2.8. Модальные характеристики

Модальные характеристики соответствуют свободной составляющей движения системы (2.6) или, другими словами, отражают свойства автономной системы типа (2.12)

(2.34)

(2.35)

(2.34)

Будем искать ее решение в виде экспонентыгде - скалярная экспонента, - вектор начальных условий.

Подставляя решение (2.35) в исходное уравнение (2.34), после преобразований получим

(2.37).

(2.36)

Система уравнений (2.36) будет иметь ненулевое решение относительно , еслиУравнение (2.37) называется характеристическим и имеет n-корней , которые называются собственными значениями матрицы A. При подстановке собственных значений в (2.37) получим

.

где - собственные векторы,

Совокупность собственных значений и собственных векторов представляет собой модальные характеристики системы.

Для (2.34) могут существовать лишь следующие экспоненциальные решения

(2.38)

которые называют модами. В случае, когда собственные значения вещественные и различные по значениям, полное решение системы (2.34) представляет собой линейную комбинацию мод:

(2.40) .

(2.39)

Для получения характеристического уравнения системы достаточно общий знаменатель передаточной матрицы (передаточной функции) приравнять нулю (2.29).Формально обобщенная частотная характеристика может быть получена из передаточной функции заменой p на

(2.41)

и представлена в виде

(2.43) .

(2.42)

Составляющие обобщенной частотной характеристики имеют самостоятельное значение и следующие названия:Эта величина выражается в децибелах (дб). При изображении ЛАЧХ удобнее по оси абсцисс откладывать частоту в логарифмическом масштабе, то есть , выраженную в декадах (дек).

Рис.2.7. Пример логарифмической амплитудной частотной характеристики

В логарифмическом масштабе может быть изображена также и ФЧХ:

Рис.2.8. Пример логарифмической фазовой частотной характеристики

Пример 2.8.

ЛФХ, реальная и асимптотическая ЛАЧХ системы, передаточная функция которой имеет вид:

.

(2.44)

.

Рис. 2.9. Реальная и асимптотическая ЛАЧХ системы

.

Рис. 2.10. ЛФХ системы

Литература ко второй главе: [3], [4], [6]-[9], [12], [14], [16], [17].

3. СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД

3.1. Введение

3.2. Пропорциональное звено (усилительное, безынерционное)

3.3. Дифференцирующее звено

3.4. Интегрирующее звено

3.5. Апериодическое звено

3.6. Форсирующее звено (пропорционально - дифференцирующее)

3.7. Звено 2-го порядка

3.8. Структурные преобразования

3.8.1. Последовательное соединение звеньев

3.8.2. Параллельное соединение звеньев

3.8.3. Обратная связь

3.8.4. Правило переноса

3.9. Переход от передаточных функций к уравнениям состояния с пользованием структурных схем

3.10. Область применимости структурного метода

3.1. Введение

Для расчета различных систем автоматического управления их обычно разбивают на отдельные элементы, динамическими характеристиками которых являются дифференциальные уравнения не выше второго порядка. Причем различные по своей физической природе элементы могут описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями, поэтому их относят к определенным классам, называемым типовыми звеньями.

Изображение системы в виде совокупности типовых звеньев с указанием связей между ними называется структурной схемой. Она может быть получена как на основе дифференциальных уравнений (раздел 2), так и передаточных функций. Данный способ и составляет суть структурного метода.

Предварительно рассмотрим подробнее типовые звенья, из которых состоят системы автоматического управления.