Постановка краевых задач

L(u)=_i,j=1ⁿa_ij(x)*(²u(x)/x_ix_j)+_i=1ⁿb_i(x)(u(x)/x_i)+c(x)u(x)-оператор

1.Уравнения описывающие стационарные процессы

Пусть u=u(x), x,E_n

L(u)=f, x (1)

Первая краевая задача: Найти u(x) определенную в , удовлетворяющую в  уравнению (1), а на границе условию: u|_=(x),x (2)-граничные условия первого рода.

(1)(2)-1 КЗ.

u(x)C²()C() называется классическим решением первой краевой задачи , если в  она удовлетворяет (1), а на границе  (2).

С()={f;f- непрерывна на  вплоть до границы}, C^k()-множество функций f которые непрерывны в  и имеют в  непрерывные производные до k-го включительно порядка.

Вторая краевая задача

Найти функцию u(x) определенную в  удовлетворяющую в  уравнению (1) а на границе условию u/N|_=(x) (3) x, N- внешняя единичная нормаль границы области . Cos(N,x_i) направляющие косинусы нормали. u/N=_i=1ⁿu/x_i* cos(N,x_i).

Классическое решение задачи (1),(3) uC²()C₁(), и удовлетворяет в  уравнению (1), а на границе (3).

Третья краевая задача.

Найти функцию u(x) определенную в  удовлетворяющую в  уравнению (1) а на границе условию (u/N+(x)u)|_=(x), x (4) (x)>0 ((x)>0 условие знакопостоянства). (4) краевое условие третьего рода. Классическое решение задачи (1),(4) uC²()C₁(), и удовлетворяет в  уравнению (1), а на границе (4).

Частный случай уравнения (1):

a_ij=_ij=(знак системы)1 при i=j, 0 при ij. b_i(x)=c(x)=0. Из (1) следует u=f первая краевая задача для уравнения Пуассона- задача Дирихле: u=f, x=, u|_=u(x), x.Вторая краевая задача u=f x=, u/N|_=(x), x-задача Неймона. Замечание: можно на различных частях границы задавать разные краевые задачи-задачи смешанного типа.

Корректность по Адамару

Задача называется корректной по Адамару если выполняются условия: 1) решение задачи существует, 2) единственно, 3) непрерывно зависит от входных данных.

Задача Коши.

L(u(x))=0 (1) U(x)=u(x₁,….. x_n), xE_n, GE_k,SG, G-область, размерность Sn-1, l-оператор заданный на S.Задача Коши в общем виде Найти в ^~G(с волной)G и S^~G, ^~G-область решения уравнения (1), удовлетворяющее на S условию lu|_S=(x), xS. Классическая задача Коши

1. Уравнение теплопроводности

u/t=L(u(t,x))+f(t,x) (1), L(u)=_i,j=1ⁿa_ij(t,x)u_xixj(t,x)+_i=1ⁿb_i(t,x)u_xi+c(t,x)u

_i,j=1ⁿa_ij(t,x)_i_j>0, (t,x)П_[0,T]={(t,x)|0tT,xE_n}, f,a_ij,b_i,c-заданы в П_[0,T], u(0,x)=(x),xE_n (2).Задача Коши (1),(2): Найти функцию uC^1,2(П_[0,T])C(П_[0,T]) удовлетворяющую (1) в П_[0,T] и совпадающую с (х) при t=0(выполнение условия (2)). П_[0,T]=(0,Т]E_n, C^1,2(G) линейное пространство функций на G имеющие непрерывные производные u_t,u_xi,u,u_xixj.

2.Уравнение колебания

²u/t²=L(u(t,x))+f(t,x) (3),u(0,x)=u₀(x),xE_n(4), u_t(0,x)=u₁(x),xE_n(5), (3)-(5) задача Коши для (3): Найти u(t,x)C²(П_(0,T]C¹(П_[0,T]) удовлетворяющуу в П_(0,T] уравнению (3) и условию (4)(5).

Уравнение колебания струны. Формула Даламбера.

u_tt=a²u_xx (1), u(0,x)=u₀(x) (2), u_t(0,x)=u₁(x), xE₁(3). Введем следующую замену переменных: =x+at,=x-at подставляя в (1) получим u(,)_=0 отсюда получим решение u()=g()+f() произвольные дважды дифференцируемые, подставляя  из замены получаем u(t,x)=v(x+at,x-at)=f(x+at)+g(x-at) (4)-есть решение (1). Нужно найти f,g на основании (2),(3). При t=0 u(0,x)=f(x)+g(x)=u₀(x) (5), u_t(0,x)=af`(x)-ag`(x)=u₁(x) (6).f,g- функции одного аргумента. Проинтегрируем (6) по х, разделив его на а. f(x)-g(x)=1/a₀^xu₁()d+c (7) сложим (5) и (7) и разделим на 2. f(x)=u₀(x)/2+1/2a₀^xu₁()d+c/2 (8). Из (5) вычтем (7) находим g(x)= u₀(x)/2-1/2a₀^xu₁()d-c/2, u(t,x)=f(x+at)+g(x-at)= u₀(x+at)/2+1/2a₀^x+atu₁()d+c/2+ u₀(x-at)/2-1/2a₀^x-atu₁()d-c/2, u(t,x)= u₀(x+at)/2+ u₀(x-at)/2+1/2a_x-at^x+atu₁()d..Функция v(t,x)=(x+_-at) где  функция одного аргумента, а константа называется простой волной. Покажем что решение задачи (1)-(3) есть сумма двух простых волн u(t,x)=(x+at)+(x-at) где (x+at)=u₀(х+at)/2+1/2a ₀^x+atu₁()d,(x-at)=u₀(х-at)/2+1/2a _x-at⁰u₁()d,x+at=C₁,x-at=C₂, (x+-at)=(const), (x+at),(x-at)-простые волны. Пусть u₁=0u(t,x)=u₀(x+at)/2+u₀(x-at)/2 ,X¹=x⁰-at⁰, x²=x⁰+at⁰, u(t⁰,x⁰)=[u₀(x¹)+ u₀(x²)]/2, u(t⁰,x⁰)=[u₀(x¹)+u₀(x²)]/2+1/2a_[x1,x2]u₁()d. Пусть u₁(x)0 тогда u(t,x)=u₀(x+at)/2+u₀(x-at)/2, u(0,x)=u₀, u₀=u₀(x)/2+u₀(x)/2.

Задача Коши на полупрямой u_tt=a²u_xx (1) u(0,x)=u₀(x) (2) u_t(0,x)=u₁(x) (3) u(t,0)=0 (4),t>0,x>0,u_x(t,0)=0 (5),(1)-(4)-задача где на левом конце задана функция (1)-(3),(5)- задача где на левом конце задано значение производной.

Задача Коши для уравнения теплопроводности. Формула Пуассона.

u_t=u_xx (1), u(0,x)=u(x) x(-,+), t>0

Уравнение параболического типа.

*Функция u(t,x)C(Q_T)C^1,2(Q_T) называется классическим решением уравнения (1) если она удовлетворяет уравнению (1) в Q_T.

C^1,2(Q_T)={f₁,f_t,f_xi,f_xi,xjC(Q_T)}

1.Задача Коши в общем виде: Рассмотрим область GE_n и гиперплоскость SG (рис.1). Размерность S  n-1. l-диф. оператор, заданный на S. Необходимо найти в GG (SG) область решений ф-ции U(x)=U(x₁….x_n), xE_n уравнений L(U(x))=0, удовлетворяющих на S условию: (l*U)/S=(x), xS.

2.Задача Коши для уравнения теплопроводности: Итак, L(U(t,x))+f(t,x) (1), где L(U)=(i,j меняется от 1 до n)a_ij(t,x)U_xi,xj(t,x)+ (i меняется от 1 до n)b_i(t,x)U_xi(t,x)+c(t,x)U. (i,j меняется от 1 до n)a_ij(t,x)_i_j>0 (t,x)[0,t]={(t,x)| 0tT,xE_n}. Коэффициенты a,b,c заданы в полосе [0,t]. Необходимо присутствие условия: U(0,x)=(x),xE_n (2). Тогда условия (1) и (2) образуют задачу Коши, звучащую след. образом: Найти ф-цию UC^1,2([0,T]C([0,T])) (C¹(G) – по t, C²(G) – по х; C^1,2(G) – линейное пр-ство ф-ций на G, имеющих непр. производные u_t,u_xi,u_xj,u_xixj), удовлетворяющую (1) в [0,T] и совпадающую с ф-цией (x) при t=0 (т.е. выполнено условие (2)) (т.е. нужно в полосе [0,T] найти ф-цию U, кот. во всех, кроме t=0, (.)-ках удовлетворяет ур-ю (1), а при t=0 совпадает с (x)).

3. Задача Коши для уравнения колебания струны: Итак, ²U/t²=L(u(t,x))+f(t,x) (1). При -нии условий U(0,x)=U₀(x), xE_n (2) и U_t(0,x)=U₁(x), xE_n (3) можно говорить о задаче Коши для ур-я колебания струны, кот. звучит след. образом: найти ф-цию U(t,x)C²([0,T])C¹([0,T]) (т.к. необходимо, чтобы выполнялось условие (3)), удовлетвор. в [0,T] ур-ям (1),(2),(3).

4. Вывод ф-лы Даламбера для ур-я колебания струны: Дано: U_tt=a²U_xx (1), U(0,x)=U₀(x) (2), U_t(0,x)=U₁(x), xE_n (3). Введём замену: =x+at,=x-at (*), тогда (1) примет вид V_(,)=0  получ. решение V(,)=f()+g(), f,gC² (они дважды непрерывно дифференцируемы). U(t,x)=V(x+at,x-at)=f(x+at)+g(x-at) (4) – общее решение (1). Т.о. если решение есть, оно представимо в виде (4). На основе соотношений (2),(3) найдем f и g. Cделаем это при t₀=0: U(0,x)= f(x)+g(x)=U₀(x) (5); U(0,x)=af‘(x)-ag’(x) =U₁(x) (6). f и g ф-ции одного аргумента. Разделим (6) на а и проинтегрируем по х: f(x)-g(x)=1/a(от 0 до х)U₁()d+C (7).

8. Ф-ла Пуассона как решение задачи Коши для ур-я теплопроводности: U_t=U_xx (1), U(0,x)=(x), x(-,+) (2). Предположим, что (x) удовлетворяет условию: |(x)|Me^a|x|, где M,a- const>0. Докажем, что решение задачи (1),(2) дается ф-лой Пуассона: U(t,x)=1/2(t) (от - до +)e^{-[-x]в квадрате/4t} *()d (3) {ЭТО БУДЕТ СДЕЛАНО, КАК ТОЛЬКО МЫ ДОКАЖЕМ ТРИ УТВЕРЖДЕНИЯ!}.

9.Докажем, что интеграл Пуассона U(t,x)=1/2(t) (от - до +)e^{-[-x]в квадрате/4t} *()d сходится равномерно при t>0,xR.

18. Доказываем Th единственности классического решения для разных случаев. 1. Док-ть Th единственности классического решения 1-ой краевой задачи для ур-я L(U(t,x))=f (1). Док-во: Пусть U₁,U₂ – два решения 1-ой краевой задачи для (1). Рассмотрим U=U₁-U₂. Тогда U- решение ур-я L(U)=0, U|_Гт=0; f0q=0,N=0. Из |U(t,x)|e^Mt(q+Nt) (t,x)Q_т (выполняющемся условии, что в Th1 условие c<0 заменено на условие cM=const>0) получаем |U(t,x)|e^Mt(0+0*t)=0 вQ_т .