1.2 Аналогия

Аналогия – это сходство различных объектов по некоторым признакам. Объекты, сходные по соответствующим признакам, называются аналогиями, а признаки, по которым объекты оказываются аналогиями – сходственными. Сходственные признаки могут иметь качественный и количественный характер. В зависимости от этого различаю качественную, количественную и смешанную аналогии. Основные значения аналогии состоит в возможности переноса сведений с одного объекта на другой (аналог) на основании умозаключения по аналогии.

Умозаключения по аналогии основано на предположении существования тождественного в различном и выполняется по схеме:

1. Установлено, что объект O₁ обладает свойствами C₀,C₁,…,C_N,C₁’,…, C_n1’.

2. Установлено, что объект O₂ обладает свойствами C₁,…,C_N,C₁’’,…, C_n2’’.

3. Вывод: возможно, что объект O₂ обладает свойством C₀, как и объект O₁.

Совершенно очевидно, что если среди C’’ есть хотя бы одно свойство C_i’’ несовместное с C₀, то сходство объектов по свойствам C₁,…,C_N не имеет никакого значения.

Умозаключения по аналогии имеет гипотетический характер. Оно может привести к истинному и ложному выводу. Известно, например, что аналогия между движением жидкости (O₁) и процессом распространения тепла (O₂) привела в свое время к неправильному выводу о существовании теплорода. Поэтому, суждение, полученное по аналогии, как правило, нуждается в существенной проверке. Однако вероятность правильности этого суждения тем больше, чем сильнее связи между свойствами C, чем слабее связь между C и C’ и между C и C’’, тем больше N и тем меньше n1 и n2.

Умозаключение по аналогии имеет доказательный характер, если общие свойства объектов C₁,…,C_N обуславливают свойство C₀. Оно является основой аналогичного моделирования, классическим примером которого служит замещение организма человека организмом животного с целью исследования действия новых лекарственных препаратов. Переоценить значение этого вида моделирования для развития медицины невозможно.

Аналогия имеет большое общенаучное значение. Прежде всего, она широко используется для придания наглядности сложным явлениям при их изучении. Хорошо известно, например, положительная роль аналогии электрического тока с движением жидкости при изучении прохождения тока в электрической цепи. Не менее широко она используется при формировании понятий и для иллюстраций. Примерами понятий, введенных по аналогии, является теплоемкость, запоминающее устройство, электродвижущая сила. Примером, иллюстрирующим по аналогии понятие устойчивости, служит система-шарик на вогнутой поверхности в поле тяготения.

Аналогия может служить и как активатор мышления, и как источник идей. В этом её важное значение. «Стандартным» методом генерации идей на основании аналогии является обобщение, например переход от биквадратных уравнений к бикубическим и биалгебраическим, от комплексных чисел к гиперкомплексным, от обычного преобразования Лапласа к многомерному и двустороннему. (Пример 1.8)

Существенное значение аналогии заключается в возможности использовать её для строгих выводов и доказательств.

Наконец, аналогия позволяет перейти к важнейшему понятию подобия, обеспечивающему строгий пересчет данных модели в данные оригинала. Имеется в виду важнейший вид количественной аналогии – аналогия математическая, т.е. сходство объектов по их математическому описанию. Наиболее точная математическая аналогия имеет место, если объекты описываются сходственными функциями и уравнениями.

Сходственные функции различаются только аргументами и ненулевыми постоянными.

Сходственные переменные – это переменные величины, входящие под знак сходственных функций совершенно одинаковым образом. По аналогии с этим можно говорить и о сходственных постоянных.

Сходственные уравнения получаются приравниванием нулю или друг другу сходственных функций. (Пример 1.11)

Аналогично определяются и все другие сходственные математические формы количественных отношений между различными объектами.

1.3 аналогичное моделирование

Аналогичное моделирование – это замещение оригинала аналогичной моделью, обладающей сходством с оригиналом, достаточным для экстраполяции её свойств отношений в свойства и отношения оригинала на основании умозаключения по аналогии. Аналогичное моделирование используется обычно при сравнительно слабой изученности оригинала, когда имеющиеся сведения об его свойствах носят только качественный характер.

П

x

F=F(x, y)

r

усть, например, непрерывная замкнутая нелинейная система автоматического управления (САУ) состоит из нелинейного управляемого объекта УО и регулятора Р (рис. 1.а). Выходная величина F≤F(x, y) управляемого объекта является функцией входных воздействий x и y.

УО

Р

y

α

mg

а)

б)

Рис. 1. Оригинал (а) и модель(б). САУ с несколькими положениями равновесия

Регулятор автоматически подбирает значение y, обращающее F в нуль. Таким образом, в системе автоматически реализуется решение конечного уравнения F(x, y)=0 (18) относительно y=y(x). Если уравнение (18) имеет один вещественный корень, то САУ имеет одно положение равновесия, которое может быть устойчивым или неустойчивым. Положение равновесия называется устойчивым, если после принудительного отклонения от него предоставленная самой себе система возвращается в это положение обратно. В противном случае положение равновесия называется неустойчивым.

Если уравнение (18) имеет нескольких различных вещественных корней y₁<y₂<…, то система имеет столько же положений равновесия.

Чтобы получить представление о возможном характере этих положений равновесия в смысле их устойчивости или неустойчивости, воспользуемся материальной моделью системы на рис. 1.а в виде физического маятника (рис.1.б). После отклонения от положения равновесия маятник движется под воздействием вращающего момента M=mgrsinα, где m- масса маятника, r- расстояние центра массы от оси вращения, g- ускорение силы тяжести. Положения равновесия маятника аналогично моделируемой системе определяются корнями конечного уравнения M=mgrsinα=0, равными 0⁰, 180⁰,360⁰, 540⁰,…, причем устойчивые (α= 0⁰,360⁰, 720⁰,…) и неустойчивые (α= 180⁰,540⁰,…) положения чередуются.

Аналогия модели оригинал приводит к умозаключению, что в нелинейной САУ с несколькими положениями равновесия, последовательно расположенными вдоль оси регулируемой величины, устойчивые и неустойчивые положения чередуются, между двумя неустойчивыми положения находится устойчивое, между двумя устойчивыми положениями – неустойчивое.

В действительности, как показывает опыт, абсолютным верным является только третье заключение. Что же касается первого и второго, то они справедливы только в частных случаях, например, если все положения равновесия апериодические. Ошибочность суждения, полученного по аналогии, объясняется недостаточным сходством модели с оригиналом. Дело в том, что все неустойчивые положения равновесия маятника апериодические, а все устойчивые – колебательные. Модель не имеет положений равновесия неустойчивых колебаний колебательно и устойчивых апериодически, возможных в оригинале.

∆y₀

∆y₀

y₀

y₀

y₀₁

y₀₂

y₀₃

y₀₄

y

y

y

y

y

а)

в)

б)

Рис.2. Модель САУ с одним (а, б) и несколькими (в) положениями равновесия

Аналогичной формульной моделью САУ с одним положением равновесия, которое может быть устойчивым (апериодически или колебательно) или неустойчивым (колебательно), является хорошо известная простая система – шарик на вогнутой поверхности в поле тяготения (рис.2.а). поведение шарика после отклонения от положения равновесия зависит от дополнительных условий и может быть различным. Если трение велико, то он возвращается в исходное положение, не совершая колебаний (апериодическая устойчивость). Если трение незначительно, то шарик возвращается, совершая затухающие колебания (колебательная устойчивость). Если в моменты наибольших отклонений шарик воспринимает ускоряющие воздействия (импульсы), направленные в сторону положения равновесия, то его колебания будут нарастающими (колебательная неустойчивость).

Система – шарик на выгнутой поверхности (рис.2.б) является аналогичной формульной моделью САУ с одним положением равновесия, которое может быть только неустойчивым апериодически. После отклонения шарик стремится ещё больше удалиться от положения равновесия.

Аналогичной формульной моделью САУ с несколькими положениями равновесия (рис.1.а), с последовательно расположенными вдоль оси регулируемой величины y, является более сложная система – шарик на волнообразной поверхности, т.е. последовательное соединение нескольких моделей первого и второго типа (рис.2, в). Анализ этой модели умозаключение по аналогии приводит к теореме: если непрерывная САУ имеет несколько положений равновесия, последовательно расположенных вдоль числовой оси регулируемой величины, то среди любых двух смежных положений всегда одно неустойчивое апериодически, другое, либо устойчивое апериодически или колебательно, либо неустойчиво колебательно.

Из этой теоремы вытекает ряд следствий:

1. Любые смежные положения равновесия не могут быть устойчивыми, но могут быть неустойчивыми;

2. Если одно из смежных положений равновесия устойчиво, то второе неустойчиво апериодически;

3. Между двумя устойчивыми положениями равновесия находиться хотя бы одно неустойчивое апериодически;

4. Среди двух неустойчивых положений равновесия одно неустойчиво апериодически, другое - колебательно;

5. Между двумя колебательно неустойчивыми положениями равновесия находится хотя бы одно апериодически неустойчивое;

6. Между двумя апериодически неустойчивыми положениями равновесия находится хотя бы одно устойчивое или колебательно неустойчивое положение равновесия;

7. Все положения равновесия могут быть неустойчивыми;

8. Если все положения равновесия неустойчивы, то положения, неустойчивые апериодически и колебательно, чередуются;

9. Если все положения равновесия апериодически, то устойчивые или неустойчивые чередуются;

10. Если устойчивые и неустойчивые положения равновесия чередуются, то все неустойчивые положения апериодически;

11. Находясь в промежуточном положении между устойчивым и неустойчивым положением равновесия, система стремится в устойчивое положение.

Сформулированная теорема имеет большое практическое значение. Если, например, при анализе непрерывной системы с двумя положениями равновесия выявлено, что одно из них устойчиво, то без анализа другого на основании теоремы можно утверждать, что оно неустойчиво и притом апериодически.

Теорема, полученная путем умозаключения по аналогии, требует либо экспериментальной, либо теоретической проверки. Практика дает только подтверждающие теорему примеры и не дает примеров, противоречащих ей. Подтверждающим примером является прежде всего физический маятник (рис.1, б). Другим примером служит тот же физический маятник, но с вибрирующим подвесом. При быстрых вертикальных колебаниях оси подвеса, положение маятника при α=(80⁰,540⁰, …) становиться устойчивым (!). Согласно теореме между устойчивым положением равновесия должны располагаться положения неустойчивые апериодически. Этим неустойчивым положением равновесия должны соответствовать значения α в пределах 0⁰…180⁰ и 180⁰…360⁰. Эксперимент подтверждает это.

Для доказательства теоремы рассмотрим комбинации двух смежных положений равновесия I и II, каждое из которых может быть а) устойчивым апериодически; б) устойчивым колебательно; в) неустойчивым колебательно; г) неустойчивым апериодически. Для каждого из 16 возможных случаев (табл. 1) строим вблизи смежных положений соответствующие их характеру эскизы фазовых траекторий (рис. 3)^*). Если сочетание рассматриваемых положений равновесия реально возможно, то возможен главный переход фазовых траекторий около одного из этих положений в фазовые траектории другого (рис.3, а).

						Таблица 1
Положение II	Положение I				Положение II		Положение I
	А	Б	В	Г			А	Б	В	Г
А Б	–	–	–	–	В Г		–	–	–	–
	–	–	–	–			+	+	+	–
1Символ + указывает возможные сочетания различных положений равновесия I и II, символ – невозможные

y’

y’

y’

y’

I-A

II-Г

I-A

II-А

а)

б)

Рис.3. Фазовые траектории около смежных возможных (а) и невозможных (б) положений равновесия

В противном случае рассматриваемое сочетание нереально. Например, рассматривая сочетания двух смежных апериодически устойчивых положений I –А и II –А, нетрудно прейти к заключению, что нельзя плавно перевести траекторию около I –А в траекторию около II –А (рис.3,б).

Анализ возможности или невозможности построения плавных непрерывных фазовых траекторий обо всех различных случаях, соответствующих табл. 1, является строгим доказательством теоремы, полученной на основании умозаключения по аналогии.

Рассмотренные примеры показывают, что при удачном выборе модели аналогичное моделирование позволяет получить весьма интересные и важные результаты. К сожалению, общая методика аналогичного моделирования невозможна, и требуется поиск модели. Следует обратить внимание на то, что во многих случаях целесообразно использовать аналогичные формульные модели, основанные на механических, электрических, акустических аналогиях.

2. Математическое моделирование.

2.1. Подобие.

Математическое моделирование – это замещение оригинала математической моделью, обеспечивающей фиксацию и исследование свойств и отношений оригинала, а также переход к оригиналу с помощью математических методов. Особое значение среди математических моделей имеют подобные, обеспечивающие перенос данных на оригинал на основании подобия.

Сходство объектов по их математическому описанию, т.е. математическая аналогия, при определенных условиях превращается в математическое подобие или просто подобие. Подобие – это полная математическая аналогия при наличии пропорциональности между сходственными переменными, неизменно сохраняющаяся при всех возможных значениях этих переменных, удовлетворяющих сходственными уравнениями.

K’₁=e^α1₁ e^β1₂ …e^ω1_Nk₁=E₁k₁,

………………………………………. (11)

K’_n=e^αn₁ e^βn₂ …e^ωn_Nk_n=E_nk_n.

Так как численные значения функций (8), т.е. F и f, как безразмерных остаются неизменными,

F(x₁,…,x_N)= F(x₁’,…,x_N’)= F(e₁ x₁,…, e_Nx_N), (12)

f(k₁,…,k_N)= f(k₁’,…,k_N’)= f(E₁ k₁,…,E_N k_N) (13)

Равенство (12) требует, чтобы под знаком функции F безразмерные множители e₁,…,e_N

сокращались. Сокращение возможно только при объединении величины e₁ x₁,…, e_Nx_N под знаком F в степенные комплексы. Согласно (8), (12), (13) величины e₁ x₁,…, e_Nx_N под знаком F объединяются в степеннее комплексы E₁ k₁,…,E_N k_N, стоящие под знаком функции f. Равенство (13) имеет место либо при объединении величины E₁ k₁,…,E_N k_N под знаком функции f в степенные комплексы, в которых безразмерные множители E₁ ,…,E_N сокращаются, либо при E₁ =E₂=…=1. Так как было показано, что величины, стоящие в (8) под знаком f, в степенные комплексы не объединяются, то должно быть E₁ =E₂=…=E_N=1. Последнее означает, что в случае [F]=1 при произвольном изменении размеров основных единиц измерения численные значения степенных комплексов k₁,…,k_N остаются неизменными и, следовательно, эти степенные комплексы безразмерные. (Пример 2.5)