Постановка краевых задач

L(u)=_i,j=1ⁿa_ij(x)*(²u(x)/x_ix_j)+_i=1ⁿb_i(x)(u(x)/x_i)+c(x)u(x)-оператор

1.Уравнения описывающие стационарные процессы

Пусть u=u(x), x,E_n

L(u)=f, x (1)

Первая краевая задача: Найти u(x) определенную в , удовлетворяющую в  уравнению (1), а на границе условию: u|_=(x),x (2)-граничные условия первого рода.

(1)(2)-1 КЗ.

u(x)C²()C() называется классическим решением первой краевой задачи , если в  она удовлетворяет (1), а на границе  (2).

С()={f;f- непрерывна на  вплоть до границы}, C^k()-множество функций f которые непрерывны в  и имеют в  непрерывные производные до k-го включительно порядка.

Вторая краевая задача

Найти функцию u(x) определенную в  удовлетворяющую в  уравнению (1) а на границе условию u/N|_=(x) (3) x, N- внешняя единичная нормаль границы области . Cos(N,x_i) направляющие косинусы нормали. u/N=_i=1ⁿu/x_i* cos(N,x_i).

Классическое решение задачи (1),(3) uC²()C₁(), и удовлетворяет в  уравнению (1), а на границе (3).

Третья краевая задача.

Найти функцию u(x) определенную в  удовлетворяющую в  уравнению (1) а на границе условию (u/N+(x)u)|_=(x), x (4) (x)>0 ((x)>0 условие знакопостоянства). (4) краевое условие третьего рода. Классическое решение задачи (1),(4) uC²()C₁(), и удовлетворяет в  уравнению (1), а на границе (4).

Частный случай уравнения (1):

a_ij=_ij=(знак системы)1 при i=j, 0 при ij. b_i(x)=c(x)=0. Из (1) следует u=f первая краевая задача для уравнения Пуассона- задача Дирихле: u=f, x=, u|_=u(x), x.Вторая краевая задача u=f x=, u/N|_=(x), x-задача Неймона. Замечание: можно на различных частях границы задавать разные краевые задачи-задачи смешанного типа.

2.Не стационарное уравнение.

Q_T={(t,x)|0<t<T,x,E_n}- цилиндрическая область. S_T=[0,T]-боковая граница. L(u)=_i,j=1ⁿa_ij(t,x)²u/x_ix_j+_i=1ⁿb_i(t,x)u/x_i+c(t,x)u. u/t=L(u)+f(t,x), (t,x)Q_T (5).

Первая краевая задача

u(0,x)=u₀(x), x (6) начальные условия( в основании цилиндра)

u|_ST=(t,x), (t,x)S_T (7) граничные условия

(5)-(7)-первая краевая задача (так как одна производная 1 условие). Найти функцию u(t,x) определенную в Q_T удовлетворяющую в Q_T уравнению (5) при t=0 начальному условию (6) а на S_T (7).

Функция u(t,x)C²(Q_T)C(Q_T) называется классическим решением первой краевой задачи если она удовлетворяет уравнению (5) в Q_T, начальному условию (6) при t=0б а на S_T граничному условию (7).

Вторая краевая задача

Найти функцию u(t,x) определенную в Q_T удовлетворяющую в Q_T уравнению (5) при t=0 начальному условию (6) а на S_T условию: u/N|_ST=(t,x), (t,x)S_T (8). (5,6,8)-2 краевая задача.

Функция u(t,x)C²(Q_T)C¹(Q_T) называется классическим решением второй краевой задачи если она удовлетворяет уравнению (5) в Q_T, начальному условию (6) при t=0б а на S_T граничному условию (8).

Третья краевая задача

Найти функцию u(t,x) определенную в Q_T удовлетворяющую в Q_T уравнению (5) при t=0 начальному условию (6) а на S_T условию: (u/N+(x)u)|_ST=(t,x), (x)>0(<0) (9). (5,6,9)-3 краевая задача.

Функция u(t,x)C²(Q_T)C¹(Q_T) называется классическим решением второй краевой задачи если она удовлетворяет уравнению (5) в Q_T, начальному условию (6) при t=0б а на S_T граничному условию (9).

3.

²u/t²=L(u)+f(t,x) (10), L(u)=_i,j=1ⁿa_ij(t,x)²u/x_ix_j+_i=1ⁿb_i(t,x)u/x_i+c(t,x)u, A(t,x)=((a_ij(t,x)) положительная матрица