2Уравнение теплопроводности.

u_t=a² u +f(t,x,y), u=²u/x+²u/y,(*) x,yQ_T={(t,x,y): 0<t<T, l₁<x<l₂, p₁<y<p₂, x,yE²}

1:Найти u(t,x) C²(Q_T)C(Q_T ) определенную в области 0tT, l₁xl₂, p₁yp₂ и удовлетворяющую в уравнению(*) для 0<t<T, l₁<x<l₂, p₁<y<p₂ , начальному условию u(0,x,y)=u₀(x,y) , l₁<x<l₂, p₁<y<p₂ и граничным условиям u(t,x,y)|_x=L1=₁(t,y), u(t,x,y)|_x=L2=₂(t,y), p₁<y<p₂ ,u(t,x,y)|_y=p1=₃(t,x), u(t,x,y)|_y=p2=₄(t,x), l₁<x<l₂ ,0<t<T

2:Найти u(t,x) C²(Q_T)C¹(Q_T ) определенную в области 0tT, l₁xl₂, p₁yp₂ и удовлетворяющую в уравнению(*) для 0<t<T, l₁<x<l₂, p₁<y<p₂ , начальным условиям u(0,x,y)=u₀(x,y) , l₁<x<l₂, p₁<y<p₂ и граничным условиям

u(t,x,y)/x|_x=L1=₁(t,y), u(t,x,y)/x|_x=L2=₂(t,y), p₁<y<p₂ , u(t,x,y)/y|_y=p1=₃(t,x), u(t,x,y)/y|_y=p2=₄(t,x), l₁<x<l₂ , 0<t<T

3:Найти u(t,x) C²(Q_T)C¹(Q_T ) определенную в области 0tT, l₁xl₂, p₁yp₂ и удовлетворяющую в уравнению(*) для 0<t<T, l₁<x<l₂, p₁<y<p₂ , начальным условиям u(0,x,y)=u₀(x,y), l₁<x<l₂, p₁<y<p₂ и граничным условиям

(-u(t,x,y)/x +(x,y)*u(t,x,y))|_x=L1=₁(t,y), (u(t,x,y)/x +(x,y)*u(t,x,y))|_x=L2=₂(t,y),

p₁<y<p_2, (-u(t,x,y)/y +(x,y)*u(t,x,y))|_y=p1=₃(t,x), (u(t,x,y)/y +(x,y)*u(t,x,y))|_y=p2=₄(t,x),

l₁<x<l₂, 0<t<T, ((x,y)>0) ((x,y)<0)

Для n=2;

Уравнение Пуассон

u=f(x,y), u=²u/x+²u/y (*) ={(x,y), a₁<x<b₁,a₂<y<b₂}

1:Найти u(t,x) C²()C( ), определенную в области a₁xb₁,a₂yb₂ и удовлетворяющую в уравнению (*) для a₁<x<b₁,a₂<y<b₂, и граничным условиям u(x,a₂)=₁(x), u(x,b₂)=₂(x), a₁<x<b₁ u(a₁,y)=₃(y), u(b₁,y)=₄(y) a₂<y<b₂

2:Найти u(t,x) C²()C¹( ), определенную в области a₁xb₁,a₂yb₂ и удовлетворяющую в уравнению (*) для a₁<x<b₁,a₂<y<b₂, и граничным условиям u(x,a₂)/y=₁(x), u(x,b₂)/y=₂(x), a₁<x<b₁, u(a₁,y)/x=₃(y), u(b₁,y)/x=₄(y), a₂yb₂

3:Найти u(t,x) C²()C¹( ), определенную в области a₁xb₁,a₂yb₂ и удовлетворяющую в уравнению (*) для a₁<x<b₁,a₂<y<b₂, и граничным условиям -u(x,a₂)/y+(x,a₂)*u(x,a₂)=₁(x), u(x,b₂)/y+(x,b₂)*u(x,b₂)=₂(x), a₁<x<b₁, -u(a₁,y)/x+(a₁,y)*u(a₁,y)=₃(y), u(b₁,y)/x+(b₁,y)*u(b₁,y)=₄(y), a₂<y<b₂

((x,y)>0) ((x,y)<0)

В общем виде Теплопроводность

Пусть u=u(x), x,E_n

L(u)=f, x (1)

Первая краевая задача: Найти u(x) определенную в , удовлетворяющую в  уравнению (1), а на границе условию: u|_=(x),x (2)-граничные условия первого рода.

(1)(2)-1 КЗ.

u(x)C²()C() называется классическим решением первой краевой задачи , если в  она удовлетворяет (1), а на границе  (2).

С()={f;f- непрерывна на  вплоть до границы}, C^k()-множество функций f которые непрерывны в  и имеют в  непрерывные производные до k-го включительно порядка.

Вторая краевая задача

Найти функцию u(x) определенную в  удовлетворяющую в  уравнению (1) а на границе условию u/N|_=(x) (3) x, N- внешняя единичная нормаль границы области . Cos(N,x_i) направляющие косинусы нормали. u/N=_i=1ⁿu/x_i* cos(N,x_i).

Классическое решение задачи (1),(3) uC²()C₁(), и удовлетворяет в  уравнению (1), а на границе (3).

Третья краевая задача.

Найти функцию u(x) определенную в  удовлетворяющую в  уравнению (1) а на границе условию (u/N+(x)u)|_=(x), x (4) (x)>0 ((x)>0 условие знакопостоянства). (4) краевое условие третьего рода. Классическое решение задачи (1),(4) uC²()C₁(), и удовлетворяет в  уравнению (1), а на границе (4).