Корректность по Адамару

Задача называется корректной по Адамару если выполняются условия: 1) решение задачи существует, 2) единственно, 3) непрерывно зависит от входных данных.

Метод разделения переменных (Метод Фурье).

Уравнение теплопроводности

1. Однородное уравнение с однородными граничными условиями.

Будем искать решение уравнения u_k=a²u_xx (1), удовлетворяющую начальному условию u(0,x)=u₀(x₀) (2) и на границе, условиям u(t,0)=u(t,l)=0, x(0,l), t(0,T]. Поставим основную вспомогательную задачу: найти все решения уравнения u_k=a²u_xx, не тривиальные, удовлетворяющие однородным граничным условиям и представимые в виде u(t,x)=T(t)X(x) (*).

Подставляя предполагаемое решение (*) в уравнение (1) получим T`(t)X(x)=a<sup>2</sup>X``(x)T(t), или после деления на XT: X``\X=T`/a²T (**), правая часть есть функция переменного х, левая t, при изменении своих аргументов они сохраняют постоянное значение X``\X=T`/a<sup>2</sup>T=-, =const. Из последнего выражения получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций X(x), T(t) T`+a<sup>2</sup>T=0 (4), X``+X=0(5). Граничные условия u(t,0)=T(t)X(0)=0, u(t,l)=T(t)X(l)=0(6) функция Х(х) должна удовлетворять дополнительным условиям (система) X(0)=X(l)=0,так как иначе мы имели бы T(t)0, u(t,x)0 в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения, таким образом мы переходим к задаче о собственных значениях (Задача Штурма-Лиувилля): Найти все значения параметра  при которых существует не тривиальное решение задачи (5)(6) и найти эти решения. Рассмотрим отдельно случай:

1.<0;

p²+=0

p_1,2=+--, X(x)=C₁e^{(-) x}+C₂e^{-(-) x} , X(0)=C₁+C₂=0, X(l)=C₁ e^{(-) l}+C₂e^{-(-) l}=0, C₂=-C₁, C₁(e^{(-) l}-e^{-(-) l})=0,C₁=0=-C₂ тривиальное решение;

2.=0, общее решение X(x)=C₁x+C₂, граничные условия дают X(0)=C₂=0, X(l)=C₁l=0 решение тривиально;

3.>0, общее решение может быть записано в виде X(x)=C₁cos^x +C₂ sin^x. Граничные условия дают X(0)=C₁=0, X(l)=C₂ sin^x=0, если решение не тривиально то sin^x=0 или =k\l, так как левая часть уравнения положительна то k=1,2.., _k=(k\l)² не тривиальное решение X_k(x)=C_ksin (k/l)x k=1,2.. (8), этим значения  соответствуют решения задачи (4) T_k(t)=M_k*e^{-(k\l)* (k\l)*a*a*t}, k=1,2.. (9) . (8)(9)-все нетривиальные решения задач (1)(2) представимые в виде u_k(t,x)=X_k(x)T_k(t)= M_k*e^{-(k\l)* (k\l)*a*a*t} sin (k/l)x (10), u(t,x)=_k=1ⁿu_k(t,x) =_k=1ⁿ С_kT_k(t)X`_k(x) (11) в дальнейшем покажем что С_к при соответственных ограничениях на u₀(x) можно подобрать такими что u(t,x) –классическое решение задач (1,2). Предположим что ряд сходится равномерно в Q_T u(t,0)=_k=1^C_kT_k(t)X_k(0)=0, u(t,l)=0 выполняются граничные условия. Положим (10,11) u(0,x)= _k=1ⁿC_ksin (k/l)x=u₀(x)= _k=1ⁿ_ksin (k/l)x, _k-коэффициент фурье по системе {sin (k/l)x}_k=1^, _k=2/l u₀(x) sin (k/l)x dx (12), _k=1ⁿC_ksin (k/l)x= _k=1ⁿ_ksin (k/l)x (13) два ряда фурье совпадают, если совпадают их коэффициенты C_k=_k k=1..n, u(t,x)=_k=1ⁿ_ksin (k/l)x*e^{-(k/l) (k/l)*a*a*t} (14), где _к заданы формулами (12),

Теорема

Пусть u₀(x) удовлетворяет условиям

1)u₀(0)=u₀(l)

2)u₀(x) непрерывна а u`₀(x) кусочно-непрерывна на [0,1] тогда ряд _k=1ⁿu_k(t,x)= _k=1ⁿ_ke^{- (k/l) (k/l)a*a}sin (k/l)x ячвляется классическим решением задач (1)-(3) то есть u(t,x)C([0,T][0,l])C^([0,T][0,l]).

Краевая задача с нулевыми граничными условиями для ноеднородного уравнения:

U_t=a²U_xx+f(t,x) (1)

U(0,x)=0 (2), U(t,0)=U(t,l)=0, (3) предположим что f(t,x)=_k=1^f_k(t)sin kx/l (то есть функция раскладывается в ряд Фурье по sin) f_k=2/l₀^lf(t,x)sin kx/l dx (4)-интеграл зависит от параметра, если f(x) интегрируема то f_k(t) будет непрерывной, f(t,x) непрерывно дифференцируема то f_k(t) непрерывно дифференцируема. Предположим что f достаточно гладкая.Предположим что (4) сходится равномерно в Q_T. Решение ищем в виде ряда _k=1^C_k(t) sin kx/l=u(t,x) (5) подставим (5) в уравнение (1) и получаем условие но С_к получим _k=1^ [C`<sub>k</sub>(t) +(k/l)<sup>2</sup>a<sup>2</sup> C<sub>k</sub>(t) -f<sub>k</sub>(t)]*sin kx/l=0 это выполнено когда каждый член равен нулю. Два ряда Фурье сходятся когда равны их коэффициенты C`_k(t) +(k/l)²a² C_k(t) -f_k(t)=0 (6) (2) будет выполнено когда C_k(0)=0 (7) k=1..m. (6),(7) задача Коши для линейного уравнения с постоянными коэффициентами. Известно что если f_k(t)C^m[0,T] то С_k(t)C^m+1[0,T] решение имеет гладкость на 1 больше. ПустьС_к(t) решение задачи (6),(7) тогда (5) решение задачи (1)-(3)

Общая Задача

Неоднородное уравнение, неоднородные начальные и конечные условия U_t=a²U_xx+f(t,x) (1), U(0,x)=u₀(x) (2), U(t,0)=₁(t),U(t,l)=₂(t) (3), F(t,x)=₂(t)x/l+₁(t)(l-x)/l (*) удовлетворяет (3) W=u-F, где u решение задачи (1)-(3). Тогда W_t=a²W_xx+Ф(t,x) (4) где Ф(t,x)=f(t,x)-F_t+a²F_xx, W(0,x)=w₀(x), W₀(x)=u₀(x)-F₀(0,x) (5), W(t,0)=W(t,l)=0 (6).

Обобщенное решение.

С()={f(x) непрерывна на }, _n имеет достаточно гладкую границу.

С()={f(x) непрерывна на },||f||_c(=max_ |f(x)|(1)

1. ||f||_c()0, ||f||_c()=0f0 на .

2. ||f||_c()=|| ||||f||_c()

3. ||f+g||_c()||f||_c()+||g||_c()

|f(x)+g(x)||f|+|g|max_|f|+max_|g|=||f||_c()+||g||_c()||f+g||_c()=max_|f(x)+g(x)| ||f||_c() +||g||_c().

|||| непрерывные функции на открытом множестве, может быть не ограничена.

С() с нормой (1) –Банахово пространство.

С^к()={f|D^f , (||k)C()}

С^к()={f|D^f , (||k)C()}-банахова

D^f=^||f/x_x1^1….x_n^n, =(₁.._n)-мультииндекс

||f||_cк()=_||k||D^f||_C()

C^()={f|D^fC() ||0}

C^()={f|D^fC() ||0}

||f||_c()=_||||D^f||_C()

Финитная в  функция, _={x|x, p(,x)>}.

Определение. f(x) финитная в , определенная в  и f(x)0 x\_,P(,_)=

C⁰()={f|f- финитная в  и fC(),

C⁰()={f|f- финитная в  и fC(),

P1, L_p()={f-измерима по Лебегу на  и суммируемая на  со степенями р, то есть _|f(x)|^pdx<}, ||f||_Lp()=(|f|^pdx)^1/p

P=2, ||f||_L2()=(_f²(x)dx)^1/2, (f,g)=(f,g)_L2()=_fgdx (*).

`-означает ` (открытое множество)-строгое вложение.

Определение. L_p,loc()={f измеримо на  и такое что fL_p(`) `}.

L_p()L_p,loc(), C()C^k(),C()L_p()

C^0k()-функции финитные и непрерывн0-дифференцируемые к раз.

С^0()- функции финитные и бесконечнодифференцируемые.

Утверждение. Пространство C^0() всюду плотное в L₂(),Так как k C^0k()C^0() k C^0k() всюду плотно (L₂())

Определение.Н-банахово пространство, MH всюду плотно, если fH,{f_k}_k=1^M : ||f-f_k||_H^k0.

Обобщенные производные.

f,gC`(), Eⁿ, _f(x)g(x)dx/x_i=_f(s)g(s)cos(n,x_i)ds-_(f)/dx_i *gdx (1), cos (n,x_i) угол между внешней единичной нормалью и осью Оx_i.

Определение. f^L_2,loc() называется  обобщенной производной в области  функции fL_2,loc() , если gC^0||() выполняется тождество _fD^gdx=(-1)^||_f^gdx.

Свойства обобщенной производной.

1. Единственность. Если обобщенная производная существует, то она единственна.

А) Если fC^0k(^~),  то f C^0k(^)

b) Если fC⁰¹(^~), gL₂() то _fgdx=~_fgdx, \^~ fg=0, _=_~+_\~

c) Пусть H- гильбертово пространство, если некоторый элемент hH ортогонален всюду плотному множеству в H, то h0.

Доказательство: f₂L₂,loc(),f^₁,f₂^-обобщенные производные f. _fD^gdx=(-1)^||_f₁gdx, gC^0||(), _fD^gdx=(-1)^||_f₂gdx, gC^0||(). Вычитая получаем :_(f₁^-f₂^)gdx=0, g C^0||() так как f₁^-f₂^L₂,_loc() то рассмотрим ^~, gC^0||() по a,b.

~_(f₁^-f₂^)gdx=0=(f₁^-f₂^,g)_L2(~) так как C^0||(^~) всюду плотно в L₂(~) то f₁^-f₂^=0 почти всюду в ~. В силу произвольности ~ получаем, что f₁^-f₂^=0 почти всюду в 

2. Если функция f(x) имеет непрерывную классическую производную, тогда функция f(x) имеет и -обобщенную производную, такую что f^=D^f. Доказательство:fC^||(), g C^0||(), _fD^gdx=( раз формулу интегрируют по частям, для дифференцируемых функций)=(-1)^||_D^fgdx. Получаем по определению можно считать что D^f=f^. А в силу единственности обобщенной производной, получим что других обобщенных производных нет.

3.-обобщенная производная зависит от порядка , но не зависит от порядка дифференцирования.

f₁^=^||f/x^1₁ x^1₂..x_n^n, f₂^=^||f/x^1₂ x^1₁..x_n^n, gC^0||()

_f^||gdx/x₁^1x₂^2…x_n^n=(-1)^||_f₁^gdx, _f^||gdx/x₂^1x₁^2…x_n^n=(-1)^||_f₂^gdx_(f₁^-f₂^)gdx=0, gC^0||(). Повторяем рассуждения приведенные при доказательства свойства (1) получаем f₁^-f₂^=0 почти всюду в .

4. Пусть есть набор f_i, i=1..n, -ОП f_i^ ,i=1..n. Тогда f=_i=1ⁿC_if_i имеет  обобщенную производную f^=_i=1ⁿC_if_i^, где C_i-const. Следует из аддитивности интегралов.

5. Пусть f имеет  обобщенную производную. D^f=, а функция  имеет  обобщенную производную D^=, тогда функция f имеет  обобщенную производную D^+=. Доказательство: Пусть gC^0||+|| (), _ fD^gdx=_fD^(D^g)dx=(так как f имеет обобщенную производную D^f=)=(-1)^||_gdx=(-1)^|| _D^ gdx=( так как  имеет обобщенную производную D^=) =(-1)^||+||_ gdx, так как 0 то ||+||=||.

Определение. f^L_2,loc() называется обобщенной производной( в смысле Соболева) функции fL_2,loc(), если gC^0||().)_f(x)D^ g(x)dx=(-1)^|| _f^g(x)dx (1).