Лінійне та нелінійне програмування

Одним з головних розділів математичного програмування є лінійне програмування. Це область математики, що вивчає задачі відшукання екстремуму (максимум, мінімум) лінійної функції на області допустимих значень змінних, окресленої обмеженнями у вигляді лінійних рівнянь та нерівностей, які пов’язують ці змінні.

До задач лінійного програмування зводиться широке коло задач управління функціонуванням економічних систем.

Задачі лінійного програмування тісно пов’язані з задачами теорії ігор, тому щодо їхнього розв’язування можна застосовувати числові методи теорії ігор.

Важливими для економічного аналізу є положення теорії двоїстості у лінійному програмуванні, яка вивчає загальні властивості пари тісно пов’язаних між собою двоїстих задач лінійного програмування. Пара двоїстих задач лінійного програмування в інтерпретації найпоширенішої задачі виробничого планування виглядає так.

Головним досягненням математичного аналізу задач лінійного програмування є формулювання загальної ознаки оптимальності допустимого розв’язку задачі без необхідності порівняння цього розв’язку з усіма іншими допустимими розв’язками цієї задачі.

Лінійне програмування знаходить своє застосування у різних сучасних і класичних областях математики: теорії графів, комбінаториці, теорії наближення функцій, теорії лінійних нерівностей та інших.

Важливим розділом математичного програмування є нелінійне програмування. Цей розділ математичного програмування вивчає методи відшукання розв’язків багатовимірних екстремальних задач з обмеженнями, причому функціональні залежності у цих задачах не вважають лінійними. Суть загальної задачі нелінійного програмування полягає у визначенні n-вимірного вектора x=(x₁, x₂, …, x_n) з заданими функціями f(x), g₁(x), g₂(x), …, g_m(x), який надавав би функції f(x) глобального екстремуму і задовольняв би умови:

g _i(x) 0, i=1, 2, …, m; x_j 0, j=1, 2, …, n,

які означають множину M допустимих значень вектора X.

Нелінійне програмування охоплює дуже широке коло задач математичного програмування. Важливим для пошуку розв’язання задачі нелінійного програмування є метод множників Лагранжа, який передбачає побудову функції Лагранжа:

F(x, )=f(x)+ ,

де число – множники Лагранжа.

Блокове програмування

Блокове програмування – розділ лінійного програмування, який вивчає методи зведення розв’язування задач лінійного програмування великого обсягу до розв’язування послідовності задач меншої розмірності. Основу блокового програмування становить метод декомпозиції.

Дискретне програмування

Дискретне програмування є розділом математичного програмування, що вивчає задачі, в яких на значення частини чи всіх змінних величин накладено вимогу дискретності.

У термінах дискретного програмування формулюють різноманітні економічні задачі: планування і управління, проектування та розміщення; задачі розміщення, комівояжера та про призначення; задачі теорії розкладів, чимало інших економічних , військових задач.

Найкраще вивчено задачі лінійного дискретного програмування. Це звичайні задачі лінійного програмування, лише шукані змінні повинні мати дискретне значення. Ці типи моделей відображають задачі з неподільностями. У них змінні величини є фізично неподільними.

Виникнення дискретного програмування пов’язують з опублікуванням американськими вченими Фулкерсоном-Джонсоном і Данцігом ідеї методу відсікання, проте розвиток методів розв’язування задач дискретного програмування почався після створення Гоморі першого алгоритму відсікання.