача где на левом конце задано значение производной.

Лемма1.Функции u₀ и u₁ нечетные. Тогда u(t,0)=0 t0 где u-решение задачи Коши (1)-(3). Доказательство U(t,0)=u₀(at)/2+u₀(-at)/2+1/2a_-at^atu₁() d=0

Лемма 2 Функции u₀ и u₁ четные. Тогда u_x(t,0)=0 t0. Доказательство продифференцируем по х формулу Даламбера и воспользуемся четностью функции u₁ и нечетностью производной от u₀.

U₀(x)=(система) u₀(x) x0, -u₀(-x) x<0,U₁(x)= (система)u₁(x) x0, -u₁(-x) x<0, U(t,x)=U₀(x+aat)/2+U₀(x-at)/2+1/2a_-at^atU₁()d на основании леммы 1 u(t,x)=U(t,x) t0,x>0 решение задачи (1)-(4),U_tt=a²U_xx ,U(0,x)=U₀(x) ,U_t(0,x)=U₁(x)

U(t,x)=(система) u₀(x+at)/2+u₀(x-at)+ 1/2a_x-at^x+atu₁()d, x/a>t,u₀(x+at)/2-u₀(x-at)+ 1/2a₀^x+atu₁()d+1/2a_x-at⁰ -u₁(-)d= u₀(x+at)/2-u₀(x-at)+ 1/2a_x-at^x+atu₁()d, x/a<t.

Задача Коши для уравнения теплопроводности. Формула Пуассона.

u_t=u_xx (1), u(0,x)=u(x) x(-,+), t>0

Условие 1. |(x)|Me^a|x|, M,a- const>0.Решение задачи (1),(2) дается формулой Пуассона U(t,x)=1/2t_-^+exp[-(-x)²/4t]*()d (3)

Утверждение 1. При выполнении условия (1) интеграл (3) сходится t,xП_(0,+) и |u(t,x)|2Mexp[a²t]*e^a|x| (4). Доказательство: U(t,x)=1/2t_-^+exp[-(-x)²/4t]*()d  ( условие 1) M/2t_-^+exp[-(-x)²/4t]* e^a|| d(|||-x+x|) M/2_-^+exp[-(-x)²/2t]+a|x|+a|-x|2t/2t d(-x)/2t=[(-x)/2t=]= M*e^a|x|/_-^+exp[-²/2t] d=(подынтегральная функция четная)= 2M*e^a|x|/_-^+exp[-²+2at-a²t]*exp[a²t] d= 2M*e^a|x|*exp[a²t]/ _-^+exp[-(-at)²] d<[-at=z]< 2M*e^a|x|*exp[a²t]/_-^+exp[-z²] dz=2M*exp[a²ta|x|]

Утверждение 2. При выполнении условия 1 функция u(t,x) бесконечно дифференцируема по t,x при t>0. При этом ^m+nu(t,x)/t^mxⁿ=1/2_-^+()^m+n( exp[-(-x)²/4t ]/td /t^mxⁿ (5).Интеграл в правой части (5) сходится в  прямоугольнике R_[t0,T,r]={t₀tT,|x|<r}. Рассмотрим подинтегральное выражение (5) ()- известна оценка, оценим [ ]. ^m+n( exp[-(-x)²/4t ]/t/t^mxⁿ= конечная C*(-x)^{степень}*exp[-(-x)²/4t]/t^{степень}, выражение  можно записать как полином по переменной  с коэффициентами зависящими от t,x=p(t,x,)* exp[-(-x)²/4t ], где p(t,x,)- полином степени к ( к зависит от n,m) |p(t,x,)|C(t₀,T,r)(1+||^k)=( в силу |ax²+bx+c|d*2(1+x²)= d*2(1+x²), |p(t,x,)|C(t₀,T,r)(1+||^k)( в силу e^z=1+z+z²/2+……z^k/k!+…, 1+||^k<e^*k!)N(t₀,T,r)e^, N(t₀,T,r)=k!C(t₀,T,r), |()|P(t,T,r)^~Me^(a+1)||,[]exp[-(-x)²/4t], ^~Me^(a+1)|| Заметим: aa+1;;MM*N(t₀,T,r) и по утверждению 1, этот интеграл сходится, причем равномерно. По теореме о дифференцирования несобственных интегралов функция u имеет производную по ^m+nu/t^mxⁿ при этом выполняется соотношение (5). 

Утверждение 3. Функция u(t,x) заданная соотношением (3) является решением уравнения (1) при t>0, x(-,+). Доказательство: из (5) следует u_t-u_xx=_-^+,{[exp(--x)²/4t]t-²[exp(--x)²/4t]/2tx²}()d. Легко проверить что {} 0 t>0,xE₁ u_t-u_xx=0.

Утверждение 4. Пусть х₀-точкинепрерывности функции (х). Тогда lim_{t+0,xx0}u(t,x)=(x₀) (6).Доказательсво:  P_  (t,x) P_ |u(t,x)-(x⁰)|< , (x⁰)=1/2t*_-^+exp[(--x)²/4t]*(x⁰)d, |u(t,x)-(x⁰)|=| 1/2t*_-^+exp[(--x)²/4t]*[()-(x⁰]d| 1/2t*_-^+exp[(--x)²/4t]*[()-(x⁰]d=[(--x)/2t=]=1/*_-^+exp[-²]*[(x+2t *)-(x⁰]d (*)=1/(_-^-N +_+N^++_-N^N exp[-²]*[(x+2t *)-(x⁰]d. Интегралы обозначим I₁,I₂,I₃. Зафиксируем  0 и пусть Р прямоугольник {(t,x),0<tt₀, |x-x₀|<} I₁: подынтегральная функция удовлетворяет условию такому же как и функция . По утверждению 1 (*) сходится равномерно по (t,x) из P .Следовательно при достаточно большом N I₁</3 (t,x)P при большом выборе N аналогично I₂</3 Рассмотрим I₃=_-N^N exp[-²]*[(x+2t *)-(x⁰]d, если t,x близки к 0 и х₀ соответственно .Пусть |x+2t-x⁰|<(x), [-N,N], |(x+2t)-(x⁰)|</6N . Тогда I₃</6N_-N^Nd=/3 таким образом |u(t,x)-(x⁰)|< при выполнении (*). Доказали следующую теорему : При выполнении условий утверждения 1 интеграл Пуассона (3) есть решение задачи Коши (1)-(2). Начальный условия имеют смысл в точке непрерывности.

Свойство 1. Если |(x)|<M то и |u(t,x)|M T>0,xE₁, |u(t,x)| 1/2t*_-^+exp[(--x)²/4t]d*M=1*M

Свойство 2. Пусть (х)-нечетная функция функция, тогда u(t,0)= 1/2t*_-^+exp[-²]()d=0 подынтегральная функция нечетная. Следовательно можем решать задачу система u_t=u_xx (7), u(0,x)=u₀(x) (8) x>0, u(t,0)=0 (9) Решение ищется в первой четверти. Продолжим U₀=(система) u₀(x), x0, -u₀(-x),x<0 . Построим функцию пуассона для u(t,x)= 1/2t*_-^+exp[(--x)²/4t]u₀()d.

Принцип максимума для параболических функций.

L(u)=f (1) где L(u)=_i,j=1ⁿa_ij(t,x)²u/x_ix_j+_i=1ⁿb_i(t,x)u/x_i+c(t,x)-u_t, f=f(t,x), a_ij,b_i,c- коэффициенты оператора f. Заданы в Q_T{(t,x)|0<t<T,x},E_n. Все коэффициенты и правая часть ограничены в Q_T |a_ij(t,x)|+|b_i(t,x)|+|c(t,x)|+(f(t,x)|K, 0<_i,jⁿa_ji(f,x)_i_j (2) (t,x)Q_T,(₁…_n)E_n.

Уравнение параболического типа.

*Функция u(t,x)C(Q_T)C^1,2(Q_T) называется классическим решением уравнения (1) если она удовлетворяет уравнению (1) в Q_T.

C^1,2(Q_T)={f₁,f_t,f_xi,f_xi,xjC(Q_T)}

Замечание 1. Заменой можно добиться того, что бы коэффициент c(t,x) будет строго отрицательным в Q( мы предпологали что все коэффициенты в Q_Т ограничены) v(t,x)=u(t,x)*e^-t, где -const, u=ve^t, e^t _i,j=1ⁿa_ij(t,x)v_xixj+ e^t _i=1ⁿb_i(t,x)v_xi+с(t,x) e^t v-v_t e^t -v e^t =f,

^~L(v) _i,j=1ⁿa_ij(t,x)v_xixj+ _i=1ⁿb_i(t,x)v_xi+(с-)v-v_t=f/e^t .Если  удовлетворяет условию с< (t,x) Q_T. Обозначим c-=^~c(с волной). Получим уравнение ^~L(v)=^~F где ^~F=fe^-t. Если функция f имеет постоянный знак в Q то и ^~F=fe^-t имеет тот же знак.

Теорема 1.

Пусть функция u непрерывна в Q_T все ее производные входящие в оператор L непрерывны в Q_T\Г_Т и выполняется неравенство L(u(t,x))0 в Q_T\Г_Т (3) u(t,x)0 на Г_Т (4).Пусть коэффициент c(t,x) ограничена сверху некоторой постоянной M[ c(t,x)<M (t,x) Q_T] Тогда u(t,x)0 в Q_T.

Лемма 1. Пусть выполнено условие (2) , пусть функция u(t,x)C(Q_T) C^1,2(Q_T\Г_Т) достигает своего минимума в точке (t⁰,x⁰) Q_T\Г_Т . Тогда _i,j=1ⁿa_ij(t⁰,x⁰)u_xixj(t⁰,x⁰)0 (5) .Без доказательства.

Доказательство теоремы. Пусть утверждение теоремы не выполняется следовательно u(t,x) принимает отрицательное значение в Q_T на Г_Т u(t,x)0 она принимает отрицательные значение в Q_T\Г_Т так как функция u(t,x) непрерывна в Q_T то она достигает своего максимума и минимума в Q_T следовательно min<0 и достигается он в Q_T\Г_Т Пусть это точки (t₀,x₀). Рассмотрим L(u(t⁰,x⁰))=_i,j=1ⁿa_ij(t⁰,x⁰)u_xixj (t⁰,x⁰)+_i=1ⁿb_i(t⁰,x⁰)u_xi(t⁰,x⁰)+с(t⁰,x⁰) u(t⁰,x⁰)-v_t (t⁰,x⁰) =A₁+A₂+A₃+A₄ .По лемме А₁0, А₂=0 u_xi=0 в точке минимума. A₄: Если (t⁰,x⁰) Q_TА₄ =u_t(t⁰,x⁰)=0 (точка локального минимума). В точке (t⁰,x⁰): u_t(T,x⁰)=lim_tT-0 u(T,x⁰)- u(t,x⁰)/T-t0, A₃=c(t⁰,x⁰)u(t⁰,x⁰) 1.Предположим что c(t,x)<0 в Q_T тогда c(t⁰,x⁰)<0, u(t⁰,x⁰)<0, A₃>0,L(u(t⁰,x⁰))>0, (t⁰,x⁰) Q_T\Г_Т. противоречие. Значит теорема доказана в случае когда C<0. 2.Пусть c(t,x)<M тогда замена u=ve^Mt приводит нас к рассмотрению оператора ^~L(v)0 причем v0 на Г_Т, c(t,x)<0 в Q_T. По доказанному v(t,x)0 в Q_T. А Значит и u=ve^Mt0 в Q_T.

Введем N,q неотрицательные константы, С₀- строго положительная константа.

Теорема 2. Пусть функция u(t,x) непрерывна в Q_T удовлетворяет в Q_T\Г_Т уравнению (1) и |u(t,x)|_Гтq. Пусть f ограниченная функция а коэффициент c(t,x) не положителен |f(t,x)|N, c(t,x)<0 (t,x) Q_T. Тогда всюду в Q_T |u(t,x)|q+Nt (6)

Доказательство: Рассмотрим 2 формулы w₊(t,x)=q+Nt+u(t,x), w_-(t,x)=q+Nt-u(t,x) Нетрудно проверить выполнение условий теоремы (Пусть функция u непрерывна в Q_T все ее производные входящие в оператор L непрерывны в Q_T\Г_Т и выполняется неравенство L(u(t,x))0 в Q_T\Г_Т (3) u(t,x)0 на Г_Т (4).Пусть константа c(t,x) ограничена сверху некоторой постоянной M[ c(t,x)<M (t,x) Q_T] Тогда u(t,x)0 в Q_T) для w_+-, действительно w_+-|_Гт=q+Nt+-u(t,x)|_ГтNt0 1 условие теоремы выполнено, 2 условие: L(w_+-)=L(q+Nt)+-L(u)=cq+cNt-N-+f 0 по условию Th1 имеем неравенство w_+-(t,x)=q+Nt+-u(t,x)0, q+Ntu(t,x)-(q+Nt) (6) t,xQ_T