Краевые задачи

N=1

1. Уравнение колебания струны

u_tt=a² u_xx +f(t,x) (*)

I КЗ: найти функцию u(x,t)C²((0,T)(0,l))C¹([0,T][0,l]), определенную в области 0хl, t[0,Т], удовлетворяющую уравнению (*) для 0<x<l, t(0,Т)(1), граничным условиям u(0,t)=₁(t), u(l,t)=₂(t) t(0,T),(2) и начальным условиям u(0,x)=(x), u_t(0,x)=(x), 0<x<l.(3)

U(x)C²((0,T)(0,l))C¹([0,T][0,l]) называется классическим решением первой краевой задачи если она удовлетворяет уравнению (*) в области 0хl, t[0,Т],начальным условиям (3) при t=0,

а на t[0,T] граничным условиям (2).

II КЗ: найти функцию u(x,t)C²((0,T)(0,l))C¹([0,T][0,l]), определенную в области 0хl, t[0,Т], удовлетворяющую уравнению (*) для 0<x<l, t(0,Т)(1), граничным условиям u_х(0,t)=₁(t), u_х(l,t)=₂(t) t(0,T),(2) и начальным условиям u(0,x)=(x), u_t(0,x)=(x), 0<x<l.(3)

III КЗ: найти функцию u(x,t) C²((0,T)(0,l))C¹([0,T][0,l]), определенную в области 0хl, t[0,Т], удовлетворяющую уравнению (*) для 0<x<l, t(0,Т)(1), граничным условиям -u_х(0,t)+u(t,0)=₁(t), u_х(l,t)+u(t,l)=₂(t) t(0,T),(2) и начальным условиям u(0,x)=(x), u_t(0,x)=(x), 0<x<l.(3)

Задача коши: найти решение уравнения …для -<x< c начальными условиями….при -<x<.

N=1

2. Уравнение теплопроводности

u_t=a² u_xx +f(t,x) (*)

I КЗ: найти функцию u(x,t) C²((0,T)(0,l))C([0,T][0,l]), определенную в области 0хl, t[0,Т], удовлетворяющую уравнению (*) для 0<x<l, t (0,Т)(1), граничным условиям u(0,t)=₁(t), u(l,t)=₂(t) t(0,T),(2)и начальным условиям u(0,x)=(x), 0<x<l.(3)

U(x)C²((0,T)(0,l))C([0,T][0,l]) [U(x)C²((0,T)(0,l))C¹([0,T][0,l]) –II,III]называется классическим решением первой краевой задачи если она удовлетворяет уравнению (*) в области 0хl, t[0,Т],начальным условиям (3) при t=0, а на t[0,T] граничным условиям (2).

II КЗ: найти функцию u(x,t)C²((0,T)(0,l))C¹([0,T][0,l]), определенную в области 0хl, t[0,Т], удовлетворяющую уравнению (*) для 0<x<l, t(0,Т)(1), граничным условиям u_х(0,t)=₁(t), u_х(l,t)=₂(t) t(0,T),(2)и начальным условиям u(0,x)=(x), 0<x<l.(3)

III КЗ: найти функцию u(x,t)C²((0,T)(0,l))C¹([0,T][0,l]) , определенную в области 0хl, t[0,Т], удовлетворяющую уравнению (*) для 0<x<l, t (0,Т)(1), граничным условиям -u_х(0,t)+u(t,0)=₁(t), u_х(l,t)+u(t,l)=₂(t) t(0,T),(2)и начальным условиям u(0,x)=(x), 0<x<l.(3)

Задача коши: найти решение уравнения …для -<x< c начальными условиями….при -<x<.

Для n=2;

1.Волновое уравнение

u_tt=a² u +f(t,x,y), u=²u/x+²u/y,(*) x,yQ_T={(t,x,y): 0<t<T, l₁<x<l₂, p₁<y<p₂ x,yE²}

1:Найти u(t,x) C²(Q_T)C¹(Q_T ) определенную в области 0tT, l₁xl₂, p₁yp₂ и удовлетворяющую в уравнению(*) для 0<t<T, l₁<x<l₂, p₁<y<p₂ , начальным условиям u(0,x,y)=u₀(x,y), u_t(0,x,y)=u₁(x,y) , l₁<x<l₂, p₁<y<p₂ и граничным условиям u(t,x,y)|_x=L1=₁(t,y), u(t,x,y)|_x=L2=₂(t,y), p₁<y<p₂ ,u(t,x,y)|_y=p1=₃(t,x), u(t,x,y)|_y=p2=₄(t,x), l₁<x<l₂ ,0<t<T

2:Найти u(t,x) C²(Q_T)C¹(Q_T ) определенную в области 0tT, l₁xl₂, p₁yp₂ и удовлетворяющую в уравнению(*) для 0<t<T, l₁<x<l₂, p₁<y<p₂ , начальным условиям u(0,x,y)=u₀(x,y), u_t(0,x,y)=u₁(x,y) , l₁<x<l₂, p₁<y<p₂ и граничным условиям

u(t,x,y)/x|_x=L1=₁(t,y), u(t,x,y)/x|_x=L2=₂(t,y), p₁<y<p₂ , u(t,x,y)/y|_y=p1=₃(t,x), u(t,x,y)/y|_y=p2=₄(t,x), l₁<x<l₂ , 0<t<T

3:Найти u(t,x) C²(Q_T)C¹(Q_T ) определенную в области 0tT, l₁xl₂, p₁yp₂ и удовлетворяющую в уравнению(*) для 0<t<T, l₁<x<l₂, p₁<y<p₂ , начальным условиям u(0,x,y)=u₀(x,y), u_t(0,x,y)=u₁(x,y) , l₁<x<l₂, p₁<y<p₂ и граничным условиям

(-u(t,x,y)/x +(x,y)*u(t,x,y))|_x=L1=₁(t,y), (u(t,x,y)/x +(x,y)*u(t,x,y))|_x=L2=₂(t,y),

p₁<y<p_2, (-u(t,x,y)/y +(x,y)*u(t,x,y))|_y=p1=₃(t,x), (u(t,x,y)/y +(x,y)*u(t,x,y))|_y=p2=₄(t,x),

l₁<x<l₂, 0<t<T, ((x,y)>0) ((x,y)<0)

Для n=2;