17. Основные задачи на прямую на плоскости.
Плоскость.
Общее
уравнение плоскости
:
,
где
. (25)
Уравнение плоскости в отрезках:
, (26)
где
– отрезки отсекаемые плоскостью на
координатных осях
соответственно.
Уравнение
плоскости, проходящей через заданную
точку
перпендикулярно заданному вектору
нормали
:
(27)
Уравнение
плоскости, проходящей через три заданные
точки
,
и
:
(28)
Угол
между плоскостями
и
Если
:
:
,
то
(29)
Замечание.
а)
||
||
, (30)
б)
. (31)
Расстояние
от заданной точки
до заданной плоскости
:
ищется по формуле:
(32)
п.2 Прямая в пространстве.
Уравнение
прямой
,
проходящей через заданную точку
параллельно заданному направляющему
вектору
:
–
каноническое
уравнение прямой, (33)
–
параметрические
уравнения прямой (34)
Уравнения
прямой, проходящей через две заданные
точки
и
:
(35)
Угол между прямыми в пространстве
Если известны направляющие вектора для прямых и :
то
Точка
пересечения прямой
и плоскости
ищется как решение системы
(36)
Из
последнего уравнения (36) находим значения
параметра
и, подставляя его в первые три уравнения,
находим коорданты точки пересечения
прямой и плоскости
Замечание.
а)
||
||
б)
Пусть
известны нормаль
к плоскости и направляющий вектор
прямой
,
тогда
а)
||
, (37)
б)
||
(38)
в)
(39)
18. Эллипс. Вывод канонического уравнения. Основные характеристики. Построение.
Эллипсом
называется геометрическое место точек
плоскости, для каждой из которых сумма
расстояний до двух данных точек той же
плоскости, назывемых фокусами эллипса
, есть величина постоянная.
Для эллипса можно дать еще несколько
эквивалентных определений. Желающие
могут познакомиться с ними в более
серьезных учебниках по аналитической
геометрии. Здесь же отметим только то,
что эллипс -- это кривая, получающаяся
как проекция на плоскость 
окружности,
лежащей в плоскости, которая образует
острый угол с плоскостью
.
В отличие от окружности, записать в
"удобном" виде уравнение эллипса
в произвольной системе координат не
удается. Поэтому для фиксированного
эллипса приходится подбирать систему
координат так, чтобы его уравнение было
достаточно простым. Пусть 
и 
--
фокусы эллипса. Начало 
системы
координат расположим на середине
отрезка 
.
Ось 
направим
вдоль этого отрезка, ось 
--
перпендикулярно к этому отрезку
Каноническое уравнение
Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):
Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат.
19. Гипербола. Вывод канонического уравнения. Основные характеристики. Построение.
Гипербола может быть определена несколькими путями.
Гипербола может быть определена, как множество точек, образуемое в результате сечения кругового конуса плоскостью, отсекающей обе части конуса. Другими результатами сечения конуса плоскостью являютсяпарабола, эллипс, а также такие вырожденные случаи, как пересекающиеся и совпадающие прямые и точка, возникающие, когда секущая плоскость проходит через вершину конуса. В частности, пересекающееся прямые можно считать вырожденной гиперболой, совпадающей со своими асимптотами.