Интегрирование дискретных уравнений движения упругого и упругопластического тел по неявной схеме Ньюмарка.
В отличие от явной схемы неявная схема Ньюмарка является двухслойной (в разностные уравнения входят величины не для трех последовательных шагов, а для двух – и ):
(6.55)
Здесь
и
– постоянные величины. Изучим соотношения
(6.55) при частных значениях этих величин.
Рассмотрим случай, когда
,
.
В этом случае (6.55) принимают вид
(6.56)
Введем обозначение среднего ускорения
,
(6.57)
используя которое, получим
(6.58)
Формулы (6.58) являются точными для
на промежутке
.
Дифференциальное уравнение из (6.30) при принимает вид
.
(6.59)
Введем следующие обозначения
.
(6.60)
Из второго соотношения (6.55) находим
и, считая его известным, из первого
соотношения находим
:
(6.61)
Подставляя (6.61) в (6.59), получаем
.
(6.62)
Здесь
– эффективная матрица жесткости,
– эффективная внешняя нагрузка.
Алгоритм вычисления по схеме Ньюмарка состоит из двух этапов. Первый этап – начальные вычисления:
1. Формирование матриц жесткости и масс .
2. Введение векторов начальных значений .
3. Выбор шага
,
параметров
,
.
Если
,
,
схема безусловно устойчива. При
стандартных значениях
,
имеем схему второго порядка точности.
После выбора параметров производится
вычисление констант
.
4. Определение эффективной матрицы жесткости .
5. Выполнение триангуляции эффективной
матрицы жесткости
.
Второй этап – цикл пошагового интегрирования:
1. Вычисление .
2. Определение
из системы
.
3. Определение
и
по (6.61), затем переход к следующему шагу
по времени:
.
Интегрирование дискретных уравнений движения упругого и упругопластического тел по явной конечно-разностной схеме.
Перейдем теперь к использования метода конечных элементов для решения задач деформирования упругопластического тела.
Запишем уравнение принципа возможных перемещений в момент времени :
.
(6.63)
Здесь
определяется так же, как и в упругости.
Введем обозначения:
.
(6.64)
Тогда
(на
-том
шаге решение уже известно, а значит
),
.
Определяющие соотношения пластичности
линеаризуем относительно момента
времени
:
.
(6.65)
Имеем
.
(6.66)
.
(6.67)
Вводим векторы
,
и матрицу
,
составленную из компонент тензора
четвертого ранга
:
. (6.68)
Линеаризованное уравнение принципа возможных перемещений переписывается в виде
.
(6.69)
Это уравнение можно использовать для описания динамического и квазистатического деформирования тел.
При квазистатическом деформировании рассматриваем функционал.
(6.70)
В этом случае МКЭ может рассматриваться,
как специальная форма метода Ритца.
Действуя по той же схеме, что в упругости,
делая замену
,
получаем
(6.71)
с заменой
(6.78)
По поводу варьирования потенциальной
функции
требуются некоторые пояснения.
.
(6.79)
С другой стороны
,
следовательно
.
(6.80)
(6.81)
(6.82)
Если
,
то
.
Если
,
то при
имеем
,
а при
имеем скачок
.
(6.83)
При
(6.84)
Можно рассматривать МКЭ как специальную форму метода Бубнова–Галёркина. В этом случае перепишем линеаризованное выражение принципа возможных перемещений в виде
.
(6.85)
Для каждого слагаемого имеем
.
(6.86)
(6.87)
(6.88)
Вводя глобальный вектор приращения неизвестных , получаем после сборки следующее выражение:
.
(6.89)
Сравнивая (6.71) и (6.89), видим, что (6.89) не сводится к (6.71) при отбрасывании динамического члена. Уравнение (6.71) можно интегрировать любой численной процедурой (например, методом Рунге–Кутта). В частном случае, используя метод Эйлера,
,
(6.90)
получим из (6.71)
.
(6.91)
Из уравнений равновесия (только для
статических задач) следует, что
,
поэтому из (6.91) получаем
.
(6.92)
Это же уравнение получается из (6.89) при отбрасывании динамического члена.
Запишем уравнение принципа возможных перемещений в момент времени :
(6.93)
.
(6.94)
.
(6.95)