ПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОРВАНИЕ МАТЕРИАЛОВ.

Физические основы. Экспериментальные методы. Математическое моделирование.

Глава 6. Основы численных методов решения задач упругопластического деформирования

1. Дискретные уравнения движения/равновесия упругого и упругопластического тел, полученные методом конечных элементов (специальные варианты методов Бубнова – Галеркина и Ритца).

Введем следующие векторы и матрицу

.

Для изотропного упругого материала

.

Запишем уравнение принципа возможных перемещений в старых обозначениях

, (6.1)

где

– виртуальная работа внешних объемных сил,

– виртуальная работа сил инерции,

– виртуальная работа поверхностных сил,

– виртуальная работа сосредоточенных сил, где – число сосредоточенных сил, а – компоненты сосредоточенных сил

Кроме того задано граничное условие для перемещений:

.

В новых обозначениях это будет выглядеть следующим образом:

(6.2)

, (6.3)

. (6.4)

Полная потенциальная энергия записывается в виде

(6.5)

. (6.6)

Если МКЭ базируется на вариационной формулировке задачи, его можно рассматривать как специальную форму метода Ритца – прямого метода нахождения приблизительного решения краевых задач вариационного исчисления. Метод Ритца предполагает выбор пробной функции, минимизирующей некоторый функционал, в виде суперпозиций известных функций, которые удовлетворяют граничным условиям. В результате задача сводится к поиску неизвестных коэффициентов суперпозиции.

Для получения приближенного численного решения необходимо разбить рассматриваемое тело на подобъемы – конечные элементы. Пусть это будут восьмиугольные элементы, имеющие по узлов каждый (например, узлов может быть восемь, и тогда они будут расположены в вершинах элемента; можно добавить по узлу в середине каждого ребра, и тогда ). Пусть – естественные (локальные) координаты элемента (рис. 6.1.1.), так что

Координаты некоторой материальной частицы элемента в глобальной декартовой системе координат можно представить в различные моменты времени выражениями

(6.7)

где – координаты узлов в глобальной системе координат, – интерполяционные полиномы (функции формы элемента). Функции формы могут быть построены различными способами, но они должны удовлетворять следующим основным требованиям:

(6.8)

Назовем конечный элемент изопараметрическим, если смещения материальных точек элемента можно представить через смещения узловых точек с помощью тех же функций формы, что и координаты этих точек элемента, то есть

. (6.9)

Рис. 6.1.1. Конечный элемент с локальной системой координат.

Далее индекс пусть указывает на величину, отнесенную к произвольному конечному элементу, а индекс – величину, отнесенную к -му конечному элементу.

Введем вектор узловых перемещений элемента

,

а также матрицы и такие, что

, . (6.10)

Пользуясь тем, что интеграл объединения подобластей равен сумме интегралов подобластей, перепишем полную потенциальную энергию в виде

(6.11)

Здесь – количество конечных элементов. Из принципа минимума потенциальной энергии

(6.12)

Проварьируем отдельно каждое слагаемое.

(6.13)

, (6.14)

где . Аналогично

. (6.15)

Преобразуем локальные матрицы и векторы , соответствующие вектору узловых перемещений элемента в локальные матрицы и векторы, соответствующие вектору узловых перемещений всей совокупности элементов, на которые разбито тело. Эту совокупность будем называть ансамблем. Введем также два обозначения: – общее число неизвестных независимых компонент вектора узловых перемещений ансамбля, – соответствующее число для одного элемента. Преобразование производится с помощью булевых матриц :

. (6.16)

где – вектор-столбец размерности , – матрица размерности .

Для примера рассмотрим отрезок, разбитый на четыре двуузловых элемента и содержащий, соответственно, пять узлов. Тогда , . Пусть узлы рассматриваемого элемента в глобальной нумерации имеют номера 3 и 4.

.

Точно так же . Получаем

, (6.17)

, (6.18)

. (6.19)

Собирая все слагаемые, получаем

. (6.20)

Здесь – количество сосредоточенных сил, – компоненты перемещений точек, в которых эти силы приложены.

Можно переписать (6.20) в виде

, (6.21)

где матрицы дополнены нулями до необходимой размерности.

Поскольку – произвольные, то из (6.20) следует

. (6.22)

Матрица называется касательной матрицей жесткости ансамбля.

Если МКЭ основывается на принципе возможных перемещений (динамические задачи), то его можно рассматривать как вариант метода Бубнова–Галёркина. Уравнение принципа возможных перемещений переписывается в виде

. (6.23)

Рассмотрим отдельно каждое слагаемое.

(6.24)

Вводя глобальный вектор неизвестных и собирая все члены, получаем

. (6.25)

или

, (6.26)

где определяется аналогично :

. (6.27)

Если матрица масс ансамбля строится на тех же интерполяционных полиномах, что и матрица жесткости, она имеет профильный вид, то есть это симметричная матрица, имеющая следующий характер структуры

где – различные ненулевые элементы. При этом только ненулевые элементы хранятся при вычислении в памяти компьютера, что позволяет снизить потребность в ресурсах. При понижении порядка интерполяционных полиномов (например, с первого до нулевого) можно получить диагональную матрицу масс, упрощающую решение системы.

В силу произвольности имеем

. (6.27)