Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
umf-shpory.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
369.15 Кб
Скачать

Корректность по Адамару

Задача называется корректной по Адамару если выполняются условия: 1) решение задачи существует, 2) единственно, 3) непрерывно зависит от входных данных.

Метод разделения переменных (Метод Фурье).

Уравнение теплопроводности

1. Однородное уравнение с однородными граничными условиями.

Будем искать решение уравнения uk=a2uxx (1), удовлетворяющую начальному условию u(0,x)=u0(x0) (2) и на границе, условиям u(t,0)=u(t,l)=0, x(0,l), t(0,T]. Поставим основную вспомогательную задачу: найти все решения уравнения uk=a2uxx, не тривиальные, удовлетворяющие однородным граничным условиям и представимые в виде u(t,x)=T(t)X(x) (*).

Подставляя предполагаемое решение (*) в уравнение (1) получим T`(t)X(x)=a2X``(x)T(t), или после деления на XT: X``\X=T`/a2T (**), правая часть есть функция переменного х, левая t, при изменении своих аргументов они сохраняют постоянное значение X``\X=T`/a2T=-, =const. Из последнего выражения получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций X(x), T(t) T`+a2T=0 (4), X``+X=0(5). Граничные условия u(t,0)=T(t)X(0)=0, u(t,l)=T(t)X(l)=0(6) функция Х(х) должна удовлетворять дополнительным условиям (система) X(0)=X(l)=0,так как иначе мы имели бы T(t)0, u(t,x)0 в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения, таким образом мы переходим к задаче о собственных значениях (Задача Штурма-Лиувилля): Найти все значения параметра  при которых существует не тривиальное решение задачи (5)(6) и найти эти решения. Рассмотрим отдельно случай:

1.<0;

p2+=0

p1,2=+--, X(x)=C1e(-) x+C2e-(-) x , X(0)=C1+C2=0, X(l)=C1 e(-) l+C2e-(-) l=0, C2=-C1, C1(e(-) l-e-(-) l)=0,C1=0=-C2 тривиальное решение;

2.=0, общее решение X(x)=C1x+C2, граничные условия дают X(0)=C2=0, X(l)=C1l=0 решение тривиально;

3.>0, общее решение может быть записано в виде X(x)=C1cosx +C2 sinx. Граничные условия дают X(0)=C1=0, X(l)=C2 sinx=0, если решение не тривиально то sinx=0 или =k\l, так как левая часть уравнения положительна то k=1,2.., k=(k\l)2 не тривиальное решение Xk(x)=Cksin (k/l)x k=1,2.. (8), этим значения  соответствуют решения задачи (4) Tk(t)=Mk*e-(k\l)* (k\l)*a*a*t, k=1,2.. (9) . (8)(9)-все нетривиальные решения задач (1)(2) представимые в виде uk(t,x)=Xk(x)Tk(t)= Mk*e-(k\l)* (k\l)*a*a*t sin (k/l)x (10), u(t,x)=k=1nuk(t,x) =k=1n СkTk(t)X`k(x) (11) в дальнейшем покажем что Ск при соответственных ограничениях на u0(x) можно подобрать такими что u(t,x) –классическое решение задач (1,2). Предположим что ряд сходится равномерно в QT u(t,0)=k=1CkTk(t)Xk(0)=0, u(t,l)=0 выполняются граничные условия. Положим (10,11) u(0,x)= k=1nCksin (k/l)x=u0(x)= k=1nksin (k/l)x, k-коэффициент фурье по системе {sin (k/l)x}k=1, k=2/l u0(x) sin (k/l)x dx (12), k=1nCksin (k/l)x= k=1nksin (k/l)x (13) два ряда фурье совпадают, если совпадают их коэффициенты Ck=k k=1..n, u(t,x)=k=1nksin (k/l)x*e-(k/l) (k/l)*a*a*t (14), где к заданы формулами (12),

Теорема

Пусть u0(x) удовлетворяет условиям

1)u0(0)=u0(l)

2)u0(x) непрерывна а u`0(x) кусочно-непрерывна на [0,1] тогда ряд k=1nuk(t,x)= k=1nke- (k/l) (k/l)a*asin (k/l)x ячвляется классическим решением задач (1)-(3) то есть u(t,x)C([0,T][0,l])C([0,T][0,l]).

Краевая задача с нулевыми граничными условиями для ноеднородного уравнения:

Ut=a2Uxx+f(t,x) (1)

U(0,x)=0 (2), U(t,0)=U(t,l)=0, (3) предположим что f(t,x)=k=1fk(t)sin kx/l (то есть функция раскладывается в ряд Фурье по sin) fk=2/l0lf(t,x)sin kx/l dx (4)-интеграл зависит от параметра, если f(x) интегрируема то fk(t) будет непрерывной, f(t,x) непрерывно дифференцируема то fk(t) непрерывно дифференцируема. Предположим что f достаточно гладкая.Предположим что (4) сходится равномерно в QT. Решение ищем в виде ряда k=1Ck(t) sin kx/l=u(t,x) (5) подставим (5) в уравнение (1) и получаем условие но Ск получим k=1 [C`k(t) +(k/l)2a2 Ck(t) -fk(t)]*sin kx/l=0 это выполнено когда каждый член равен нулю. Два ряда Фурье сходятся когда равны их коэффициенты C`k(t) +(k/l)2a2 Ck(t) -fk(t)=0 (6) (2) будет выполнено когда Ck(0)=0 (7) k=1..m. (6),(7) задача Коши для линейного уравнения с постоянными коэффициентами. Известно что если fk(t)Cm[0,T] то Сk(t)Cm+1[0,T] решение имеет гладкость на 1 больше. ПустьСк(t) решение задачи (6),(7) тогда (5) решение задачи (1)-(3)

Общая Задача

Неоднородное уравнение, неоднородные начальные и конечные условия Ut=a2Uxx+f(t,x) (1), U(0,x)=u0(x) (2), U(t,0)=1(t),U(t,l)=2(t) (3), F(t,x)=2(t)x/l+1(t)(l-x)/l (*) удовлетворяет (3) W=u-F, где u решение задачи (1)-(3). Тогда Wt=a2Wxx+Ф(t,x) (4) где Ф(t,x)=f(t,x)-Ft+a2Fxx, W(0,x)=w0(x), W0(x)=u0(x)-F0(0,x) (5), W(t,0)=W(t,l)=0 (6).

Обобщенное решение.

С()={f(x) непрерывна на }, n имеет достаточно гладкую границу.

С()={f(x) непрерывна на },||f||c(=max |f(x)|(1)

1. ||f||c()0, ||f||c()=0f0 на .

2. ||f||c()=|| ||||f||c()

3. ||f+g||c()||f||c()+||g||c()

|f(x)+g(x)||f|+|g|max|f|+max|g|=||f||c()+||g||c()||f+g||c()=max|f(x)+g(x)| ||f||c() +||g||c().

|||| непрерывные функции на открытом множестве, может быть не ограничена.

С() с нормой (1) –Банахово пространство.

Ск()={f|Df , (||k)C()}

Ск()={f|Df , (||k)C()}-банахова

Df=||f/xx11….xnn, =(1..n)-мультииндекс

||f||cк()=||k||Df||C()

C()={f|DfC() ||0}

C()={f|DfC() ||0}

||f||c()=||||Df||C()

Финитная в  функция, ={x|x, p(,x)>}.

Определение. f(x) финитная в , определенная в  и f(x)0 x\,P(,)=

C0()={f|f- финитная в  и fC(),

C0()={f|f- финитная в  и fC(),

P1, Lp()={f-измерима по Лебегу на  и суммируемая на  со степенями р, то есть |f(x)|pdx<}, ||f||Lp()=(|f|pdx)1/p

P=2, ||f||L2()=(f2(x)dx)1/2, (f,g)=(f,g)L2()=fgdx (*).

`-означает ` (открытое множество)-строгое вложение.

Определение. Lp,loc()={f измеримо на  и такое что fLp(`) `}.

Lp()Lp,loc(), C()Ck(),C()Lp()

C0k()-функции финитные и непрерывн0-дифференцируемые к раз.

С0()- функции финитные и бесконечнодифференцируемые.

Утверждение. Пространство C0() всюду плотное в L2(),Так как k C0k()C0() k C0k() всюду плотно (L2())

Определение.Н-банахово пространство, MH всюду плотно, если fH,{fk}k=1M : ||f-fk||Hk0.

Обобщенные производные.

f,gC`(), En, f(x)g(x)dx/xi=f(s)g(s)cos(n,xi)ds-(f)/dxi *gdx (1), cos (n,xi) угол между внешней единичной нормалью и осью Оxi.

Определение. fL2,loc() называется  обобщенной производной в области  функции fL2,loc() , если gC0||() выполняется тождество fDgdx=(-1)||fgdx.

Свойства обобщенной производной.

1. Единственность. Если обобщенная производная существует, то она единственна.

А) Если fC0k(~),  то f C0k()

b) Если fC01(~), gL2() то fgdx=~fgdx, \~ fg=0, =~+\~

c) Пусть H- гильбертово пространство, если некоторый элемент hH ортогонален всюду плотному множеству в H, то h0.

Доказательство: f2L2,loc(),f1,f2-обобщенные производные f. fDgdx=(-1)||f1gdx, gC0||(), fDgdx=(-1)||f2gdx, gC0||(). Вычитая получаем :(f1-f2)gdx=0, g C0||() так как f1-f2L2,loc() то рассмотрим ~, gC0||() по a,b.

~(f1-f2)gdx=0=(f1-f2,g)L2(~) так как C0||(~) всюду плотно в L2(~) то f1-f2=0 почти всюду в ~. В силу произвольности ~ получаем, что f1-f2=0 почти всюду в 

2. Если функция f(x) имеет непрерывную классическую производную, тогда функция f(x) имеет и -обобщенную производную, такую что f=Df. Доказательство:fC||(), g C0||(), fDgdx=( раз формулу интегрируют по частям, для дифференцируемых функций)=(-1)||Dfgdx. Получаем по определению можно считать что Df=f. А в силу единственности обобщенной производной, получим что других обобщенных производных нет.

3.-обобщенная производная зависит от порядка , но не зависит от порядка дифференцирования.

f1=||f/x11 x12..xnn, f2=||f/x12 x11..xnn, gC0||()

f||gdx/x11x22…xnn=(-1)||f1gdx, f||gdx/x21x12…xnn=(-1)||f2gdx(f1-f2)gdx=0, gC0||(). Повторяем рассуждения приведенные при доказательства свойства (1) получаем f1-f2=0 почти всюду в .

4. Пусть есть набор fi, i=1..n, -ОП fi ,i=1..n. Тогда f=i=1nCifi имеет  обобщенную производную f=i=1nCifi, где Ci-const. Следует из аддитивности интегралов.

5. Пусть f имеет  обобщенную производную. Df=, а функция  имеет  обобщенную производную D=, тогда функция f имеет  обобщенную производную D+=. Доказательство: Пусть gC0||+|| (),  fDgdx=fD(Dg)dx=(так как f имеет обобщенную производную Df=)=(-1)||gdx=(-1)||D gdx=( так как  имеет обобщенную производную D=) =(-1)||+|| gdx, так как 0 то ||+||=||.

Определение. fL2,loc() называется обобщенной производной( в смысле Соболева) функции fL2,loc(), если gC0||().)f(x)D g(x)dx=(-1)||fg(x)dx (1).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]