Пространство Соболева

W^l₂() где lZ, l0, если l=0,то W₂⁰=L₂()

W₂^l()={f|D^fL₂() : ||l}

L₂,_loc()={f|fL₂(`),`(`)}

W^l₂()=H^l()={f|D^fL₂() ||l}

Покажем, что пространство гильбертово.

(f,g)_H^l _()=__||lD^f*D^gdx

(f,g)_H¹_()=__||=0¹D^f*D^gdx=_(f*g+_i=1ⁿdfdg/dx_idx_i)dx=(f*g+f*g)dx

||f||_H^l_()=(__||l(D^f)²dx)^1/2=(f,f)^1/2

Докажем, что H^l()-гильбертово пространство, то есть полно.

Доказательство: {u_m}H^l(),>0,N :||u_k-u_s||_H^l_()< k,S>N. L₂()- полное пространство. || u_k-u_s||²_H^l_()=__||l(D^(u_k-u_s))²dx=_||l(D^(u_k-u_s))²dx=_||l_(D^u_k-D^u_S)²dx=

[(f,g)_L2()=_f*gdx, ||f||_L2()=(_f²dx)^1/2]=_||l||D^u_k-D^u_s||²_L2()<||D^u_k-D^u_s||²_L2()< k,s>N, : ||l{D^u_m}- фундаментальна в L₂(),  ||l. При =0 получаем {D^ u_m}={u_m} фундаментальна в L₂(); значит  u_L₂(): D^u_m_mu_ в ||*||_L2().

1)|| u_m-u||_B_m0 сильная сходимость

2) uB: (,u_m)_B_m(,u)_B слабая сходимость.

Из сильной сходимости следует слабая. L₂() верно (,D^u_m)_L2()(,u_)_L2() (1). Покажем, что u_-о.п. для u_m. !gC^{0 ||}()L₂(), _g*D^u_mdx=(-1)^||_D^gu_mdx, ||l

К пределу при m, из (1) _g*u_dx=(-1)^||_D^gudx, ||l то есть имеет все  обобщенные производные до порядка l включительно, то есть uH²() ||u_m-u||²_H^l_()=_ _||l(D^(u_m-u))²dx=_||l_(D^(u_m-u))²dx=_||l_(D^u_m-D^u)²dx=_||L|| D^u_m-D^u||²_{L2(_)} _m0

H^0l()={замыкание C^0() в норме H²()}

H^0l()H^l(), если L0 то они совпадают.

При l=0, H⁰()=H⁰ () .Пусть E_n, C¹; lC¹,l, fC() f(x) определена на l b совпадает с исходной функцией на l.

След функции

* Следом функции fC()H¹() на поверхности S называется функция f|_s являющаяся сужением функции f с  на S.

Пусть fH¹();fC¹() (C^()) плотны в H¹(), f_mC₁(): lim_mf_m=f в норме H₁() ||f_m-f||_H1()_m0. Для f_mC¹() определен f_m|_S. Если S замкнута, то f_m|_SL₂(S). Верно, что ||f|_s||_L²_(s)C*||f||_H1() для fC¹(), c-не зависит от f, а только от s.

||f_k|_s-f_l|_s||_L²_(s)c||f_k-f_L||_H¹_()_k,L0(*) f_k|_s- фундаментальна, так как L₂(S) полно, то  lim_kf_k|_s=f|_s- след функции из H¹() в(*) к lim_k , получим, что ||f|_s-f_L|_s||_L2(s) C||f-f₂||_H¹_()_L0. След функции не зависит от выбора f_m.

H^l(), (u,v)_Hⁱ_()=__|k|l(D^kuD^kv)dx

L: 1, H¹() (u,v)_H¹_()=_(uv+_i=1ⁿuv/x_ix_i)dx, ||u||_H¹_()=(u,u)^1/2_H¹_()=(_(u²+_i=1ⁿu_xi²)dx)^1/2=(_{u²+|u|²}dx)^1/2, |u|²=_i=1ⁿu²_xi, u=(u_x1, ..u_xn)

S, гиперплоскость размерности n-1, -кусочно-гладкая граница, S- кусочно-гладкая. u H¹() u|_sL₂(S): ||u|_s ||_L2(s)c||u||_H¹_() (*), с не зависит от u из H¹() постоянная. S: H¹()L₂(S), Линейный, ограниченный (из *), S-Оператор следа. Если uH¹()C() то u/s= сужение u на S.

Формулы интегрирования по частям для функции класса H¹()

Классическое . !  область ограничена гладкой границей. F,g,f_xi,g_xi- непрерывны на . Тогда имеет место формула _f gdx/ x_i=_fgcos(n,x_i)dx-_fgdx/dx_i (1).

!f,gH¹(). Тогда  {f_m}_m=1^, {g_m}_m=1^C¹() такие что f_mf, g_mg в H¹() (2).

F_m|_f|_, g_m|_g|_, в L₂()

F_m и g_m функции удовлетворяющие условиям сущ. Формулы (1)

_f_mg_mdx/x_i=_f_mg_mcos(n,x_i)d-_f_mg_mdx/x_i (3)

При m |_f_ngdx-_f_m*g_m dx/x_i|_|gf/x_i-f_m*g_m/x_i|dx( неравенство треугольника) _|f/x_i*(g-g_m)+g_m(f_m/x_i-f/x_i)|dx=_|f/x_i |*|g-g_m| dx+_ |g_m ||f_m/x_i-f/x_i|dx (неравенство Крши-Буняковского)(_|f/x_i|²dx)^1/2(_|g-g_m|² dx)^1/2+(_|g_m²dx)^1/2*(_|f/x_i-f_m/x_i|²dx)^1/2|| f||_H¹_()||g-g_m||_H¹_()+||g_m||_H¹_m()*||f-f_m||_H¹_() (второй сомножитель стремиться к нулю при m). сходящаяся в банаховом пространстве последовательность ограничена. Левая часть (3) к левой части (1) при m, где в (1) f,gH¹(). |_fgcos(n,x_i)d-_f_mg_mcos(n, x_i)d| [ если f, gL₂()fgL₁() Покажем существование интеграла |_fgcos(n,x_i)d|_|f|*|g|d(_f²d)^1/2*(_g²d)^1/2] _fg-f_mg_m+-fg_m|d_|f||g-g_m|d+_|g_m||f-f_m|d_f²d)^1/2*_|g-g_m|²_d)^1/2+(_g²_md)^1/2*(_ |f-f_m| ²d)^1/2||f||_L2()||g-g_m||_L2()+||f-f_m||_L2()||g_m||_L2()c²||f||_H¹_()||g-g_m||_H¹_()+c²||f-f_m||_H¹_()||g_m||_H¹_()0 при m. ||u||_L2()c||u||_H¹_(). Замечание : в случае когда fH¹(), gH⁰¹() или fH⁰¹(), gH¹() из (1) следует равенство _fgdx/x_i=-fgdx/x_i.

1- ая КЗ. Теорема  и ед-ти( эл-е уравнения)

Е_n ,- гладкая _i=1ⁿ(R(x)*u/x_i)/x_i +a(x)u=f(x) (1)

u|_=0 (2), R₀R(x)k (3) 0a(x)A (4), fL₂() (5), R(x), A(x)- измеримы по Лебегу.

Определение. uH⁰¹() называется обобщенным решение класса H¹() задачи (1),(2) если L(u,v)=_R(x)_i=1ⁿdudvdx/dx_idx_i+_a(x)u(x)v(x)dx= _fvdx(6) vH⁰¹().

Теорема. Пусть выполнены условия (3)-(5) тогда задача (1)(2) имеет ед-е решение в классе H¹(). Дока-во: в силу (3)б(4) L(u,v)=(u,v) есть скалярное произведение порождающее норму ||u||₁=(u,u)^1/2=L^1/2(u,v) экв-е исходному скалярному произведению в H¹() (u,v)_H¹_()=_(uv+_i=1ⁿu_xiv_xi)dx, H-дейст, гильбертово пространство.

Теорема (Рисс) Всякий линейный непрерывный функционал F в гильбертовом пространстве H представим в виде F(w)=(w,z), wH, zH. При этом элемент z определен ед-м образом и ||F||=||z||(без доказательства)

Рассмотрим F(u)=_fudx(7), F(u)- фун-л, fL₂(), f,uL₂(u)F(u) опр-н на uH⁰¹()(L₂()). Очевидна линейность фу-ла. Докажем непрерывность |F(u)|_|f||u|dx||f||_L2()||u||_H1()(||*||_H1()^||*||₁)C||f||_L2()||u||₁. Отметим, что мы рассматриваем H⁰¹() с нормой ||*||₁ и (..,..)₁. |F(u)|c||f||_L2()||u||₁|| F||C||f||_L2()  он ограничен  непрерывен. Раз он непрерывен по теореме ривса  wH⁰¹() такой что F(v)=(w,v), vH⁰¹() причем w- ед-н. _fvdx=_R _i=1ⁿuvdx/x_ix_i+ awvdx,  vH⁰¹() w- обобщенное рещение причем единтственное

2-ая КЗ.

Е_n ,- гладкая _i=1ⁿ(R(x)*u/x_i)/x_i +a(x)u=f(x) (1)

u/n|_=0 (9), k₀k(x)k (3), a₀a(x)A, a₀>0 (10), fL₂ () (5).

Рассмотрим (1).,(9), при (3),(10), (5).

Определение. Элемент класса H¹() называется обобщенным решением задачи (1),(9) в классе H¹() если (6) выполняется  vH¹().

Теорема 2. Пусть выполняется условия (3),(5),(10) тогда задача (1),(9) имеет единственное решение в классе H¹(). Доказательство: В силу (9),(10),линейная форма L(u,v) порождает на H¹() скалярное произведение (u,v)=L(u,v) эквивалентное исходному (u,v)_H¹_() . F(u)=_fudx, |F(u)|||f||_L2()||u|| _L2()C||f|| _L2()||F||C||f|| _L2()| F линейная ограниченная ф-я в H¹() со скалярным произведением (u,v) ₁=L(u,v) далее используем теорему Рисса(Теорема (Рисс) Всякий линейный непрерывный функционал F в гильбертовом пространстве H представим в виде F(w)=(w,z), wH, zH. При этом элемент z определен ед-м образом и ||F||=||z|).

Задача Коши.

L(u(x))=0 (1) U(x)=u(x₁,….. x_n), xE_n, GE_k,SG, G-область, размерность Sn-1, l-оператор заданный на S.Задача Коши в общем виде Найти в ^~G(с волной)G и S^~G, ^~G-область решения уравнения (1), удовлетворяющее на S условию lu|_S=(x), xS. Классическая задача Коши