В общем виде Волновое уравнение

Q_T={(t,x)|0<t<T,x,E_n}- цилиндрическая область. S_T=[0,T]-боковая граница. L(u)=_i,j=1ⁿa_ij(t,x)²u/x_ix_j+_i=1ⁿb_i(t,x)u/x_i+c(t,x)u. u/t=L(u)+f(t,x), (t,x)Q_T (5).

Первая краевая задача

u(0,x)=u₀(x), x (6) начальные условия( в основании цилиндра)

u|_ST=(t,x), (t,x)S_T (7) граничные условия (5)-(7)-первая краевая задача (так как одна производная 1 условие). Найти функцию u(t,x) определенную в Q_T удовлетворяющую в Q_T уравнению (5) при t=0 начальному условию (6) а на S_T (7).

Функция u(t,x)C²(Q_T)C(Q_T) называется классическим решением первой краевой задачи если она удовлетворяет уравнению (5) в Q_T, начальному условию (6) при t=0б а на S_T граничному условию (7).

Вторая краевая задача

Найти функцию u(t,x) определенную в Q_T удовлетворяющую в Q_T уравнению (5) при t=0 начальному условию (6) а на S_T условию: u/N|_ST=(t,x), (t,x)S_T (8). (5,6,8)-2 краевая задача.

Функция u(t,x)C²(Q_T)C¹(Q_T) называется классическим решением второй краевой задачи если она удовлетворяет уравнению (5) в Q_T, начальному условию (6) при t=0б а на S_T граничному условию (8).

Третья краевая задача

Найти функцию u(t,x) определенную в Q_T удовлетворяющую в Q_T уравнению (5) при t=0 начальному условию (6) а на S_T условию: (u/N+(x)u)|_ST=(t,x), (x)>0(<0) (9). (5,6,9)-3 краевая задача.

Функция u(t,x)C²(Q_T)C¹(Q_T) называется классическим решением второй краевой задачи если она удовлетворяет уравнению (5) в Q_T, начальному условию (6) при t=0, а на S_T граничному условию (9).

*Область-открытое множество.

*ОДУ- уравнение в которое входит переменная функция и производная.

*Уравнением в частных производных называется уравнение в которое входят независимые переменные x₁,..x_n, неизвестная функция u(x) и ее частные производные. Порядок наивысшей производной входящей в уравнение называется порядком уравнения.

*Уравнение называется сильно не линейным если старшие производные уравнения входят в него не линейно (например, коэффициент перед ними зависит от старших производных).

*Линейное уравнение которое не является сильно не линейным называется квазилиейным уравнением.

*.Уравнение в частных производных в которых неизвестная функция и все ее частные производные входят линейным образом называется линейным уравнением.

*Линейное уравнение второго порядка в общем виде-_i,j=1ⁿa_ij(x)*(²u(x)/x_ix_j)+_i=1ⁿb_i(x)(u(x)/x_i)+c(x)u(x)=f(x) (*),где х-n-мерный вектор, a_ij(x),b_i(x),c(x)-заданные функции в  (коэф. уравнения), f(x) заданная функция.

_i,j=1ⁿ/x_i(a_ij*u(x)/x_j)+_i=1ⁿb_i(x)u(x)/x_i+c(x)u(x)=f(x)(**)-линейное уравнение второго порядка записанное в дивергентном виде. Как правило считают что выполняется соотношение a_ij(x)=a_ji(x) i,j=1..n. То есть матрица(А(х)) составленная из коэффициентов симметрическая. Зафиксируем точку х, тогда рассмотрим |A(x)-E|, Е- единичная матрица. Корень данного уравнение есть собственное число. Так как матрица симметрическая то все собственные значение действительны. Уравнение имеет n корней учитывая кратность . Обозначим -число положительных собственных чисел,-отрицательных, -нулевых. ()-тип уравнения (*),(**) в точке х. Домножив (*) на –1 ().

Типы уравнений:

=n

1)(n,0,0)(0,n,0)-эллиптический тип

2)(n-1,1,0)(1,n-1,0)-гиперболический тип

3)(n-1,0,1)(0,n-1,1)-параболический тип

4) (n-2,2,0)(2,n-2,0)-ультрогиперболический

Примеры:

1. Уравнение описывающее волновые процессы

u_tt=a²u+f(t,x,u,u), u=_i=1ⁿ²u/x²_i, u=u(t,x), tE₁,tE₂

n=1- уравнение колебания струны

n=2 уравнение колебания мембраны

n=3 уравнение колебания объемов

a=const, u_tt-a²u=f(t,x,u,u)-диагональная матрица a₁₁=1, a_ij=-a² , собственные числа-₁=1,_k=-a², (1,n-1,0) гиперболический тип уравнения.

2.Уравнение описывающее распространение тепла, диффузионные процессы.

U_t=a²u+f(t,x,u,u)-уравнение теплопроводности, u=u(t,x), tE₁,xE_n соберем старшие роизводные: 0*u_tt-a²u=-u_t+f(t,x,u,u)-диагональная матрица a₁₁=0, a_k=-a², k=2,..n, (0,n-1 ,1) параболический тип.

3. Уравнение Пуассона

u=f(x), u=u(x). Если f=0,u=0- уравнение Лапласса

Диагональная матрица с единицами по диагонали. _к=1, k=1,..n, (n,0,0,)(0,n,0) эллиптический тип.

4. Уравнение Трихоли- истечение газа из сокла

y*²u/x²+²u/y²=0

определим в каждой точке (х,у) тип уравнения. ₁=у, ₂=1, y>0-эллиптический, y=0 параболический, y<0 гиперболический