Определяем перемещение по формуле (12.24).

(рад),

или, подставляя численное значение жёсткости EA,

рад.

12.5.2. Перемещения от теплового воздействия

При тепловом воздействии любой материал изменяет свою форму. Поэтому необходимо различать деформации от силового и теплового воздействий.

При силовом воздействии на плоские расчётные схемы имеют место изгиб и растяжение (сжатие) (рис.12.15. а). При тепловом воздействии имеют место искривление и удлинение (укорочение) (рис.12.15, б).

Последние виды деформаций изменяют только форму элемента, но никаких напряжений в расчётных сечениях статически определимых систем не вызывают.

При расчёте на тепловое воздействие учитывается не температура окружающей среды, а её ожидаемое изменение в процессе эксплуатации сооружения.

С целью упрощения инженерных расчётов вводится допущение о линейном характере изменения температуры по высоте сечения элемента. Зная расположение нейтральной оси стержня, можно заданное изменение температуры разложить на два воздействия – на так называемые “равномерный и неравномерный нагрев” (рис. 12.16).

Равномерный нагрев характеризуется температурой на уровне нейтральной оси стержня n – n и вызывает только удлинение или укорочение стержня.

При этом температура на уровне нейтральной оси в общем случае равна

, (12.31)

а когда h₁ = h₂ = 0,5h,

. (12.32)

Неравномерный нагрев характеризуется перепадом температур Δt, вызывающей искривление стержня из-за различия в удлинении волокон по высоте сечения стержня.

Рассмотрим деформации бесконечно малого элемента стержня dx (рис.12.17) при тепловом воздействии отдельно для равномерного и неравномерного нагрева.

При действии равномерного нагрева удлинение (укорочение) бесконечно малого элемента стержня будет равно (рис.12.17, а)

, (12.33)

где α_t – коэффициент линейного расширения материала стержня.

При действии неравномерного нагрева основным показателем искривления является угол Δdφ_t (рис.12.17, б) между боковыми гранями элемента.

Его величину определим следующим образом.

Изменение длины крайних волокон по высоте сечения будет равно:

• для нижних ;

• для верхних .

Тогда

,

или, так как (t' – t'') =Δt^º (рис.12.16), окончательно получим

. (12.34)

Для получения формулы определения перемещений от теплового воздействия рассмотрим линейно деформируемую расчётную схему (состояние t^º) при заданном тепловом воздействии (рис.12.18, а) и вспомогательное состояние k с приложенной единичной силой по направлению искомого перемещения Δ_kt .

Для состояния k (рис. 12.18, б) применим принцип возможных перемещений (12.15), приняв для него в качестве возможных перемещения состояния t^º.

Возможная работа внешних сил равна

T_tk = 1∙ Δ_kt . (12.35)

Возможная работа внутренних сил для плоской стержневой системы определяется выражением

. (12.36)

Подставив в (12.36) выражения деформаций от теплового воздействия (12.33) и (12.34) и вынося за знаки интегралов постоянные множители, не зависящие от интегрирования, получим

В полученном выражении величины, стоящие под знаками интегралов, представляют собой площади эпюр N_k и M_k.

Обозначив

и ,

получим окончательное выражение для возможной работы внутренних сил

. (12.37)

Подставив (12.35) и (12.37) в (12.15), получим формулу для определения перемещений от температурного воздействия:

. (12.38)

Правило знаков: каждый член формулы (12.38) при вычислении по участкам будет положительным при совпадении характера деформации (растяжения с удлинением или изгиба с искривлением) от единичной силы вспомогательного состояния и теплового воздействия.

Для первого члена формулы (12.38) знак может быть получен автоматически, если при вычислении значения и N_k подставлять со своими знаками.

Пример 12.5. Определить вертикальное перемещение шарнира С и горизонтальное перемещение ригеля, а также построить характер деформированной схемы трёхшарнирной рамы (рис.12.19, а), если тепловому воздействию подвергаются её стойки. Рама изготовлена из двутавра № 45 (h = 0,45 м, коэффициент линейного расширения стали α_t = 120∙10^-7 1/град.

Решение.

1. Определяем параметры температурного воздействия:

   • левая стойка =0,5(–45^º + 15^º) = –15^º; Δt₁ = |15^º – (– 45^º)| = 60^º;

   • правая стойка =0,5(45^º + 15⁰) = 30^º; Δt₂ = |15^º – 45^º | = 30^º.

2. Определяем вертикальное перемещение шарнира С.

Для этого производим расчёт вспомогательного состояния1(рис.12.19, б) от единичной силы, приложенной по направлению искомого перемещения, т.е. определяем опорные реакции и строим эпюры N₁ и M₁.

Значение перемещения определяем по формуле (12.38), производя запись вычислений по участкам:

+ =

(левая стойка) (правая стойка)

= – 517,5α_t = – 517,5∙120∙10^-7 = – 0,62∙10^-2 м.

2. Определяем горизонтальное перемещение ригеля рамы.

Так как ригель рамы не испытывает теплового воздействия, то продольными деформациями в его сечениях при определении перемещений пренебрегаем.

Для определения искомого перемещения рассматриваем вспомогательное состояние 2 (рис.12.19, в), для которого определяем опорные реакции и строим эпюры N₂ и M₂.

Значение перемещения определяем по формуле (12.38), производя запись вычислений по участкам:

+ =

(левая стойка) (правая стойка)

= 1057,5α_t = 1057,5∙120∙10^-7 = 1,269∙10^-2 м.

3. Производим построение деформированной схемы рамы.

При построении характера деформированной схемы рамы определим продольные деформации левой и правой стоек, подвергающихся тепловому воздействию:

• левая стойка = 120∙10^-7∙(– 15^º)∙4,5 = – 0,081∙10^-2 м;

• правая стойка = 120∙10^-7∙30^º ∙4,5 = 0,162∙10^-2 м.

Таким образом, левая стойка при заданном тепловом воздействии укорачивается, а правая – удлиняется.

Имея значения узловых перемещений рамы и зная характер искривления от теплового воздействия левой и правой стоек, можем построить характер деформированной схемы (рис.12.19, г).

12.5.3. Перемещения от неравномерной осадки опор и неточности изготовления стержней

Для получения формулы определения перемещений, возникающих при неравномерной осадке опор, рассмотрим линейно деформируемую расчётную схему (состояние Δ) при заданных смещениях опорных связей (рис.12.20, а) и вспомогательное состояние k (рис. 12.20, б) с приложенной единичной силой по направлению искомого перемещения Δ_kΔ .

Для состояния k применим принцип возможных перемещений (12.15), приняв для него в качестве возможных перемещения состояния Δ.

Возможная работа внешних сил равна

T_Δk = 1∙Δ_kΔ + R₁∙Δ₁ + R₂∙Δ₂ +…+ R_i∙Δ_i +…+ R_n∙Δ_n =1∙Δ_Δt +∑ R_i∙Δ_i.

Так как при неравномерной осадке опор в стержнях заданной расчётной схемы усилий и соответствующих им деформаций не возникает, то работа внутренних сил W_Δk = 0. Поэтому на основании (12.15) имеем, что T_Δk = 0, откуда находим, что

Δ_kΔ = – ∑R_i∙Δ_i. (12.39)

В формуле (12.39) произведение под знаком суммы представляет собой возможную работу, потому знак произведения определяется по тому, совпадает направление R_i∙с направлением Δ_i. При совпадении знак произведения положителен, при несовпадении – отрицателен.

Вывод формулы для определения перемещений, вызванных неточностью изготовления стержней аналогичен предыдущему, и сама формула имеет вид:

Δ_kΔ = ∑N_i∙Δ_i, (12.40)

где N_i– усилие в неточно изготовленном стержне по вспомогательному состоянию ;

Δ_i – величина неточности изготовления стержня.

В формуле (12.40) перед знаком суммы в отличие от (12.39) отсутствует знак минус, так как работа внутренних сил отрицательна.

Правило знаков для произведения определяется, как и в (12.39), по знаку возможной работы: при совпадении направлений – знак “плюс”, при несовпадении – знак “минус”.

Пример 12.6. Определить угол поворота сечения K консоли шарнирно- консольной балки при указанном смещении опор (рис.12.21, а) и построить характер деформированной схемы.

Решение.

1. Во вспомогательном состоянии (рис.12.21, б) прикладываем единичный момент в сечении K и определяем реакции во всех смещаемых связях.

2. Используя формулу (12.39), определяем угол поворота

φ_K = Δ_1Δ = – (0,05∙0,06 – 0,125∙0,08 – 0,375∙0,04 + 0,25∙0,02) = – 0,01 рад.

4. Характер деформированной схемы балки показан на рис.12.21, в. Деформированная схема построена по известным смещениям опор.

Пример 12.7. Определить изменение расстояния между опорами А и B рамы (рис.12.22, а), если её затяжка изготовлена короче проектной на величину 0,06 м.

Решение.

Вспомогательное состояние для определения перемещения показано на рис. 12.22, б. Так как опорная точка А неподвижна, то для определения изменения расстояния между А и В достаточно определить горизонтальное перемещение опоры В.

Усилие в затяжке дл вспомогательного состояния N₁ = 2.

Согласно (12.40) перемещение опоры B будет

Δ_В = Δ_1Δ = 2∙(– 0,06) = – 0,12 м.

Деформационная схема рамы при данных перемещениях показана на рис.12.22, в.

Контрольные вопросы

1. Какие перемещения упругих систем называют действительными, а какие – возможными?

2. Что понимают под действительной и возможной работой силы?

3. В чем различие в вычислениях действительной и возможной работ?

4. Покажите связь между работой внешних и внутренних сил упругой системы.

5. Сформулируйте принцип возможных перемещений.

6. Сформулируйте теоремы о взаимности возможных работ, о взаимности возможных перемещений и взаимности возможных реакций.

7. Какой вид имеет формула определения перемещений (Максвелла-Мора) для определения перемещений в плоских упругих расчетных схемах?

8. Какой вид принимает формула Максвелла-Мора при определении перемещений, если все стержни расчетной схемы работают в условиях изгиба и имеют постоянные сечения по длине?

9. Какой вид принимает формула Максвелла−Мора при определении перемещений в фермах?

10. Какой вид принимает формула Максвелла−Мора при определении перемещений в комбинированных расчетных схемах?

11. Какой вид имеет формула определения перемещений (Максвелла−Мора) для определения перемещений в пространственных упругих расчетных схемах?

12. Какие состояния упругой системы необходимо рассмотреть для определения перемещений по формуле Максвелла−Мора?

13. Как определяется вспомогательное состояние упругой системы в зависимости от вида определяемого перемещения?

14. Какие практические способы используют при определении перемещений по формуле Максвелла−Мора?

15. В чем состоит способ Верещагина?

16. Какие формулы перемножения эпюр Вы знаете?

17. Какие деформации могут возникать в стержнях расчетной схемы при тепловом воздействии, и каким видам указанного воздействия они соответствуют?

18. Запишите определения перемещений в плоской расчетной схеме при тепловом воздействии.

19. Как определяются перемещения, вызванные неравномерной осадкой опор и неточностью изготовления стержней?

20. Вызывает ли деформации стержней расчетной схемы неравномерная осадка опор?

Глава 13 расчёт статически неопределимых систем методом сил

13.1. Свойства статически неопределимых систем.

Степень статической неопределимости

Как было указано в подразд. 3.1 тома I, к статически неопределимым системам от­носятся такие расчётные схемы, в которых при действии произвольной нагрузки не все реакции и внутренние силы могут быть определены из уравнений равновесия, т.е. такие системы, которые содержат избыточное для обеспечения геометрической неизменяемости системы число связей.

Следовательно, число избыточных связей, удаление которых превра­щает систему в статически определимую и оставляет геометрически неиз­меняемой, называется степенью статической неопределимости.

Таким образом, степень статической неопределимости n_c связана со степенью свободы расчётной схемы W (см. подразд. 1.5, т.1) зависимостью:

n_c = – W. (13.1)

Для плоских расчётных схем на основании зависимости (13.1) и фор­мулы (1.2) степень статической неопределимости может быть определена по формуле:

n_c = (С_оп – 2Ш) – Д = C – 3Д. (13.2)

Формула (13.2) имеет чётко выраженный статический смысл. Действи­тельно, для каждого диска расчётной схемы можно составить три уравне­ния равновесия. Следовательно, если расчётная схема содержит Д дисков, то общее число уравнений равновесия будет 3Д. Величина С – число свя­зей, реакции в которых подлежат определению, и при С > 3Д расчётная схема будет статически неопределима столько раз, какова разница между указанными величинами.

В расчётных схемах, содержащих жёсткие соединения отдельных дис­ков, образующих на плоскости замкнутые контуры, вместо (1.2) исполь­зуют общую зависимость (1.1), что не всегда удобно. Для практических расчётов используют другую формулу, пригодную для любых рамных и балочных систем, а именно

n_c = 3K – Ш, (13.3)

где K – число замкнутых контуров расчётной схемы (в том числе, между расчётной схемой и основанием;

Ш – число простых шарниров (или связей, недостающих до полного защемления) расчётной схемы.

Статический смысл формулы (13.3) состоит в следующем. Любой бес­шарнирный замкнутый контур является трижды статически неопредели­мым (рис.13.1, а). Постановка (“врезка”) одного простого шарнира удаляет одну связь, т.е. понижает степень статической неопределимости на еди­ницу (рис. 13.1, б), “врезка” lдвух шарниров (рис. 13.1, в) удаляет две связи, а “врезка” трех шарниров делает контур статически определимым (рис. 13.1, д). Таким образом, в формуле (13.2) 3K – степень статиче­ской неопределимости расчётной схемы в предположении, что в ней пол­ностью отсутствуют шарниры (все связи – полное защемление), а Ш – на какую величину понижена степень статической неопределимости из-за на­личия шарниров.

Применение формул (13.2) и (13.3) покажем на примере рамы, изобра­жённой на рис. 13.2, а.

1. Использование формулы (13.2).

Число опорных связей С_оп = 5. Для определения числа шарниров уда­лим опорные связи (на рис. 13.2, б они условно показаны пунктирными линиями). Тогда, в узле E: Ш =1, в узле С: Ш =2 и в узле D: Ш =1. Итого, число простых шарниров Ш = 4. Число дисков Д = 3.

Следовательно, n_c = (5 + 2∙4) – 3∙3 = 4.

2. Использование формулы (13.3).

Для облегчения использования формулы (13.3) покажем в узле C (рис. 13.2, в) раз­дельно шарниры, соединяющие диски расчётной схемы, и линейную опор­ную связь; в узле D шарнирно неподвижную опору изобразим в виде при­мыкающего к основанию кратного шарнира (что одно и то же). Кроме этого, обозначим все части плоскости на расчётной схеме, окружённые со всех сторон дисками и основанием (замкнутые контуры).

Таким образом, число замкнутых контуров K = 5, число простых шар­ниров Ш = 11. Получение последней цифры рассмотрим подробнее по уз­лам.

Узел А. Имеет шарнирно подвижную опору. Следовательно, число свя­зей, недостающих до полного защемления Ш = 2.

Узел. Е. Ш = 1, простой шарнир, соединяющий два диска.

Узел С. Имеет два простых шарнира, соединяющие три диска схемы, и две связи, недостающие до полного защемления в шарнирно подвижной опоре.

Узел D. Имеет два примыкающих к основанию шарнира.

Узел F. Ш =1 по аналогии с узлом А.

Итого по всем узлам расчётной схемы Ш = 2 + 1 + 4 + 2 + 2 = 11.

Следовательно, n_c = 3∙5 – 11 = 4.

Примечание. Определение числа простых шарниров в узлах со сквоз­ными и примыкающими шарнирами см. подразд. 1.3.1. т.1 и рис. 1.7 и 1.8.

Степень статической неопределимости ферм на основании (1.6) и (13.1) определяется по формуле

n_c = (C_оп + С_ф) – 2У = С – 2У. (13.4)

Формула (13.4) также, как и предыдущие, имеет чётко выраженный ста­тический смысл. В этом случае С – число опорных реакций и усилий в стержнях фермы, подлежащих определению, а 2У – число уравнений рав­новесия, которые можно составить для всех узлов фермы, включая опор­ные. Разница между этими величинами и даёт степень статической неоп­ределимости.

В зависимости от образования расчётной схемы можно различать внешне статически неопределимые и внутренне статически неопределимые системы, хотя, как выяснится из дальнейшего, это разделение является ус­ловным.

Внешне статически неопределимой называют такую систему, которая имеет в качестве избыточных только внешние связи, т.е. лишние опорные закрепления. Примером такой системы может служить рама, изображённая на рис. 13.3, а. Жёсткое соединение всех стержней рамы представляет собой один диск, для прикрепления которого к основанию достаточно трёх свя­зей. Рама имеет восемь опорных связей: три – в опоре А, по две – в опорах B и C и одну – в опоре D, т.е. пять связей – избыточные, и рама пять раз статически неопределима.

Внутренне статически неопределимой называют такую систему, кото­рая имеет минимально необходимое число опорных связей, а все избыточ­ные связи принадлежат соединениям внутренних элементов расчётной схемы. На рис.13.3, б изображены трижды статически неопределимые рамы, прикреплённые к основанию только тремя связями, т.е. внешние связи в этих рамах не могут являться избыточными.

Отметим основные свойства статически неопределимых систем:

1. Статически неопределимые системы по сравнению со статически оп­ределимыми более жёсткие, т.е. при одинаковых нагрузках перемещения в них значительно меньше.

2. В расчётных сечениях элементов статически неопределимой системы усилия меньше, чем в статически определимых при той же нагрузке.

На рис. 13.4 а и б показаны трёхпролётная шарнирно-консольная балка и неразрезная балка с таким же числом пролётов. Обе балки загружены одинаковой нагрузкой в первом пролёте. Наибольшим изгибающим мо­ментов в шарнирно-консольной балке является M^б, действующий в сече­нии, где приложена сила F. В том же сечении неразрезной балки расчёт­ный изгибающий момент M_р < M^б. Аналогичное сравнение прогиба балок в точке приложения силы показывает, что Δ₂ <Δ₁.

3. Статически неопределимые системы обладают распределительной способностью: локальная нагрузка вызывает появление усилий во всех се­чениях расчётной схемы, значения которых уменьшаются по мере удале­ния от места приложения нагрузки. В статически определимых системах локальная нагрузка может вызвать лишь локальное появление усилий (сравните эпюры M на рис. 13.4 а и б).

4. Статически неопределимые системы более надёжны, нежели статиче­ски определимые: выход из строя одного из элементов расчётной схемы ещё не исчерпывает их несущей способности и при определённых усло­виях не приводит к обрушению.

Например, удаление опорной связи D в неразрезной балке (рис.13.4, в) не приводит к обрушению конструкции, в то время как удаление такой же связи в шарнирно-консольной балке приводит к мгновенной изменяемости части расчётноё схемы.

5. Статически неопределимые конструкции проще в изготовлении и просты в эксплуатации, так как конструкция любого шарнира сложнее, чем жёсткое соединение.

6. При наличии начальных деформаций (тепловое воздействие, нерав­номерная осадка опор и неточность изготовления элементов конструкции) в статически неопределимых системах возникают усилия из-за наличия из­быточных связей, препятствующих свободному развитию этих деформа­ций. Возникающие при этом усилия прямо пропорциональны жёсткости элементов статически неопределимой системы.

На рис. 13.5 а и б показаны примеры однопролётных балок, статически определимых и статически неопределимых при действии осадки опор и тепловом воздействии.

7. Статически неопределимые конструкции, как правило, более эконо­мичные, нежели статически определимые, во-первых, за счёт меньших размеров поперечных сечений; во-вторых, за счёт изготовления.

13.2. Идея метода сил. Система канонических уравнений

Метод сил широко применяется для расчёта разнообразных плоских и пространственных систем и является основанием для многих приближён­ных методов.

Для описания идеи метода рассмотрим простейшую расчётную схему – неразрезную двухпролётную балку, загруженную произвольной нагрузкой (рис.13.6, а). Данная расчётная схема является дважды статически неопре­делимой.

Удалим опорные связи в точках A и B и заменим их действием неиз­вестными реакциями X₁ и X₂ (рис.13.6, б). Полученная таким образом рас­чётная схема является статически определимой, так удалено две избыточ­ные связи (по степени статической неопределимости). Её называют основ­ной системой метода сил.

Для полученной основной системы воспользуемся принципом незави­симости действия сил и рассмотрим следующие воздействия: состояние 1 от действия силы X₁ (рис.13.6, в); состояние 2 от действия силы X₂ (рис.13.6, г) и состояние F от действия внешней нагрузки (рис.13.6, д).

Во всех перечисленных состояниях точки А и B вследствие деформаций основной системы получат перемещения по направлению удалённых свя­зей, сумма которых по каждому из указанных направлений даст полные перемещения

Δ_A =Δ₁₁ + Δ₁₂ + Δ_1F;

Δ_B =Δ₂₁ + Δ₂₂ + Δ_2F .

Чтобы основная система соответствовала по своим деформациям задан­ной расчётной схеме, очевидно, необходимо выполнения условий

Δ_A = 0; Δ_B = 0

и

(13.5)

Δ₂₁ + Δ₂₂ + Δ_2F = 0 .

Для выражения перемещений, входящих в (13.5) воспользуемся зависи­мостью (12.1) и запишем

Δ₁₁ = δ₁₁X₁; Δ₁₂ = δ₁₂X₂; Δ₂₁ = δ₂₁X₁; Δ₂₂ = δ₂₂X₂.

П одставив эти выражения в (13.5), получим

(13.6)

δ₂₁X₁ + δ₂₂X₂ + Δ_2F = 0.

Запись (13.6) называется системой канонических уравнений метода сил.

Как и (13.5), система канонических уравнений имеет следующий гео­метрический смысл: сумма перемещений по направлению удалённых связей от действия реакций в этих связях и внешнего воздействия равна нулю.

Приведённый вывод системы канонических уравнений справедлив для любой расчётной схемы с любой степенью статической неопределимости. Поэтому, если степень статической неопределимости n_c = n, то система канонических уравнений будет иметь вид:

δ₁₁X₁ + δ₁₂X₂ + …+ δ_1iX_i +…+ δ_1nX_n +Δ_1F = 0;

δ₂₁X₁ + δ₂₂X₂ + …+ δ_2iX_i +…+ δ_2nX_n +Δ_2F = 0; (13.7)

……………………………………………….

δ_n1X₁ + δ_n2X₂ + …+ δ_niX_i +…+ δ_nnX_n +Δ_nF = 0.

В системе канонических уравнений (13.7) коэффициенты при неизвест­ных с одинаковыми индексами называются главными коэффициентами по­датливости и они всегда положительны δ_ii > 0. Остальные коэффициенты называются побочными, и для них выполняется теорема о взаимности воз­можных перемещений δ_ik = δ_ki.

Любой коэффициент системы канонических уравнений δ_ik, согласно (12.18), есть возможное перемещение по направлению удалённой связи i от действия единичной безразмерной силы, приложенной по направлению удалённой связи k.

Размерности коэффициентов при неизвестных и свободных членов сис­темы канонических уравнений легко определяются на основании их гео­метрического смысла, сформулированного выше.

Так, для неразрезной балки, использованной при выводе системы кано­нических уравнений (рис.13,6, а), неизвестными метода сил являются со­средоточенные силы (единицы измерения – кН), перемещения по направ­лению этих сил будут линейными (единицы измерения – м). Следова­тельно, свободные члены системы уравнений, являющиеся перемеще­ниями в статически определимой основной системе, будут измеряться в м, а все коэффициенты при неизвестных – в м/кН.

Если бы для той же балки была выбрана другая основная система (рис.13.7), в которой удалена одна линейная связь, а вторая – угловая, то, рассуждая аналогично получим нижеследующее.

В направлении первого неизвестного отрицается сумма линейных пере­мещений, измеряемых в м. Так как X₁ измеряется в кН, а X₂ – в кН·м, то единицами измерения коэффициентов при неизвестных первого уравнения будут: для δ₁₁ – м/кН, для δ₁₂ – м/кН∙м (1/кН), а для свободного члена Δ_1F – м.

Аналогично, второе уравнение отрицает в направлении второго неиз­вестного сумму угловых перемещений, измеряемых в рад. Значит, для второго уравнения единицами измерения коэффициентов при неизвестных будут: для δ₂₁ – рад/кН, для δ₂₂– рад/кН∙м, а для Δ_2F – рад.

Коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канони­ческих уравнений определяются как перемещения в статически определи­мых системах в зависимости от типа расчётной схемы по формулам (12.23), (12.24) или (12.25).

Для определения коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы канонических уравнений в основной системе метода сил необхо­димо определить усилия от единичных сил, последовательно приклады­ваемых по направлению удалённых связей (по направлению неизвестных), т.е. построить эпюры усилий – при расчёте балок и рам, – при расчёте ферм и , – при расчёте комбинированных систем (при i = 1…n=n_c), а также построить, соответственно, эпюры усилий от действую­щих нагрузок – , .

Здесь и далее верхним индексом “0” будем обозначать эпюры усилий в основной системе.

В силу равенства δ_ik = δ_ki матрица коэффициентов при неизвестных по­лучается симметричной, является положительно определённой, и её опре­делитель не равен нулю. Поэтому система уравнений для каждого вари­анта загружения имеет одно единственное решение, которое по правилу Г.Крамера можно получить как

,

где X_i – искомое неизвестное; – определитель матрицы коэффициентов при неизвестных; – тот же определитель, в котором i – ый столбец заме­нён столбцом свободных членов.

После определения неизвестных X_i задачу можно считать решённой. Используя эпюры усилий единичных сил, приложенных в основной сис­теме на стадии получения системы канонических уравнений в численном виде на основании принципа независимости действия сил можно опреде­лить усилия заданной расчётной схеме как сумму усилий от X_i и внешней нагрузки:

• для балок и рам

; (13.8)

• для ферм

; (13.9)

• для комбинированных систем

; (13.10)

.

13.4. Выбор основных систем метода сил. Общая последовательность расчёта

Как было отмечено в предыдущем параграфе, основной системой ме­тода сил будем называть геометрически неизменяемую статически опре­делимую систему, полученную из заданной статически неопределимой пу­тём удаления избыточных связей.

При получении основной системы могут удаляться как внешние связи, так и внутренние, или их комбинации. Получение основной системы ме­тода сил предполагает многовариантность, так как для любой статически неопределимой системы можно, в принципе, предложить сколь угодно много основных систем. Поэтому неизбежно встаёт вопрос о выборе ос­новной системы с точки зрения её рациональности для данной расчётной схемы и действующей на неё нагрузкой.

Рациональность выбора предполагает следующие требования к основ­ной системе:

1. Основная система должна быть проста для расчёта.

2. Коэффициенты при неизвестных системы канонических уравнений ме­тода сил и свободные члены, полученные на основе выбранной основ­ной системы должны быть, по возможности, одного порядка. Различие ко­эффициентов системы алгебраических уравнений на несколько порядков обычно приводит к ухудшению её обусловленности и, как следствие, к ошибочным результатам расчёта.

3. Выбранная основная система должна давать возможность получить как можно больше нулевых значений побочных коэффициентов при неиз­вестных и свободных членов системы уравнений. Это позволяет упростить решение этой системы и получить более точный результат.

Естественно, эти требования относятся, главным образом, к системе с большой степенью статической неопределимости. При n_c ≤ 3 наиболее важным является первое требование.

Рассмотрим несколько примеров выбора основных систем для плоских стержневых систем.

1. Статически неопределимые однопролётные балки (рис. 13.8, а и 13.9, а).

Основная система может быть выбрана путём удаления линейных связей на одной из опор, т.е. основная система будет представлять собой консольную балку (рис. 13.8, в и 13.9, в), или удалением связей, препятствующих повороту в защемлениях (рис.13.8, б и 13.9, б). Второй вариант предпочтительнее, так как в грузовом состоянии основной системы эпюры изгибающих моментов по концам балок будут иметь нулевые значения, что облегчает счёт.

2. Неразрезная балка (рис. 13.10, а).

Основная система может быть получена удалением промежуточных опор балки (рис.13.10, б), удалением угловых связей (врезкой шарниров) над каждой промежуточной опорой (рис.13.10, в) и комбинацией этих двух приёмов (рис. 13.10, г). Рациональным для неразрезной балки является ва­риант, изображённый на рис.13.10, в. В этом случае каждый пролёт балки в основной системе работает как простая балка и независимо от других про­лётов, что приводит к простым эпюрам изгибающих моментов и простоте вычисления как коэффициентов при неизвестных, так и свободных членов. Кроме того, при любом количестве неизвестных метода сил каждое из уравнений системы будет содержать не более тёх неизвестных из-за равен­ства нулю побочных коэффициентов.

3. П- образная рама (рис.13.11, а).

Для трижды статически неопределимой рамы показаны шесть вариан­тов основной системы (рис.13.11, б – ж), из которых наиболее рациональ­ными являются основные системы, изображённые на рис.13.11, е и ж. В первом случае основная система после удаления связей превращена в трёхшарнирную раму, во втором – в балочную систему, в которой два стержня (левая стойка и ригель рамы) при отсутствии поперечных нагру­зок будут нулевыми, а при их наличии будут работать как простые балки.

Основные системы, приведённые на рис.13.11, и и з, являются приме­рами неправильного удаления связей.

В основной системе, показанной на рис.13.11, и удалены: угловая связь в правой опоре (получили шарнирно неподвижную опору), в правой опоре – угловая и вертикальная линейная связи. В результате оставшиеся линей­ные связи (две в левой опоре и одна горизонтальная в правой) имеют об­щую точку пересечения – мгновенный центр вращения, вокруг которого и произойдёт бесконечно малый поворот расчётной схемы.

В основной системе, показанной на рис.13.11, з удалены три угловые связи в сечениях ригеля рамы, в результате чего врезанных шарнира оказа­лись расположены на одной прямой.

4. Двухпролётная одноэтажная рама (рис.13.12, а). Для рамы пока­заны два возможных варианта основной системы (рис. 13.12, б и в) и изме­няемая основная система (рис. 13.12, г), имеющая мгновенный центр вра­щения точку О.

5. Рама с несмещающимися узлами (несвободная рама) (рис.13.13, а).

Для рамы показаны три варианта основной системы (рис.13.13, б – г), из которых последняя является наиболее рациональной. Эта основная система получена врезкой сквозных шарниров во все узлы рамы, в результате чего заданная расчётная схема превращена в шарнирную (ферму), в которой каждый стержень работает как простая балка. На рис. 13.13, д показана ос­новная система с неприемлемым вариантом удаления связей: в левом за­щемлении кроме угловой связи удалена горизонтальная линейная связь; в стойке удалена угловая связь в верхнем её сечении, в результате чего вся стойка, из-за наличия опорного шарнира стала представлять собой верти­кальную линейную связь. В результате верхний диск (ригель) оказался прикреплённым к основанию тремя параллельными вертикальными свя­зями, что недопустимо.

6. Однопролётная рама с затяжкой (рис.13.14, а).

Основная система может быть получена удалением горизонтальной связи в одной из опор рамы и затяжки, в результате чего получается балка с осью ломаного очертания (рис.13.14, б); врезкой шарнира в ригеле и уда­лением затяжки, в результате основная система принимает вид трёхшар­нирной рамы (рис. 13.14, в); удалением горизонтальной связи в одной из опор и врезкой шарнира в ригеле, результат – распорная рама с затяжкой (рис.13.14, г). Недопустимый вариант показан на рис.13.14, д, где удалена горизонтальная линейная связь в правой опоре, а шарнир врезан в узел на уровне затяжки. В результате имеющийся в расчётной схеме замкнутый контур остался статически неопределимым (в контуре по его обходу всего два шарнира вместо необходимых трёх), а стойка рамы ниже врезанного шарнира стала геометрически изменяемой частью схемы (три шарнира на одной прямой).

7. Балочный замкнутый контур (рис.13.15, а).

Данная расчётная схема имеет минимально необходимое число внеш­них связей, из которых ни одна не может быть удалена (рис.13.15, г). Рас­чётная схема имеет внутреннюю статическую неопределимость, поэтому основная система может быть получена удалением только внутренних свя­зей (рис.13.15, б – г). В случае удаления хотя бы одной внешней связи (рис. 13.15, д) схема превращается в механизм.

8. Балочная ферма (рис. 13.16, а).

Данная расчётная схема, как и предыдущая, является внутренне стати­чески неопределимой. Статическая неопределимость (n_c =1) обусловлена наличием избыточного стержня во второй панели фермы. Поэтому основ­ная системы может быть получена удалением одного из стержней именно в этой панели (рис.13.16, б и в). Недопустимость удаления других стерж­ней фермы показа на рис.13.16, г, в результате чего вторая панель остаётся статически неопределимой частью расчётной схемы, а вся схема превра­щается в механизм.

9. Двухпролетная балочная ферма (13.17, а).

Основная система может быть выбрана как удалением одной из верти­кальных опорных связей (рис.13.17, б), так и удалением стержня фермы (рис.13.17, в). Второй вариант предпочтительнее, так как в этом случае ос­новная система представляет собой две отдельно работающие балочные фермы, и при загружении одной их них, в стержнях второй фермы не будет возникать никаких усилий.

Приведённые выше примеры не исчерпывают всего многообразия приёмов при выборе основных систем метода сил для различных статиче­ски неопределимых расчётных схем, они лишь дают представления, каким образом могут быть удалены избыточные связи, и как получить наиболее рациональную основную систему.

Общая последовательность расчёта методом сил приведена в таблице 13.1.

Таблица 13.1

Последовательность расчёта методом сил

Как видно из этой таблицы общая последовательность расчёта не зави­сит от типа расчётной схемы. Различия появляются лишь при определении коэффициентов при неизвестных и свободных членов по формуле мак­свелла – Мора.

При выполнении расчёта необходимо обратить внимание на следующие пункты табл.13.1.

1. Выполнение деформационной проверки расчёта (см. п.6 табл.13.1).

Смысл деформационной проверки такой же, как и у системы канониче­ских уравнений: она отрицает перемещения в заданной расчётной схеме по направлению удалённых связей. Для того, чтобы деформационная про­верка была более корректной, желательно выбрать новую основную сис­тему метода сил и построить в ней эпюры усилий от единичных сил, при­ложенных по направлениям удалённых связей , и их суммарные эпюры , . В связи с этим деформационные проверки могут быть ло­кальными (использование эпюр , ) или общими (использование эпюр , ). Оценка погрешности расчёта производится по сравнению сумм положительных и отрицательных величин вычисленных интегралов и не должна превышать 1%.

2. Построение эпюры поперечных сил (см. п.12 табл.13.1).

Определение поперечных сил на участках с прямолинейной эпюрой из­гибающих моментов (рис.13.18) производят на основании правил изло­женных в подразд. 10.2 (см. рис.10.11). Для горизонтально ориентированного стержня при выполнении принятого ранее (рис. 10.4) правила знаков для изгибаю­щих моментов можем записать

. (13.11)

Для участков, где действует равномерно распределённая нагрузка, фи­гуру эпюры изгибающих моментов можно разложить на две составляющие (рис.13.19): прямолинейную и “балочную”, и для каждой из них построить эпюры поперечных сил, а результаты сложить. В силу того, что на рас­сматриваемом участке эпюра поперечных сил должна быть прямолиней­ной, ординаты эпюры поперечных сил по концам участка можно записать как

и .(13.12)

Для вертикальных и наклонных стержней расчётной схемы “верх” и “низ” рассматриваемого участка выбирается произвольно.

Рассмотрим несколько примеров расчёта статически неопределимых систем методом сил при действии внешней нагрузки.

Пример.13.1. Рассчитать неразрезную балку (рис.13.20, а).

Решение.

1. Степень статической неопределимости при K =2, Ш = 4

n_c = 3∙2 – 4 = 2.

2. Система канонических уравнений

δ₁₁X₁ + δ₁₂X₂ + Δ_1F = 0;

δ₂₁X₁ + δ₂₂X₂ + Δ_2F = 0.

3. Выбранная основная система показана на рис.13.20, б.

4. Определяем усилия в основной системе от единичных моментов, по­следовательно прикладываемых по направлению удалённых связей (рис.13.20, в и г), т.е. построим эпюры и . Кроме этого, воспользу­емся простотой задачи и построим деформированные схемы основной сис­темы от единичных воздействий, на которых покажем возможные переме­щения, представляющие собой коэффициенты при неизвестных канониче­ских уравнений.

5. Определяем усилия в основной системе от действия заданной на­грузки и строим эпюру (рис.13.20, д). Здесь также покажем перемеще­ния по направлению удалённых связей, представляющие собой свободные члены канонических уравнений.

6. Определяем коэффициенты при неизвестных канонических уравне­ний.

(рад/кН·м);

(рад/кН·м);

(рад/кН·м).

7. Определяем свободные члены канонических уравнений.

(рад);

(рад).

8. Производим решение системы канонических уравнений:

Упростим полученную систему уравнений, умножив все его члены на 1,5EI:

2X₁ + X₂ + 128 = 0,

X₁ + 5X₂ + 82 = 0.

Используя правило Г.Крамера, получим

;

; ,

откуда

9. Строим эпюру изгибающих моментов в заданной расчётной схеме

.

Эпюра M_F показана на рис.13.21, а. Для неразрезных балок указанное сложение производится достаточно просто: необходимо отложить на опо­рах найденные значения неизвестных и к полученной эпюре опорных из­гибающих моментов “подвесить” эпюру .

10. Производим деформационную проверку расчёта. Для этого выби­раем новую основную систему (рис.13.21, б), в которой прикладываем сразу все единичные силы по направлению удалённых линейных связей и от их действия строим эпюру . Сравнивая полученную эпюру с эпю­рами и , использованными в расчёте, видим, что она им не по­добна, т.е. производимая проверка будет достаточно корректна.

=

= , т.е. проверка выполнена.

11. Производим построение эпюры Q_F на основании дифференциальной зависимости по участкам расчётной схемы.

Участок 1 – левый пролёт балки. Пролёт загружен равномерно распре­делённой нагрузкой, поэтому для нахождения значений поперечных сил по концам участка используем приём, приведённый на рис.13.19 и описанный формулой (13.12)

; .

Участок 2 – правый пролёт балки. Нагрузка в пролёте отсутствует, эпюра изгибающих моментов очерчена по наклонной прямой. Следова­тельно, поперечная сила по всему пролёту постоянна. Её значение вычис­ляем по формуле (13.11)

.

Участок 3 – консоль балки.

Q = ∑F^прав = 15,333 кН.

Построенная по полученным значениям эпюра Q_F показана на рис.13.21, а.

В левом пролёте эпюра Q_F имеет нулевое значение на расстоянии x₀ от левой опоры. Находим экстремальное значение изгибающего момента в этом сечении (рис. 13..21, в).

Q₀ = ∑F^лев = 39,25 – 8∙ x₀ = 0, x₀ = 4,97 м.

M_экс = ∑M^лев = 39,25∙4,97 – 8∙4,97∙0,5∙4,97 = 36,63 кН·м.

12. Производим статические проверки расчёта. Для этого из равновесия опорных узлов по построенным эпюрам M_F и Q_F определяем опорные ре­акции (рис.13.21, г).

Для отсечённой от опор балки составляем уравнения равновесия

∑Y = 39,25 + 20,36 + 19,777 – 8∙8 – 15,333 = 79,333 – 79,333 = 0;

∑M_A = – 62 – 20,306∙8 – 19,777∙14 + 15,333∙16 + 8∙8∙4 =

= – 501,326 + 501,328 ≈ 0.

Таким образом, проверки равновесия также выполняются. Следова­тельно, расчёт неразрезной балки произведён правильно.

Пример.13.2. Рассчитать раму (рис.13.22, а).

Решение.

1. Степень статической неопределимости при K =2, Ш = 4

n_c = 3∙2 – 4 = 2.

2. Система канонических уравнений

δ₁₁X₁ + δ₁₂X₂ + Δ_1F = 0;

δ₂₁X₁ + δ₂₂X₂ + Δ_2F = 0.

3. Выбранная основная система показана на рис.13.22, б.

Основная система выбрана путём “врезки” двух шарниров в средний узел рамы. При этом реакция в удалённой угловой связи между стойкой и ригелем рамы X₂ может быть отнесена как в левое, так и в правое от узла сечение ригеля.

4. Определяем усилия в основной системе от единичных моментов, по­следовательно прикладываемых по направлению удалённых связей (рис.13.22, в и г), Для этого определяем реакции от указанных воздействий и строим эпюры и .

5. Определяем усилия в основной системе от действия заданной на­грузки и строим эпюру (рис.13.22, д).

6. Определяем коэффициенты при неизвестных.

(рад/кН·м).

(рад/кН·м).

( рад/кН·м).

7. Определяем свободные члены канонических уравнений.

(рад);

= (рад).

8. Производим решение системы канонических уравнений:

Упростим полученную систему уравнений, умножив все его члены на 0,5EI:

X₁ – X₂ + 103,5 = 0,

– X₁ + 6X₂ – 688,5 = 0.

Используя правило Г.Крамера, получим

; ; ,

откуда

9. Строим эпюру изгибающих моментов в заданной расчётной схеме

.

Все слагаемые приведённой формулы и результат сложения - эпюра M_F показаны на рис.13.23, а.

10. Производим деформационную проверку расчёта. Для этого выби­раем новую основную систему (рис.13.23, б), для которой строим эпюры , и их сумму, эпюру . Сравнивая полученную эпюру с эпю­рами и , использованными в расчёте, видим, что она им не подобна, т.е. производимая проверка будет достаточно корректна.

, т.е. проверка выполнена.

11. Производим построение эпюры Q_F на основании дифференциальной зависимости по участкам расчётной схемы.

Для этого разобьём схему рамы на участки, обозначив буквами их на­чало и конец (рис.13.24, а).

Участки A – K и K – D. Используя формулу (13.11), получаем

; .

Участок D – E. Используя формулу (13.12), получаем

. ; .

Участки B – E и E – C. Используя формулу (13.11), получаем

; .

Построенная по полученным значениям эпюра Q_F показана на рис.13.24, б.

В левом пролёте эпюра Q_F имеет нулевое значение на расстоянии x₀ от левой опоры. Вырезаем ригель рамы в левом пролёте рамы (рис.13.24, в) и находим экстремальное значение изгибающего момента в этом сечении.

Q₀ = ∑F^лев = 26,5 – 8∙ x₀ = 0, x₀ = 3,31 м.

M_экс = ∑M^лев = 26,5∙3,31– 8∙3,31∙0,5∙3,31 = 25,89 кН·м.

12. Определяем продольные силы в стержнях рамы и строим эпюру N_F.

Для этого поочерёдно вырезаем узлы D и E рамы (рис.13.24, г) и из их равновесия находим продольные силы N_AD , N_DE и N_BE. Построенная по по­лученным значениям эпюра показана на рис.13.24, д.

13. Производим статические проверки расчёта. Для этого из равновесия опорных узлов по построенным эпюрам N_F и Q_F определяем опорные ре­акции (рис.13.24, е).

Для отсечённой от опор балки составляем уравнения равновесия

∑Y = 26,5 + 48 + 19,777 – 8∙9 – 2,5 = 74,5 – 74,5= 0;

∑X = 72 – 39 –33 – 8∙9 – 2,5 = 72 – 72= 0;

∑M_A = 72∙3 + 8∙9∙4,5 – 48∙9 – 39∙3 + 2,5∙18 – 36 =

= – 585 + 585 = 0.

Таким образом, проверки равновесия также выполняются. Следова­тельно, расчёт неразрезной балки произведён правильно.

Пример.13.3. Построить эпюру изгибающих моментов в ригеле и опре­делить продольные силы в стойке и подкосе комбинированной расчётной схемы (рис.13.25, а).

Решение.

1. Расчётная схема имеет число контуров K =3. Число простых шарни­ров (или связей, недостающих до полного защемления) определяем по узлам расчётной схемы.

Узел А: Ш =2. Узел В: Ш=2 (два примыкающих к основанию шарнира).

Узел C: Ш =3 (в опорной линейной связи не достаёт до полного защем­ления двух связей, и один шарнир соединяет стержни расчётной схемы). Узел D: Ш =1 (один примыкающий шарнир между двумя стержнями схемы). Итого Ш=8.

Степень статической неопределимости при K =3, Ш = 8

n_c = 3∙3 – 8 = 1.

2. Каноническое уравнение

δ₁₁X₁ + Δ_1F = 0.

3. Выбранная основная система показана на рис.13.25, б.

4. Определяем усилия в основной системе от единичной силы, прило­женной по направлению удалённой связи. Для этого определяем реакции от указанного воздействия и строим эпюры и (рис.13.25, в).

Так как в рассматриваемой расчётной схеме продольные усилия в ри­геле отсутствуют, продольные силы в стойке и подкосе здесь и далее бу­дем показывать (для упрощения графического материала) непосредственно на эпюрах изгибающих моментов.

5. Определяем усилия в основной системе от действия заданной на­грузки и строим эпюру (рис.13.25, г).

6. Определяем коэффициент при неизвестном канонического уравне­ния.

= (м/кН).

7. Определяем свободный член канонического уравнения.

= (м/кН).

8. Определяем неизвестное канонического уравнения:

X₁ = – Δ_1F/δ₁₁ = – 468,741/44,393 = – 10,559 кН.

9. Строим эпюру изгибающих моментов в заданной расчётной схеме и определяем продольные силы в стойке и подкосе

; .

Результаты приведённых формул показаны на эпюре M_F (рис.13.26, а).

Построение эпюры Q_F (рис.13.26, б) производится точно так же, как и в предыдущих примерах.

10. Для выполнения статических проверок расчёта определим реакции в опорных связях на основании принципа независимости действия сил.

R_A = X₁ = – 10,559 кН.

= 320/3 + (4/3)∙(– 10,559) = 92,588 кН.

= 160 + (–1)∙(– 10,559) = 170,559 кН.

= 320/3 + (4/3)∙(– 10,559) = 92,588 кН.

Для отсечённой от опор комбинированной расчётной схемы составляем уравнения равновесия (рис. 13.26, в).

∑Y = 170,559 – 10,559 – 40∙4 = 0;

∑X = 92,588 – 92,588 = 0;

∑M_B = 40∙4∙2 – 10,559∙4 – 92,588∙3 = 320 – 320 = 0.

Таким образом, проверки равновесия также выполняются. Следо­вательно, расчёт произведён правильно.

Пример 13.4. Определить усилия в консольной ферме (рис.13.27, а) при следующих соотношениях жёсткостей стержней: EA_3C = EA; пояса – 2 EA; раскосы – 1,25 EA; стойки – EA.

Решение.

1. Степень статической неопределимости фермы при

У= 7, С_Ф = 9, С_оп = 6 n_c = С – 2У = (9 + 6) – 2∙7 = 1.

2. Каноническое уравнение

δ₁₁X₁ + Δ_1F = 0.

3. Выбранная основная система показана на рис.13.27, б.

4. Определяем усилия в основной системе от единичной силы, прило­женной по направлению удалённой связи, и строим эпюру (рис.13.27, в).

Определение усилий в ферме производим любым удобным способом – вырезания узлов или сечений.

5. Определяем усилия в основной системе от заданной нагрузки и строим эпюру (рис.13.27, г).

Дальнейший ход расчёта, включающий в себя определение коэффици­ента при неизвестном, свободного члена, решение канонического уравне­ния и определение усилий в заданной схеме фермы ( ), приве­дён в табл. 13.2.

Таблица 13.2

Определение усилий в статически неопределимой ферме

(к примеру 13.4)

13.4. Расчёт при наличии начальных деформаций

К начальным деформациям в расчётных схемах относят тепловое воз­действие, неравномерную осадку опор и неточность изготовления стерж­ней. Принципиально ход расчёта методом сил не меняется, так как основ­ная система не зависит от вида воздействия. Влияние воздействий на рас­чётную схему учитывается только свободными членами системы канони­ческих уравнений, которые в общем случае можно представить в виде

δ₁₁X₁ + δ₁₂X₂ + …+ δ_1iX_i +…+ δ_1nX_n +Δ_1S = 0;

δ₂₁X₁ + δ₂₂X₂ + …+ δ_2iX_i +…+ δ_2nX_n +Δ_2S = 0; , (13.13)

……………………………………………….

δ_n1X₁ + δ_n2X₂ + …+ δ_niX_i +…+ δ_nnX_n +Δ_nS = 0.

где S – тип воздействия на расчётную схему (F, t^º или Δ).

Свободные члены системы канонических уравнений, как перемещения в статически определимой основной системе, определяются:

–при расчёте на тепловое воздействие – по формуле (12.38);

–при расчёте на неравномерную осадку опор – по формуле (12.39);

–при расчёте на неточность изготовления стержней – по формуле (12.40).

Так как в статически определимых расчётных схемах, каковой является основная система, начальные деформации не вызывают никаких усилий, то формулы (13.8 -13.10) по определению усилий в заданных схемах прини­мают вид

• для балок и рам

; (13.14)

• для ферм

; (13.15)

• для комбинированных систем

; .(13.16)

Основной особенностью поведения статически неопределимых расчёт­ных схем при наличии начальных деформаций является прямая зависи­мость усилий от жёсткости элементов конструкции: чем больше жёсткость, тем значительнее усилия.

Пример 13.5. Построить эпюру изгибающих моментов M_t в раме при тепловом воздействии на стержень CD (рис.13.28, а). Рама изготовлена из гнутого замкнутого металлического профиля (ТУ 36 – 2287) 200 х 160 х 8,

I_z = 2147 см⁴. Коэффициент линейного расширения =120∙10^-7 1/град. Высота сечения h = 0,2 м.

Решение.

1. Степень статической неопределимости при К =1 и Ш =2

n_c = 3∙1 – 2 = 1.

2. Каноническое уравнение

δ₁₁X₁ + Δ_1t = 0.

3. Выбранная основная система показана на рис.13.28, б.

4. Строим деформированную схему, определяем усилия в основной системе от единичной силы, прило­женной по направлению удалённой связи, и строим эпюры и (рис.13.28, в).

5. Коэффициент при неизвестном

(м/кН).

6. Строим деформированную схему (состояние tº) основной системы от температурного воздействия (рис. 13.28, г).

7. Свободный член канонического уравнения по формуле (12.38):

Δ_1t = α_t{5∙(–1)∙5 + ∙3∙3} = 2235 α_t (м).

8. Значение неизвестного X₁ = – Δ_1t /δ₁₁ = –5,913 α_t EI.

9. Эпюра изгибающих моментов показана в двух вариантах: с общим множителем α_t EI (рис. 13.28, д) и в действительных числах при α_t EI = 120∙10^-7∙2,06∙10⁸∙2147∙10^-8 = 53,07∙10^-3 кН·м²/град (рис 13.28, е).

Пример 13.6. Построить эпюру изгибающих моментов M_Δ в раме при осадке правой опоры на величину Δ = 0,27 м (рис.13.29, а). Рама изготовлена из двутавра № 24, I_z = 2900 см⁴.

Решение.

1. Степень статической неопределимости при К =1 и Ш =2

n_c = 3∙1 – 2 = 1.

2. Каноническое уравнение

δ₁₁X₁ + Δ_1Δ = 0.

3. Выбранная основная система показана на рис.13.29, б.

4. Строим деформированную схему, определяем усилия в основной системе от единичной силы, прило­женной по направлению удалённой связи, и строим эпюру (рис.13.29, в).

5. Коэффициент при неизвестном

6. Строим деформированную схему основной системы (состояние ∆) от заданной осадки опор (рис. 13.29, г).

7. Свободный член канонического уравнения по формуле (12.39):

Δ_1Δ = – [ ] = – 0,045 (м).

8. Значение неизвестного X₁ = – Δ_1Δ /δ₁₁ = 0,01EI.

9. Эпюра изгибающих моментов показана в двух вариантах: с общим множителем EI (рис. 13.29, д) и в действительных числах при EI = 2,06∙10⁸∙2900∙10^-8 = 5974 кН·м² (рис. 13.29, е).

Пример 13.7. Построить эпюру изгибающих моментов M_Δ в раме при условии, что её затяжка изготовлена на величину Δ = 0,054 м короче, чем запроектирована (рис.13.30, а).

Рама изготовлена из двутавра № 16, I_z = 873 см⁴, а затяжка – из круглой стали d = 40 мм (A = 12,57 см²).

Жёсткость стержней рамы EI = 2,06∙10⁸∙873∙10^-8 = 1798,4 кН·м².

Жёсткость затяжки EА = 2,06∙10⁸∙12,57∙10^-4 = 258 942 кН.

Соотношение жёсткостей EА/ EI = 258 942/1798,4 = 143,98 м^-2.

Решение.

1. Степень статической неопределимости при К =2 и Ш =5

n_c = 3∙2 – 5 = 1.

2. Каноническое уравнение

δ₁₁X₁ + Δ_1Δ = 0.

3. Выбранная основная система показана на рис.13.30, б.

4. Строим деформированную схему, определяем усилия в основной системе от единичной силы, прило­женной по направлению удалённой связи, и строим эпюру (рис.13.30, в).

5. Коэффициент при неизвестном

.

6. Строим деформированную схему основной системы при заданном укорочении затяжки (состояние ∆). В результате того, что в качестве неизвестного метода сил выбрано усилие в затяжке, измененение ее длины в основной системе скажется только на самой затяжке (рис. 13.30, г).

7. Свободный член канонического уравнения по формуле (12.39):

Δ_1Δ = 1∙(– 0,054)= – 0,054 (м).

8. Значение неизвестного X₁ = – Δ_1Δ /δ₁₁ = 5,972∙10^-3EI.

9. Эпюра изгибающих моментов показана в двух вариантах: с общим множителем EI (рис. 13.30, д) и в действительных числах при EI = 1798,4 кН·м² (рис. 13.30, е).

13.5. Упрощения при расчёте симметричных систем

Использование естественных свойств симметрии может значительно упростить расчёт любой расчётной схемы как статически определимой . так и статически неопределимой. Особенно важно учитывать свойства симметрии при расчёте статически неопределимых систем, так как их учёт приводит к уменьшению числа разрешающих совместных уравнений. По­этому, когда появляется возможность понизить число основных неизвест­ных, её следует реализовать.

Симметричной принято называть такую систему, геометрическая схема которой (влючая жёсткостные характеристики элементов) и расположение связей имеют одну или несколько общих осей симметрии.

Для всех сечений, расположенных на оси симметрии различают сим­метричные и кососимметричные статические (усилия) и кинематические (перемещения) факторы. Так, для сечения A горизонтально ориентирован­ного стержня, расположенного на оси симметрии (рис.13.31), можно раз­личить как:

• cимметричные: изгибающий момент M_A, продольная сила N_A и верти­кальное перемещение ;

• кососимметричные: поперечная сила Q_A, угол поворота сечения φ_A и горизонтальное перемещение .

Нагрузка, действующая на симметричную расчётную схему, может также обладать свойствами симметрии. Она может быть как симметрич­ной, так и кососимметричной. Кососимметричной называется нагрузка, которая относительно оси симметрии отличается лишь знаками.

Для реализации возможных упрощений при расчёте симметричных сис­тем сформулируем их основные свойства.

Свойство 1. В симметричной расчётной схеме, загруженной симмет­рично расположенной нагрузкой (рис.13.32, а), деформационная схема (рис.13.32, б), эпюра изгибающих моментов (рис. 13.32, в) и эпюра про­дольных сил (рис.13.32, д) симметричны, а эпюра поперечных сил (рис.13.32, г) – кососимметрична.

Следствие 1. В симметричной расчётной схеме, загруженной симмет­ричной нагрузкой в сечениях, расположенных на оси симметрии, кососим­метричные статические и кинематические факторы равны нулю.

Например, для сечения А изображённой на рис. 13.32, а рамы, равны нулю Q_A, φ_A и .

Свойство 2. В симметричной расчётной схеме, загруженной кососим­метрично расположенной нагрузкой (рис.13.33, а), деформационная схема (рис.13.33, б), эпюра изгибающих моментов (рис. 13.33, в) и эпюра про­дольных сил (рис.13.33, д) кососимметричны, а эпюра поперечных сил (рис.13.32, г) – симметрична.

Следствие 2. В симметричной расчётной схеме, загруженной кососим­метричной нагрузкой в сечениях, расположенных на оси симметрии, сим­метричные статические и кинематические факторы равны нулю.

Например, для сечения А изображённой на рис. 13.33, а рамы, равны нулю M_A, N_A и .

При действии на расчётную схему симметричной или кососимметричной нагрузок, используя свойства 1 и 2 и следствия к ним, можно рассматривать не всю расчётную схему, а лишь её симметричную часть.

Так для симметричной рамы, загруженной симметричной нагрузкой (рис. 13.34, а) и имеющую степень статической неопределимости n_c =3, статические и кинематические условия для сечения А на оси симметрии будут следующими:

1. Q_A = 0, M_A ≠ 0, N_A ≠ 0; 2. φ_A =0, = 0, ≠ 0.

Для того, чтобы симметричная часть расчётной схемы удовлетворяла этим условиям, необходимо на оси симметрии поставить подвижное в вертикальном направлении защемление. Степень статической неопределимости полученной схемы n_c =2. Налицо сокращение числа канонических уравнений.

По аналогии, для симметричной рамы, загруженной кососимметричной нагрузкой (рис. 13.34, б) и имеющую степень статической неопределимости n_c =3, статические и кинематические условия для сечения А на оси симметрии будут следующими:

1. Q_A ≠ 0, M_A = 0, N_A = 0; 2. φ_A ≠ 0, ≠ 0, = 0.

Для того, чтобы симметричная часть расчётной схемы удовлетворяла этим условиям, необходимо на оси симметрии поставить шарнирно подвижную опору, разрешающую горизонтальные смещения сечения А. Степень статической неопределимости полученной схемы n_c =1. В этом случае так же имеем сокращение числа канонических уравнений.

На основании вышеприведённых свойств симметричных расчётных схем используют два приёма упрощения расчётов симметричных систем: способ разложения нагрузки и способ группировки неизвестных.

Применение этих способов возможно лишь в случае использования симметричных основных систем метода сил.

Рассмотрим оба этих способа.

С п о с о б р а з л о ж е н и я н а г р у з к и

Любую произвольную нагрузку, действующую на симметричную расчётную схему, на основании принципа независимости действия сил всегда можно разложить на симметричную и кососимметричную (рис.13.35, а). Разложение должно удовлетворять условию – сумма симметричного и кососимметричного загружений должна быть равна заданному загружению.

Расчёт от каждого вида загружения производится отдельно. Затем на основании принципа независимости действия сил результаты складываются. Например, для расчётной схемы, работающей в условиях изгиба

.

Рассмотрим подробнее, какие упрощения мы можем получить при использовании способа разложения нагрузки, на примере трижды статической неопределимой рамы (рис.13.35).

Выберем симметричную основную систему метода сил, симметрично удалив избыточные связи путём ”врезки” шарниров в опорные защемления и в середину ригеля рамы (рис.13.35, б) и обозначив реакции в удалённых связях как Y₁,Y₂ и Y₃.

При действии симметричной нагрузки (рис.13.35, б) на основании свойства 1 получим, что Y₃ = –Y₁= X₁, а неизвестное Y₂ обозначим через X₂. В результате получили два неизвестных и, следовательно, систему канонических уравнений второго порядка. При этом групповое неизвестное X₁ и неизвестное X₂ являются симметричными.

При действии кососимметричной нагрузки (рис.13.35, в) на основании свойства 2 получим, что Y₃ = Y₁= X₃, а неизвестное Y₂ = 0. В результате получили одно неизвестное и, следовательно, одно каноническое уравнение. При этом групповое неизвестное X₃ является кососимметричным.

В итоге для рассматриваемой рамы вместо системы уравнений с тремя неизвестными мы имеем независимые друг от друга систему уравнений с двумя неизвестными и одно уравнение с одним неизвестным. В этом и состоит упрощение расчёта. Сумма неизвестных при обоих вида загружения равна степени статической неопределимости рамы, т.е. n^с + n^кс = n_c.

Преимущество данного способа состоит в том, что он позволяет рассматривать при каждом виде загружения не всю расчётную схему, а лишь её симметричную часть, как это было показано на рис.13.34. Перед суммированием результатов на отброшенной при расчёте симметричной части эпюры усилий достраиваются из условий симметрии, сформулированных в свойствах 1 и 2.

Способ разложения, естественно, может быть применён не только при действии внешней нагрузки, но и при любых воздействиях на расчётную схему. На рис. 13.36 показаны примеры разложения на симметричное и кососимметричное теплового воздействия и неравномерной осадки опор.

С п о с о б г р у п п и р о в к и н и з в е с т н ы х

Рассмотрим симметричную дважды статически неопределимую раму (рис.13.37, а), для которой выберем симметричную основную систему, удалив левую и правую шарнирно подвижные опоры. Неизвестные реакции в удалённых связях Y₁и Y₂ представим в виде (рис.13.37, б)

Y₁ = X₁ + X₂ и Y₂ = X₁ – X₂.

В полученном представлении X₁ – групповое симметричное неизвестное, а X₂ – групповое кососимметричное неизвестное.

Канонические уравнения для указанных групповых неизвестных имеют вид

δ₁₁X₁ + δ₁₂X₂ + Δ_1F = 0;

δ₂₁X₁ + δ₂₂X₂ + Δ_2F = 0.

В силу свойств симметрии в состояниях 1 и 2 (рис.13.37, в и г) получим симметричную эпюру и кососимметричную эпюру . Перемножение этих эпюр даёт

,

т.е. результат “перемножения” симметричной эпюры усилий на кососимметричную равен нулю.

Следовательно, выше приведённая система уравнений принимает вид

δ₁₁X₁ + Δ_1F = 0;

δ₂₂X₂ + Δ_2F = 0.

Таким образом, при использовании способа группировки неизвестных система канонических уравнений, записанная для групповых неизвестных, распадается на две группы: для симметричных и кососимметричных неизвестных из-за равенства нулю побочных коэффициентов канонических уравнений. В этом и состоит эффект использования симметрии.

При этом эпюра грузового состояния (рис.13.37, д) строится от заданной нагрузки и может быть любой. Эпюра изгибающих моментов в заданной расчётной схеме строится на основании принципа независимости действия сил по формуле (13.14).

Приведённый на примере достаточно простой расчётной схемы вывод справедлив при любой степени статической неопределимости и для любого типа расчётных схем.

Подобный эффект “обнуления” побочных коэффициентов может быть получен при удалении избыточных связей непосредственно на оси симметрии расч1ётной схемы. Так, для той же рамы (рис.13.38, а) основная система (рис.13.38, б) получена удалением связей центрального шарнира ригеля. В результате при рассмотрении вспомогательных состояний (рис.13.38, в и г) получим симметричную эпюру и кососимметричную эпюру и, как следствие, δ₁₂ = δ₂₁=0. Усилия грузового состояния основной системы определяются от заданного воздействия (рис. 13.38, д).

Оба рассмотренных приёма использования симметрии при расчёте статически неопределимых систем равнозначны. Второй не требует разложения внешнего воздействия, а первый позволяет рассматривать симметричную часть расчётной схемы, что уменьшает количество исходных данных при решении задачи на ЭВМ.

Рассмотрим несколько примеров использования симметрии при решении статически неопределимых задач.

Пример. 13.8. Построить эпюру изгибающих моментов для трёхпролётной симметричной балки (рис.13.39, а), загруженной симметричной нагрузкой.

Решение.

1. Степень статической неопределимости при К = 3, Ш = 8

n_c = 3∙3 – 8 = 1.

2. Каноническое уравнение δ₁₁X₁ + Δ_1F = 0.

3. Основную систему (рис.13.39, б) получим, удалив вертикальную связь в шарнире С, расположенном на оси симметрии.

На основании следствия 1 неизвестное X₁ = 0 как кососимметричный статический фактор.

Поэтому заданная схема балки рассчитывается как статически определимая (рис.13.39, в). Эпюра изгибающих моментов для неё представлена на рис.13.39, г.

Пример.13.9. Построить эпюру изгибающих моментов для рамы с затяжкой (рис.13.40, а), загруженной кососимметричной нагрузкой.

Решение.

1. Степень статической неопределимости при К = 2, Ш = 4

n_c = 3∙2 – 4 = 2.

2. Система канонических уравнений

δ₁₁X₁ + δ₁₂X₂ + Δ_1F = 0;

δ₂₁X₁ + δ₂₂X₂ + Δ_2F = 0.

3. Основную систему (рис.13.40, б) получим, врезав шарнир в середине ригеля рамы и удалив затяжку.

На основании следствия 2 неизвестные X₁ = X₂ = 0 как симметричные статические факторы.

Поэтому заданная схема балки рассчитывается как статически определимая (рис.13.40, в). Эпюра изгибающих моментов для неё представлена на рис.13.40, г.

Пример.13.10. Построить эпюру изгибающих моментов для симметричной балки с осью ломаного очертания (рис.13.41, а).

Решение.

1. Степень статической неопределимости при К = 3, Ш = 7

n_c = 3∙3 – 7 = 2.

2. Система канонических уравнений

δ₁₁X₁ + δ₁₂X₂ + Δ_1F = 0;

δ₂₁X₁ + δ₂₂X₂ + Δ_2F = 0.

3. Основную систему (рис.13.41, б) получим, удалив связи в опорах A и B. Для неизвестных реакций в удалённых связях применим способ группировки.

4. Определяем усилия в основной системе от единичных сил, по­следовательно прикладываемых по направлению удалённых связей (рис.13.41, в и г). Для этого определяем реакции от указанных воздействий и строим эпюры и .

5. Определяем усилия в основной системе от действия заданной на­грузки и строим эпюру (рис.13.41, д).

6. Определяем коэффициенты при неизвестных.

(м/кН);

δ₁₂ = δ₂₁ = 0;

(м/кН).

7. Определяем свободные члены канонических уравнений.

(м);

(м).

8. Производим решение системы канонических уравнений:

откуда X₁ = – Δ_1F / δ₁₁= – 324/72 = – 4,5 кН,

X₂ = – Δ_2F / δ₂₂= – (–1476/360) = 4,1 кН.

9. Строим эпюру изгибающих моментов в заданной расчётной схеме

.

Все слагаемые приведённой формулы и результат сложения - эпюра M_F показаны на рис.13.42.

Последующий ход расчёта см. пример 13.2.

Пример.13.11. Построить эпюру изгибающих моментов для симметричной рамы (рис.13.43, а).

Решение.

4. Степень статической неопределимости при К = 2, Ш = 4

n_c = 3∙2 – 4 = 2.

5. Система канонических уравнений

δ₁₁X₁ + δ₁₂X₂ + Δ_1F = 0;

δ₂₁X₁ + δ₂₂X₂ + Δ_2F = 0.

6. Основную систему (рис.13.43, б) получим, удалив связи в шарнире С. Поскольку избыточные связи удалены на оси симметрии, группировки неизвестных не требуется.

4. Определяем усилия в основной системе от единичных сил, по­следовательно прикладываемых по направлению удалённых связей (рис.13.43, в и г). Для этого определяем реакции от указанных воздействий и строим эпюры и .

5. Определяем усилия в основной системе от действия заданной на­грузки и строим эпюру (рис.13.49, д).

6. Определяем коэффициенты при неизвестных.

(м/кН);

δ₁₂ = δ₂₁ = 0;

(м/кН).

7. Определяем свободные члены канонических уравнений.

(м);

(м).

8. Производим решение системы канонических уравнений:

откуда X₁ = – Δ_1F / δ₁₁= – 5832/360 = – 16,2 кН,

X₂ = – Δ_2F / δ₂₂= – 1944/144 = – 13,5 кН.

9. Строим эпюру изгибающих моментов в заданной расчётной схеме

.

Все слагаемые приведённой формулы и результат сложения - эпюра M_F показаны на рис.13.43, е – з.

Последующий ход расчёта см. пример 13.2.

13.6. Понятие о расчёте пространственных рам

Пространственные рамы – стержневые системы, элементы которых работают в условия сложного напряжённого состояния. Они, как правило, многократно статически неопределимы.

Методы расчёта пространственных рам те же, что и для плоских статически неопределимых рам. В то же время расчёт пространственных рам значительно сложнее как за счёт значительно бóльшей статической неопределимости, так и большим числом силовых факторов, действующих в элементах таких расчётных схем.

В ряде случаев при расчёте пространственную раму заменяют несколькими плоскими рамами. Это осуществимо, если основные несущие элементы и действующие нагрузки находятся в параллельных плоскостях.

Для пространственных систем, как и для плоских справедлива зависимость (13.1). Тогда на основании (1.7) степень статической неопределимости пространственной системы может быть определена по формуле

n_c = (С_оп + 6Ж + С) – 6Т . (13.17)

Для бесшарнирных пространственных рам с защемлёнными опорами степень их статической неопределимости удобнее определять по количеству разрезов n_р, которые необходимо произвести, чтобы превратить пространственную раму в набор статически определимых пространственных консолей:

n_c = 6 n_р. (13.18)

Основная система метода сил при расчёте пространственных рам выбирается так же, как и для плоских, т.е. путём удаления избыточных связей в элементах, узлах или на опорах расчётной схемы. При этом могут быть использованы все использованные ранее приёмы выбора рациональной основной системы, приводящие к обращению в нуль как можно большее число побочных коэффициентов при неизвестных системы канонических уравнений.

Как и при расчёте плоских рам в пространственных рамах при определении перемещений пренебрегают влияние продольных и поперечных сил, т.е. используют формулу (12.26). Выражения для определения коэффициентов при неизвестных и свободных членов на основании указанной формулы будут следующими:

; (13.19)

. (13.20)

Здесь M_y, M_z – изгибающие, а M_x = M_к – крутящий моменты, отнесённые к местной системе координат поперечного сечения (см. рис.4.6)

Определение усилий в заданной расчётной схеме и построение эпюр M_xF, M_yF, M_zF осуществляется на основании принципа независимости действия сил по аналогии с формулой (13.8):

;

(13.21)

.

Поперечные силы, как и при расчёте плоских рам, находятся на основании дифференциальных зависимостей:

; . (13.22)

Продольные силы в стержнях пространственных рам находятся из условия равновесия узлов по найденным значениям поперечных сил. Узлы следует вырезать в такой последовательности, чтобы в каждом было не более трёх неизвестных продольных сил в сходящихся в рассматриваемом узле стержнях.

Основными проверками расчёта являются деформационная и статические.

Все выше перечисленные эпюры в процессе расчёта могут строиться как по отдельности, так и объединятся в один чертёж (если позволяет его наглядность) по типу рассматриваемого состояния.

Пример.13.12. Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для рамы (рис.13.44, а) при следующих данных: GI_к = EI_z = EI_y = EI.

Решение.

1. Для представления расчётной схемы в виде пространственных статически определимых консолей достаточно одного разреза, например, разрезая ригель рамы посередине.

Следовательно, степень статической неопределимости на основании (13.18) будет n_c = 6∙1= 6.

Поэтому основную систему выбираем, разрезая ригель по вертикальной плоскости симметрии схемы. В проведённом разрезе в общем случае действуют шесть внутренних сил.

Так как действующая нагрузка перпендикулярна плоскости рамы то в проведённом сечении N_x = 0, Q_z= 0 и M_y = 0. В силу симметрии заданной схемы относительно вертикальной плоскости в сечении, принадлежащем этой плоскости должны равняться при симметричной нагрузке кососимметричные статические факторы, т.е. Q_y = 0 и M_x = 0. Таким образом, из всех возможных усилий в рассматриваемом сечении остаётся только изгибающий момент M_z= X₁ (рис.13.44, б).

2. Каноническое уравнение

δ₁₁X₁ + Δ_1F = 0.

3. Определяем усилия в основной системе от единичного момента, прило­женной по направлению удалённой связи и строим эпюру (рис.13.44, в), объединяя в ней изгибающие моменты в вертикальной плоскости и крутящие моменты.

4. Определяем усилия в основной системе от действия заданной на­грузки и строим эпюру (рис.13.44, д), также как и в предыдущем случае объединяя на одном чертеже изгибающие и крутящие моменты.

5. Определяем коэффициент при неизвестном канонического уравне­ния.

(рад/кН·м).

6. Определяем свободный член канонического уравнения.

(рад).

7. Определяем неизвестное канонического уравнения:

X₁ = – Δ_1F/δ₁₁ = – 373,33/12 = – 31,11 кН·м.

8. Строим эпюру изгибающих моментов в заданной расчётной схеме.

.

9. На основании дифференциальных зависимостей определяем поперечные силы в стержнях рамы и строим эпюру Q_F.

Эпюры Q_F и M_F показаны на рис.13.44, д и е.

Контрольные вопросы

1. Какие расчетные схемы называются статически неопределимыми?

2. Что называется степенью статической неопределимости?

3. Как может быть определена степень статической неопределимости плоских расчетных схем?

4. Сформулируйте основные свойства статически неопределимых систем.

5. Какая расчетная схема называется основной системой метода сил?

6. Какие требования предъявляются к основной системе метода сил?

7. Как получить из заданной статически неопределимой расчетной схемы основную систему метода сил?

8. Сформулируйте смысл канонических уравнений метода сил.

9. Какой принцип строительной механики положен в основу определения усилий в статически неопределимой расчетной схеме?

10. Каков порядок расчета методом сил при действии внешней нагрузки для балок и рам, комбинированных расчетных схем, ферм?

11. Как зависят усилия в стержнях статически неопределимой расчетной схемы от их жесткости?

12. Какие Вы знаете проверки расчета статически неопределимых систем методом сил?

13. Как в канонических уравнениях метода сил учитывается влияние начальных деформаций?

14. От каких параметров зависят усилия в статически неопределимой расчетной схеме при наличии начальных деформаций?

15. Какие расчетные схемы называются симметричными?

16. Сформулируйте основные свойства симметричных расчетных схем.

17. Какие статические и кинематические факторы на оси симметрии расчетной схемы относятся к симметричным, а какие – к кососимметричным?

18. Какие способы упрощения расчета симметричных расчетных схем Вы знаете? Дайте их характеристики.

19. Как определяется степень статической неопределимости пространственных рам?

20. В чем состоят особенности расчета пространственных рам методом сил?

Глава 14 расчёт статически неопределимых систем методом перемещений

14.1. Основные положения. Степень кинематической неопределимости

Метод перемещений является вторым основным классическим методом расчёта статически неопределимых систем. Основными неизвестными в этом методе являются угловые и линейные смещения узлов расчётной схемы (рис. 14.1), что и определило его название. Во многих случаях метод перемещений является эффективнее метода сил.

Рассмотрим деформированное состояние статически неопределимой рамы (рис. 14.1) при действии внешней нагрузки.

Для упрощения расчёта используются общепринятые и ранее сформулированные допущения о пренебрежении продольными деформациями в изгибаемых стержнях и о малости деформаций по сравнению с размерами сооружения. В силу этих допущений жёсткие узлы рассматриваемой рамы остаются прямыми, горизонтальные смещения узлов C и D считаются одинаковыми, углы поворота жёстких узлов в силу их малости определяются по тангенсу угла, пренебрегается сближением концов стержней при их и изгибе (например, узлы С и D по вертикали не перемещаются).

Для того, чтобы применить метод перемещений, необходимо знать степень упругой подвижности узлов расчётной схемы (степень кинематической неопределимости), включающую количество независимых угловых и линейных перемещений всех узлов:

n_к = n_у + n_л, (14.1)

где n_у – число жёстких узлов расчётной схемы, способных к повороту при её деформации; n_л – степень линейной подвижности всех узлов схемы.

Применение формулы (14.1) покажем на примере рамы, изображённой на рис. 14.2, а. Рама имеет как полностью жёсткие узлы, так и комбинированные. В число n_у включаются лишь жёсткие соединения стержней. Кроме этого узлами считаются места ступенчатого изменения жёсткостных характеристик (узел А). Ригель ВС в представленной схеме показан абсолютно жёстким, т.е. не изгибаемым, поэтому узлы В и С не способны к повороту. Все жёсткие узлы, способные к повороту при деформации рассматриваемой рамы отмечены пунктиром на рис. 14.2, б. Таким образом, для данной рамы n_у = 6.

Степень линейной подвижности может быть определена как степень свободы шарнирного механизма, полученного из заданной схемы рамы путём введения сквозных шарниров во все её узлы, включая опорные:

n_л =W = 2У – (С_ф + С_оп). (14.2)

Для рассматриваемой рамы (рис.14.2, в): У = 13, С_ф = 14, С_оп = 8, поэтому

n_л = 2∙13 – (14 + 8) = 4, и степень кинематической неопределимости n_к = n_у + n_л = 6 + 4 = 10.

В случае простых схем (рис.14.1) число линейных смещений узлов определяется непосредственно из анализа возможной схемы деформированного состояния, и использование формулы (14.2) не обязательно.

В отличие от метода сил, рассмотренного в предыдущей главе, основная система метода перемещений получается не удалением, а введением дополнительных связей. Дополнительные связи вводятся по направлению возможных смещений узлов расчётной схемы как угловых, так и линейных. В результате все узлы расчётной схемы становятся неподвижными.

Основная система, получаемая введением дополнительных связей по направлению возможных смещений узлов, называется кинематически определимой.

В качестве вводимых дополнительных связей применяются жёсткие линейные связи, устраняющие линейные перемещения узлов, и “плавающие” заделки, устраняющие повороты узлов. Термин “плавающая” заделка применяется в том смысле, что она может иметь линейные смещения, т.е. свободно перемещаться вместе с узлом, но не может поворачиваться до тех пор, пока ей не будет сообщён принудительный поворот. В соответствии с изложенным в качестве неизвестных принимаются линейные смещения и углы поворота по направлению введённых дополнительных связей.

Для рамы, приведённой на рис. 14.2, а, основная система показана на рис. 14.2, г.

В отличие от основной системы метода сил кинематически определимая основная система единственна. Различие может состоять лишь в месте установки какой-либо линейной связи. Например, дополнительная горизонтальная связь 8 (рис. 14.2, г) может быть установлена в любом из узлов первого этажа рамы.

В результате введения дополнительных связей расчётная схема превращается в набор отдельных прямолинейных стержней постоянного сечения двух типов (рис. 14.3). Указанные стержни являются простыми статически неопределимыми однопролётными балками, которые могут быть рассчитаны от любого воздействия методом сил. Результаты таких расчётов в общем виде обычно сводятся в специальные таблицы, называемые таблицами реакций (прил. 10 и 11). В таблицах приложения 10 все значения реакций выражены через величину i =EI/l (отношение жёсткости стержня при изгибе к его длине), называемой относительной жёсткостью стержня.

14.2. Идея метода перемещений. Система канонических уравнений и общая последовательность расчёта

Для описания идеи метода рассмотрим простейшую расчётную схему – двухпролётную одноэтажную несвободную раму, т.е. раму, не имеющую линейных смещений узлов (рис. 14.4, а). Рама загружена произвольной нагрузкой и является дважды кинематически неопре­делимой.

Предположим, что узлы A и B при деформации рамы под нагрузкой будут поворачиваться на какие-то углы Z₁ и Z₂.

Введём дополнительные угловые связи в узлы A и B (рис. 14.4, б). Полученная схема является кинематически определимой и называется основной системой метода перемещений.

Для полученной основной системы воспользуемся принципом незави­симости действия сил и рассмотрим следующие воздействия: состояние 1 от принудительного поворота первой связи на угол Z₁ (рис. 14.4, в); состояние 2 от принудительного поворота второй связи на угол Z₂ (рис. 14.4, г) и состояние F от действия внешней нагрузки (рис. 14.4, д).

Во всех перечисленных состояниях в связях, введённых в узлы А и B, появятся реакции, которые будем считать положительными, если их направление совпадает с направление принудительного смещения связи. Сумма реакций по каждому из указанных направлений даст полные реакции во введённых дополнительных связях

R_A =R₁₁ + R₁₂ + R_1F;

R_B =R₂₁ + R₂₂ + R_2F .

Чтобы основная система соответствовала по своим статическим свойствам задан­ной расчётной схеме, очевидно, необходимо выполнения условий

R_A = 0; R_B = 0

и

(14.3)

R₂₁ + R₂₂ + R_2F = 0 .

Для выражения перемещений, входящих в (14.3) воспользуемся зависи­мостью (12.20) и запишем

R₁₁ = r₁₁Z₁; R₁₂ = r₁₂Z₂; R₂₁ = r₂₁Z₁; R₂₂ = r₂₂Z₂.

П одставив эти выражения в (14.3), получим

(14.4)

r₂₁Z₁ + r₂₂Z₂ + R_2F = 0.

Запись (14.4) называется системой канонических уравнений метода перемещений.

Как и (14.3), система канонических уравнений метода перемещений имеет следующий статический смысл: сумма реакций в дополнительных связей от смещения этих связей и внешнего воздействия равна нулю.

Приведённый вывод системы канонических уравнений справедлив для любой расчётной схемы с любой степенью кинематической неопределимости. Поэтому, если степень кинематической неопределимости n_к = n, то система канонических уравнений будет иметь вид:

r₁₁Z₁ + r₁₂Z₂ + …+ r_1iZ_i +…+ r_1nZ_n +R_1F = 0;

r₂₁Z₁ + r₂₂Z₂ + …+ r_2iZ_i +…+ r_2nZ_n +R_2F = 0; (14.5)

……………………………………………….

r_n1Z₁ + r_n2Z₂ + …+ r_niZ_i +…+ r_nnZ_n +R_nF = 0.

В системе канонических уравнений (14.5) коэффициенты при неизвест­ных с одинаковыми индексами называются главными коэффициентами и они всегда положительны r_ii > 0. Остальные коэффициенты называются побочными, и для них выполняется теорема о взаимности воз­можных реакций r_ik = r_ki.

Размерности коэффициентов при неизвестных и свободных членов сис­темы канонических уравнений легко определяются на основании их статического смысла, сформулированного выше.

Так, для рамы, использованной при выводе системы кано­нических уравнений (рис. 14.4, а), неизвестными метода перемещений являются углы поворота (единицы измерения – рад), реакциями в угловых связях (защемлениях) по направ­лению углов будут пары сил (единицы измерения – кН·м). Следова­тельно, свободные члены системы уравнений, являющиеся реакциями от действующей нагрузки, будут измеряться в кН·м, а все коэффициенты при неизвестных – в кН·м / рад.

Если основная система метода перемещений получена введение как угловых, так и линейных дополнительных связей (рис. 14.5), то, рассуждая аналогично, получим нижеследующее.

В направлении первого неизвестного отрицается сумма реакций в угловой связи, которые имеют единицы измерения в кН·м. Так как Z₁ измеряется в рад, а Z₂ – в м, то единицами измерения коэффициентов при неизвестных первого уравнения будут: для r₁₁ – кН·м/ рад, для r₁₂ – кН, а для свободного члена R_1F – кН·м.

Аналогично, второе уравнение отрицает в направлении второго неиз­вестного сумму линейных реакций, измеряемых в кН. Значит, для второго уравнения единицами измерения коэффициентов при неизвестных будут: для r₂₁ – кН / рад, для r₂₂ – кН /м, а для R_2F – кН.

Коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канони­ческих уравнений метода перемещений при расчёте ортогональных рам определяются :

• реакции в угловых связях – из условия равновесия узла, в который введена дополнительная связь;

• реакции в линейных связях – способом сечений, которые проводятся параллельно оси связи через все стержни схемы, которые деформируются при принудительном смещении этой связи.

Последовательность расчёта методом перемещений

1. Определение степени кинематической неопределимости расчётной схемы n_к = n_у + n_л.

2. Составление системы канонических уравнений в общем виде.

3. Получение основной системы метода перемещений путём введения дополнительных связей по направлению возможных смещений узлов расчётной схемы.

4. Получение деформированных схем и определение усилий в основной системе (построение эпюр ) от последовательного принудительного смещения дополнительных связей (i = 1…n = n_к) по прил.10.

5. Определение усилий в основной системе (построение эпюры ) по прил.11.

6. Определение коэффициентов при неизвестных r_ik и свободных членов R_iF системы канонических уравнений.

7. Запись системы канонических уравнений метода перемещений в численном виде и определение неизвестных Z_i из её решения.

8. Определение усилий в заданной расчётной схеме на основании принципа независимости действия сил

. (14.6)

9. Первая статическая проверка расчёта.

Целью её является проверка равновесия жёстких узлов расчётной схемы по значениям изгибающих моментов, полученных по эпюре M_F (14.6). При правильном расчёте для каждого жёсткого узла должно выполняться условие ∑M_узл = 0.

10. Деформационная проверка расчёта. Для её проведения выбирается любая основная статически определимая система, в которой от последовательного приложения единичных сил строятся эпюры (при i = 1…n=n_c) и их сумма . При правильном расчёте должны выполняться условия

либо .

11. Построение эпюры поперечных сил Q_F на основании дифференциальной зависимости с использованием формул (13.11) и (13.12).

12. Определение продольных сил в стержнях расчётной схемы из условия равновесия её узлов и построение эпюры N_F.

13. Статически проверки расчёта. При правильном расчёте любая отсеченная часть расчётной схемы или вся схема, отсечённая от опор, под действием внутренних и внешних сил должна находиться в равновесии.

Как видно из выше приведённого п.п. 10 – 13 настоящей последовательности ничем не отличаются от п.п. 11 – 14 табл. 13.11 при расчёте методом сил, т.е. в независимости от метода расчёта указанные пункты выполняются одинаково.

Рассмотрим несколько примеров расчёта рам методом перемещений.

Пример 14.1. Построить эпюры усилий в раме (рис. 14.6, а).

Относительные жёсткости стержней рамы, приведённые к единому множителю:

• правая стойка i₁ = EI/4 = i;

• левая стойка i₂ = 1,5EI/4 = 1,5i;

• ригель i₃ = 2EI/4 = 2i.

Решение.

1. Рама имеет один жёсткий узел, и два её узла могут совместно перемещаться по горизонтали. Следовательно, степень кинематической неопределимости рамы n_к = 2.

2. Система канонических уравнений на основании (14.5) при n_к = 2 будет иметь вид r₁₁Z₁ + r₁₂Z₂ + R_1F = 0;

r₂₁Z₁ + r₂₂Z₂ + R_2F = 0.

3. Основная система, полученная введением одной угловой и одной линейной дополнительных связей, показана на рис. 14. 6, б.

4. Последовательно задаём введенным дополнительным связям принудительные единичные смещения, показываем деформированные схемы основной системы от этих смещений (рис. 14.6, в и г) и по таблицам прил. 10 строим в основной системе эпюры и .

5. Прикладывая к стержням основной системы и на основании таблицы прил.11строим эпюру (рис. 14.6, д).

6. Определение реакций в дополнительных связях определяем в следующей последовательности.

Сначала определим реакции первого канонического уравнения, описывающего статическое условие равенства нулю суммы реакций в угловой дополнительной связи. Для этого вырезаем узел вместе со связью (рис. 14.7, а), последовательно прикладывая к нему изгибающие моменты с эпюр , и , соответствующих трём расчётным состояниям. Из условия равновесия получаем:

r₁₁ = 9i (кН·м/рад), r₁₂ = – 9i/4 (кН), R_1F = –72 (кН·м).

Для определения реакций второго канонического уравнения, описывающего статическое условие равенства нулю суммы реакций в линейной связи, для каждого из расчётных состояний рассматриваем отсечённую часть основной системы (сечения I – I, II – II и F – F, рис. 14.7, б) и из условия их равновесия определяем:

r₂₁ = – 9i/4 (кН/рад), r₂₂ = 21i/16 (кН/м), R_2F = 15 (кН).

7. Система канонических уравнений в численном виде будет иметь вид:

а его решение Z₁ = 9/i (рад), Z₂ = 4/i (м).

8. Строим эпюру изгибающих моментов в заданной схеме на основании (14.6) .

Все указанные слагаемые приведены на рис.14.8, а, а результат сложения – на рис. 14.8, б.

9. Проверка равновесия жёсткого узла по полученной эпюре в данной задаче может быть сделана визуально, так как в узле сходится всего два стержня.

10. Для проведения деформационной проверки определяем степень статической неопределимости рамы. При К =1, Ш =1 n_c = 3∙1 – 1 = 2. основная статически определимая основная система для рамы показана на рис. 14.9, а. В приведённой основной системе построена вспомогательная эпюра от действия сразу двух единичных моментов, приложенных по направлениям удалённых связей. Тогда

следовательно, деформационная проверка выполняется.

11. Эпюры Q_F и N_F, построенные по ранее приведённой методике (см. пример 13.2, п.п. 11 и 12) приведены на рис. 14.8, б.

12. Производим статические проверки расчёта, рассматривая равновесие всей рамы, предварительно определив по построенным эпюрам все опорные реакции (рис. 14.9, б).

∑X = 0, 15,75 + 32,25 – 48 = 0;

∑Y = 0, 41,625 + 30,375 – 9∙8 = 0;

∑M_A = 0, 18 + 9∙8∙4 – 48∙2 + 33 – 30,375∙8 = 339 – 339 = 0.

Таким образом, статические проверки также выполняются, следовательно, расчёт произведён правильно.

Пример 14.2. Построить эпюру изгибающих моментов M_F в раме (рис. 14.10, а).

Относительные жёсткости стержней рамы одинаковы, так как 1,25EI/5 = = EI/4 = i.

Решение.

1. Степень кинематической неопределимости рамы в силу линейной неподвижности её узлов n_к = n_у = 1.

2. Следовательно, каноническое уравнение метода перемещений будет единственным r₁₁Z₁ + R_1F = 0.

3. Основная система, полученная введением одной дополнительной угловой связи, показана на рис. 14.10, б.

4. Деформированная схема основной системы от принудительного поворота дополнительной связи на угол, равный единице, и соответствующая ей эпюра , построенная по таблицам прил.10, показаны на рис. 14.10, в.

5. В силу того, что стержни основной системы не загружены, так как внешняя действующая нагрузка является узловой и непосредственно воспринимается введённой дополнительной угловой связью, то в грузовом состоянии эпюра = 0.

6. Реакции в дополнительной связи в обоих расчётных состояниях, определённые из условий равновесия дополнительной связи (рис. 14.10, г) равны: r₁₁ = 7i (кН·м/рад), R_1F = 56 (кН·м).

7. Каноническое уравнение в численном виде

7iZ₁ + 56 = 0,

откуда Z₁ = – 56/7i = – 8/i (рад).

7. Эпюра изгибающих моментов в заданной схеме рамы будет получена как , т.к. = 0 (рис. 14.10, д).

Пример 14.3. Построить эпюру изгибающих моментов M_F в раме (рис.14. 11, а).

Относительные жёсткости стержней рамы:

• левая стойка i₁ = EI/4 = i;

• правые стойки i₂ = 2EI/4 = 2i.

Ригель рамы имеет бесконечную жёсткость при изгибе, поэтому узлы рамы неспособны к повороту.

Решение.

1. Степень кинематической неопределимости рамы n_к = n_с = 1. т.к. узлы рамы поворачиваться не могут, а для ригеля за счёт изгиба стоек рамы возможно одно горизонтальное линейное смещение.

2. Следовательно, каноническое уравнение метода перемещений будет единственным r₁₁Z₁ + R_1F = 0.

3. Основная система, полученная введением одной дополнительной линейной связи, показана на рис. 14.11, б.

4. Деформированная схема основной системы от принудительного смещения дополнительной связи на величину, равную единице, и соответствующая ей эпюра , построенная по таблицам прил.10, показаны на рис. 14.11, в.

5. В силу того, что стержни основной системы не загружены, так как внешняя действующая нагрузка является узловой и непосредственно, через ригель, воспринимается введённой дополнительной линейной связью, то в грузовом (рис. 14.11, г) состоянии эпюра = 0.

6. Реакции в дополнительной связи в обоих расчётных состояниях, определённые из условий равновесия вырезанного замкнутыми сечениями ригеля (рис. 14.11, д) равны: r₁₁ = 2,625i (кН/м), R_1F = – 63 (кН).

7. Каноническое уравнение в численном виде

2,625iZ₁ – 63 = 0,

откуда Z₁ = 63/2,625i = 24/i (м).

8. Эпюра изгибающих моментов в заданной схеме рамы будет получена как , т.к. = 0 (рис. 14.11, е). При этом эпюра изгибающих моментов на абсолютно жёстком ригеле достраивается по значениям в крайних сечениях, определённых из условий равновесия узлов.

14.3. Упрощения расчётов при использовании метода перемещений

14.3.1. Использование основной системы без постановки линейных связей

Рассмотрим свободную раму, изображённую на рис. 14.12, а. Эта рама имеет два жёстких узла A и B, способных к повороту, и два возможных линейных смещения ригелей по горизонтали, т.е. n_к = 4. Основная система для расчёта методом перемещений приведена на рис. 14.12, б.

Особенностью данной рамы является возможность определения поперечных сил в стойках AB и BC непосредственно из уравнений равновесия.

Действительно, Q_A = ∑F^верх = – F₁; Q_B = ∑F^верх = – F₁ + qh₂;

Q_BC = ∑F^верх = – F₁ + qh₂ + F₃.

Данная особенность позволяет понизить порядок канонических уравнений, если применить упрощённую основную систему (рис. 14.12, в), отличающуюся от изображённой на рис. 14.12, б, отсутствием дополнительных линейных связей. Использование подобной основной системы возможно, если для стержней типа AB и BC (рис. 14.13) использовать дополнительные таблицы реакций, учитывающие смещение “плавающих” заделок не только при принудительном смещении линейных связей, но и при повороте самой связи и действии внешней нагрузки. Эти дополнительные таблицы, получаемые на основе метода сил, показаны в прил. 10 (п.п. 5 и 6) и 11 (п.п. 5 – 8).

Рассмотрим несколько примеров применения основной системы метода перемещений без постановки линейных связей.

Пример 14.4. Построить эпюру изгибающих моментов M_F в раме (рис. 14.14, а).

Относительные жёсткости стержней рамы одинаковы:

• стойка второго этажа и ригель первого пролёта i₁ = EI/6 = i;

• ригель второго пролёта i₂ = 1,5EI/6 = 1,5i;

• стойка первого этажа i₃ = 2EI/6 = 2i.

Решение.

1. Степень кинематической неопределимости рамы в силу линейной неподвижности её узлов n_к + n_л =1 + 2 = 3.

В рассматриваемой раме поперечные силы в стойках могут быть определены непосредственно: Q = ∑F^верх = 12 кН. Поэтому горизонтальные дополнительные линейные связи при образовании основной системы можно не ставить (рис. 14.14, б)

2. Следовательно, каноническое уравнение метода перемещений будет единственным r₁₁Z₁ + R_1F = 0.

3. Деформированная схема основной системы от принудительного поворота дополнительной связи на угол, равный единице, и соответствующая ей эпюра , построенная по таблицам прил.10, показаны на рис. 14.14, в.

При этом для ригелей рамы эпюра строится по классическим таблицам метода перемещений (прил. 10, п.п. 1 и 4), а для стоек – по таблицам, учитывающим возможность смещения концов стержней относительно друг друга (прил. 10, п. 6).

4. Эпюра ( рис. 14.14, г) в основной системе от действия внешней нагрузки также строится по двум типам таблиц: для загруженного правого ригеля рамы – по п. 4 прил.11, а для стоек – по п.6 прил. 11 при v = 1. Для верхней и нижней стойки основной системы эпюра будет одинакова, так как ввиду отсутствия горизонтальных связей на верхнее сечение нижней стойки действует горизонтальная сила F = Q = ∑F^верх = 12 кН.

5. Реакции в дополнительной связи в обоих расчётных состояниях, определённые из условий равновесия дополнительной связи (рис. 14.14, д) равны: r₁₁ = 12i (кН·м/рад), R_1F = − 84 (кН·м).

6. Каноническое уравнение в численном виде

12iZ₁ − 84 = 0,

откуда Z₁ = 84/12i = 7/i (рад).

7. Эпюра изгибающих моментов в заданной схеме рамы будет получена как . Слагаемые приведённой формулы и результат сложения приведены на рис. 14.15. а, б и в.

8. Проверка равновесия жёсткого узла по полученной эпюре M_F показана на рис. 14.15, г.

Пример 14.5. Построить эпюру изгибающих моментов M_F в раме (рис. 14.16, а).

Относительные жёсткости стержней рамы одинаковы, так как для всех стержней, кроме консоли, i = EI/6. Консоль является статически определимой частью расчётной схемы, поэтому величина её жёсткости не имеет значения при расчёте методом перемещений.

Решение.

1. Степень кинематической неопределимости рамы в силу линейной неподвижности её узлов n_к + n_л =1 + 1 = 2.

В рассматриваемой раме поперечные силы в стойке могут быть определены непосредственно;

Q_B = ∑F^верх = 21 − 28 = − 7 кН; Q_A = ∑F^верх = 21 − 28 + 3,5∙6= 14 кН.

Поэтому горизонтальную дополнительную линейную связь при образовании основной системы можно не ставить (рис. 14.16, б)

2. Следовательно, каноническое уравнение метода перемещений будет единственным r₁₁Z₁ + R_1F = 0.

3. Деформированная схема основной системы от принудительного поворота дополнительной связи на угол, равный единице, и соответствующая ей эпюра , построенная по табл. прил.10, показаны на рис. 14.14, в.

При этом для ригелей рамы эпюра строится по классическим таблицам метода перемещений (см. прил. 10, п.п. 1 и 4), а для стойки – по таблице, учитывающей возможность смещения концов стержня относительно друг друга (см. прил. 10, п. 5). Стойка основной системы в данной задаче является статически определимым стержнем, поэтому при отсутствии её изгиба =0

4. Эпюра (рис. 14.16, г) в основной системе от действия внешней нагрузки также строится по двум типам таблиц: для загруженного правого ригеля рамы – по п. 3 прил.11, а для стойки – по п. 6 и 7 прил. 11. Для построения полной эпюры для стойки используется принцип независимости действия сил, и эпюру получают как сумму эпюр от двух загружений (рис. 14.16, д): от горизонтальной силы F = Q_B = − 7 кН (см. п. 6 прил. 11, при v =1) и действующей на стержень равномерно распределённой нагрузки q = 3,5 кН/м (см. п.7 прил.11).

5. Реакции в дополнительной связи в обоих расчётных состояниях, определённые из условий равновесия дополнительной связи (рис. 14.14, е) равны: r₁₁ = 7i (кН·м/рад), R_1F = − 84 (кН·м).

6. Каноническое уравнение в численном виде

7iZ₁ − 84 = 0,

откуда Z₁ = 84/7i = 12/i (рад).

7. Эпюра изгибающих моментов в заданной схеме рамы будет получена как . Слагаемые приведённой формулы и результат сложения приведены на рис. 14.17. а.

8. Проверка равновесия жёсткого узла по полученной эпюре M_F показана на рис. 14.17, б.

14.3.2. Учёт симметрии

При расчёте симметричных рам методом перемещений используются те же приёмы, что и при расчёте методом сил, а именно, способ группировки неизвестных и способ разложения нагрузки.

При группировке неизвестных перемещения симметрично расположенных узлов основной системы можно представлять в виде суммы (Z_i + Z_k) и разности (Z_i − Z_k) так, чтобы эпюры и от принудительного единичного смещения дополнительных связей были симметричными и кососимметричными. Тогда побочные коэффициенты системы канонических уравнений, определяемые по этим эпюрам изгибающих моментов r_ik = r_ki = 0.

Неудобство этого способа состоит в необходимости определять групповые реакции в связях, а для стержней, пересекающих оси симметрии – строить суммарные эпюры изгибающих моментов от симметричных или кососимметричных смещений дополнительных связей.

Способ разложения нагрузки более нагляден.

Например, симметричная рама, изображённая на рис. 14.18, а, имеет шесть угловых и два линейных смещения (n_к = 8, рис. 14.18, б). При симметричном загружении на основании свойства 1 (см. подразд. 13.5) мы можем рассмотреть только половину схемы, в которой степень кинематической неопределимости будет n_к = 2. Для той же рамы, но загруженной кососимметричной нагрузкой (рис. 14.19, а), при представлении её на основании свойства 2 в виде половины расчётной схемы степень кинематической неопределимости будет n_к = 6 (рис. 14.19, б). Общее количество неизвестных метода перемещений при симметричном и кососимметричных загружениях равно полной степени кинематической неопределимости.

Ещё большее сокращение количества неизвестных можно получить в одноролётных рамах любой этажности.

В качестве примера рассмотрим симметричную двухэтажную однопролётную раму (рис. 14.20, а). Степень кинематической неопределимости данной рамы n_к = 6 (рис. 14.20, б).

После разложения нагрузки 2F на основании свойств симметрии имеем:

• при симметричном загружении Z₃ = −Z₁; Z₄ = −Z₂; Z₅ = Z₆ = 0;

• при кососимметричном загружении Z₃ = Z₁; Z₄ = Z₂; Z₅ ≠ 0; Z₆ ≠ 0.

Таким образом, система канонических уравнений шестого порядка распалась на две подсистемы, второго порядка при симметричном и четвёртого порядка при кососимметричном загружениях.

При рассмотрении того же симметричного загружения на половине расчётной схемы (рис. 14.21, а) мы также получим систему из двух уравнений, так как для стержней АC и BD можно использовать таблицы метода перемещений, учитывающие линейную подвижность одного конца стержня относительно другого (см. прил. 10, п.п. 6,6 и прил.11, п.п. 5 – 8), основная система метода перемещений будет получена введением двух дополнительных угловых связей (рис. 14.21, б).

При рассмотрении кососимметричного загружения на половине расчётной схемы (рис.14.22. а) количество неизвестных по сравнению с рис.14.20 снижается вдвое, так как в стержнях АB и CD поперечные силы могут быть определены из уравнений равновесия, и, следовательно, можно применить основную систему без постановки линейных связей (рис. 14.22, б).

14.4. Понятие о расчёте пространственных рам

При расчёте пространственных рам методом перемещений за неизвестные принимаются, также как и для плоских рам, угловые перемещения жёстких узлов и независимые линейные перемещения всех узлов рамы.

Так как в пространственной системе каждый жёсткий узел может иметь повороты в трёх взаимно перпендикулярных плоскостях, степень кинематической неопределимости в этом случае будет определяться по формуле:

n_к =3 n_у + n_л, (14.7)

где n_у – число жёстких узлов расчётной схемы, способных к повороту при её деформации; n_л – степень линейной подвижности всех узлов схемы, определяемая как степень свободы шарнирного механизма, получаемого из заданной схемы рамы путём введения во все её узлы сквозных шарниров:

n_л =W = 3У – (С_ф + С_оп). (14.8)

Для получения основной системы во все жёсткие узлы рамы необходимо ввести пространственные “плавающие” защемления, препятствующие повороту узлов относительно трёх координатных осей, и линейные связи, не допускающие линейных перемещений узлов. В общем случае в “плавающих” защемлениях возможно возникновение трёх реактивных моментов, а в линейных связях – линейных реактивных сил.

Например, для рамы, изображённой на рис. 14.23, а, степень кинематической не определимости n_к = n_у + n_л = 3∙4 + 4 = 16. Основная система для этой рамы представлена на рис. 14.23, б.

Канонические уравнения метода перемещения имеют тот же вид, что и для плоских рам.

Для определения коэффициентов при неизвестных и свободных членов канонических уравнений строятся эпюры изгибающих моментов от единичных принудительных смещений дополнительных связей и действия внешней нагрузки. Построение эпюр изгибающих моментов осуществляется на основе таблиц реакций (см. прил. 10 и 11), показанных при расчёте плоских рам.

При принудительном повороте дополнительных угловых связей в некоторых стержнях основной системы необходимо учитывать их кручение. Значения крутящих моментов от единичном повороте угловой связи определяются на основании (9.12) при φ =1

, (14.9)

где i – относительная жесткость относительно какой-либо оси поперечного сечения стержня, выбранная в качестве общего множителя при расчёте; EI – изгибная жёсткость стержня относительно той же оси (i = EI/l).

Для показанной на рис. 14.23, а рамы эпюра от внешней нагрузки показана на рис. 14.24, а деформированные состояния основной системы и соответствующие им эпюры моментов , и от двух единичных поворотов во взаимно перпендикулярных плоскостях и одного линейного смещения соответственно на рис. 14.25.

Значения реакций в дополнительных связях определяются на основании уравнений равновесия (2.36) и (2.38) для вырезанной угловой связи или части основной системы.

Эпюры изгибающих моментов в заданной расчётной схеме после определения неизвестных метода перемещений определяются на основании принципа независимости действия сил

;

; (14.10)

.

Эпюры поперечных и продольных сил строятся также, как и при расчёте пространственных рам методом сил. На отдельных этапах расчёта выполняются те же проверки, что и при расчёте плоских рам. Основными и достаточными являются деформационная и статические проверки расчёта.

Пример 14.6. Построить эпюры усилий для пространственной рамы, изображённой на рис. 14.26, а при GI_к/EI = 0,5 и I_z = I_y = I. Действующая нагрузка: F = 106 кН, q = 29 кН/м.

Относительные жёсткости стержней рамы:

• стержни АВ и ВЕ i₁ = EI/4 = i;

• стержень BD i₂ = 2EI/4 = 2i;

• стержень BC i₃ = 4EI/4 = 4i.

Решение.

1. Степень кинематической неопределимости n_к = 3, так как узел B не имеет линейных смещений. Основная система метода перемещений показана на рис. 14.26, б.

При заданной нагрузке, действующей в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, угол поворота в третьей плоскости, перпендикулярной плоскостям действия нагрузки Z₃ = 0.

2. Следовательно, канонические уравнения метода перемещений будут иметь вид r₁₁Z₁ + r₁₂Z₂ + R_1F = 0;

r₂₁Z₁ + r₂₂Z₂ + R_2F = 0.

Так как перемещения Z₁ и Z₂ возможны в двух взаимно перпендикулярных плоскостях и независимы друг от друга, в приведённых уравнениях коэффициенты r₁₂ = r₂₁ = 0, и уравнения примут вид

r₁₁Z₁ + R_1F = 0;

r₂₂Z₂ + R_2F = 0.

3. Деформированные схемы основной системы от принудительных поворотов дополнительных связей на угол, равный единице, и соответствующие ей эпюры и , построенные по таблицам прил.10, показаны на рис. 14.27, а и б.

4. Эпюра в основной системе от действия внешней нагрузки, построенная по табл. прил. 11, показана на рис. 14.28.

5. Реакции в дополнительной связи во всех расчётных состояниях определены следующим образом:

• по рис. 14, 29, а

∑M_z = 0; r₁₁ − 4i − 4i − 6i− 0,5i = 0, r₁₁ = 14,5i (кН·м/рад);

• по рис. 14, 29, б

∑M_y = 0; r₂₂ − 4i −16i − 6i−0,5i = 0, r₂₂ = 26,5i (кН·м/рад);

• по рис. 14, 29, в

∑M_z = 0; R_1F + 58 = 0, R_1F = − 58 (кН·м);

∑M_y = 0; R_2F + 53 = 0, R_2F = − 53 (кН·м).

6. Канонические уравнения в численном виде

14,5iZ₁ − 58 = 0,

26,5iZ₂ − 53 = 0,

откуда Z₁ = 58/14,5i = 4/i (рад); Z₂ = 53/26,5i = 2/i (рад).

7. Эпюра изгибающих моментов в заданной схеме рамы будет получена как . Слагаемые приведённой формулы показаны на рис. 14.26, и 14.30, а, б. Результат сложения – эпюра M_F, для наглядности, представлена в виде суммы трёх эпюр M_yF, M_zF и M_xF = M_к (рис. 14.30, в, г и д) в общей системе координат XYZ.

8. Проверка равновесия жёсткого узла по полученной эпюре M_F показана на рис. 14.30, е.

9. Эпюры Q_F и N_F приведены на рис. 14.30, ж и з.

0. 14.5. Принципы определения перемещений в статически неопределимых системах

Перемещения в статически определимых системах как от действия нагрузки, так и от начальных деформаций (теплового воздействия, неравномерной осадки опор и неточности изготовления стержней) можно определить по правилам определения перемещений, сформулированных в подразд. 12.4.

Например, для рамы, изображённой на рис. 14.31, а, необходимо определить вертикальное перемещение сечение k. Для определения искомого перемещения рама рассчитана от действия внешней нагрузки любым, наиболее удобным, методом (методом сил или методом перемещений), в результате чего получена эпюра M_F. Затем рассмотрено вспомогательное состояние (рис. 14.31, б) от действия единичной безразмерной силы, приложенной по направлению искомого перемещения.

Величина перемещения по формуле Максвелла−Мора

, (14.11)

где M_k – эпюра изгибающих моментов вспомогательного состояния.

Предположим, что эпюра M_k построена на основании метода сил при основной системе, показанной на рис.14.31, в. Очевидно, что она получена на основании принципа независимости действия сил как

, (14.12)

где – эпюра от единичной силы вспомогательного состояния в статически определимой основной системе.

Подставив (14.12) в (14.11) и сделав необходимые преобразования, получим

= + + +

+ + .

В полученном выражении первые четыре интеграла должны равняться нулю на основании кинематического смысла, так как они выражают перемещения в заданной расчётной схеме от внешней нагрузки по направлениям, исключающим эти перемещения (см. деформационную проверку расчёта статически неопределимых систем).

Следовательно,

= . (14.13)

Аналогично можно показать, что

= . (14.14)

Иными словами, для определения перемещений в статически неопределимых расчётных схемах одна из эпюр, входящих под знак интеграла Максвелла−Мора, может быть взята в любой статически определимой основной системе.

Использование формул (14.13) или (14.14) даёт существенные преимущества. Действительно, если для показанной выше рамы перемещение Δ_kF определять по выражению (14.11), необходимо произвести перемножение эпюр на шести участках, а при использовании (14.13) – только на одном. Поэтому при определении вспомогательного состояния необходимо выбрать такую основную систему метода сил, чтобы эпюра была как можно проще.

Показанный на примере изгибаемой расчётной схемы вывод формулы определения перемещений в статически неопределимых системах справедлив для любых расчётных схем как плоских, так и пространственных.

Контрольные вопросы

1. Что называется степенью кинематической неопределимости расчетной схемы?

2. Как определяется степень кинематической неопределимости плоской расчетной схемы?

3. Как получается основная система метода перемещений?

4. В чем отличие основной системы метода перемещений от основной системы метода сил?

5. Сформулируйте смысл канонических уравнений метода перемещений.

6. Как определяются реакции в дополнительных связях основной системы метода перемещений от смещения этих связей и от внешнего силового воздействия?

7. В чем состоит особенность построения эпюр изгибающих моментов в стержнях основной системы метода перемещений от смещения дополнительных связей и внешнего силового воздействия?

8. Каков порядок расчета балок и рам методом перемещений?

9. На каком этапе расчета методом перемещений учитывается влияние внешней узловой нагрузки?

10. Как производится проверка правильности расчета, произведенного на основе метода перемещений?

11. В каких случаях можно использовать основную систему метода перемещений без постановки линейных дополнительных связей?

12. Какие упрощения расчета возможны при расчете методом перемещений симметричных рам? В чем состоят эти упрощения?

13. Сформулируйте основные особенности расчета методом перемещений пространственных рам.

14. Как определяются перемещения в статически неопределимых расчетных схемах?

Глава 15 основы динамики сооружений

15.1. Общие положения

Динамика сооружений – часть строительной механики, рассматривающая вопросы расчёта сооружений на динамические нагрузки.

Динамические нагрузки в отличие от статических изменяются по величине, направлению или положению в относительно малые промежутки времени.

Различают следующие основные виды динамических нагрузок.

Вибрационная нагрузка – это нагрузка, значения которой изменяются периодически по определённому закону. Она может быть как прерывной, так и непрерывной.

Ударная нагрузка (удар в определённом месте сооружения) характерна резким изменением скорости ударяемого тела в короткий отрезок времени.

Подвижная нагрузка – нагрузка, положение которой на сооружении меняется с достаточно большой скоростью.

Кратковременные нагрузки (импульсы) характеризуются практически мгновенным действием.

Сейсмические нагрузки – результат беспорядочного движения почвы, толчков и ударов при землетрясениях.

Вызываемые такими нагрузками перемещения и деформации как самого сооружения, так и его элементов также будут изменяться во времени, т.е. совершать движения.

В широком смысле динамика является учением о движении твёрдых тел в зависимости от сил, к ним приложенных. В основе динамики лежат три основные закона, сформулированные И.Ньютоном (1686 г.)

Первый закон (закон инерции). Если на материальную точку не действуют никакие силы, то она находится в покое, либо совершает равномерное прямолинейное движение.

Свойство тела сохранять своё механическое состояние называют инерцией. Отсюда и название этого закона.

Второй закон (закон зависимости между силой и ускорением). Сила, приложенная к материальной точке массой m, сообщает ей ускорение, имеющее направление силы и величину, пропорциональную величине силы.

F = mÿ(t), (15.1)

Равенство (15.1) в силу его важности называют основным уравнением динамики. Из этого уравнения видно, что для сообщения одного и того же ускорения точке большей массы необходима большая сила. Следовательно, масса точки есть мера её противодействия изменению скорости, или, иначе, мера инерции.

Третий закон (закон равенства действия и противодействия). Всякое действие вызывает равное и противоположно направленное противодействие. Из статики (см. подразд. 2.1) нам уже известен этот закон как аксиома 5.

Любое сооружение можно рассматривать как совокупность материальных точек, т.е. как материальную систему. Для любой материальной системы, как было показано в подразд. 8.2, всегда можно найти центр тяжести с координатами x_C, y_C, z_C, который одновременно является и центром инерции системы материальных точек.

Можно доказать, что центр инерции материальной системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все действующие на систему силы. Это положение называется законом движения центра инерции.

Этот закон позволяет во многих случаях заменить рассмотрение движения всей материальной системы движением её центра инерции.

На основании второго закона Ньютона (15.1) и закона движения центра инерции получают дифференциальные уравнения движения центра тяжести тела:

; ; . (15.2)

Итак, все точки материальной системы, каковой является расчётная схема, совершают движения, изменяющиеся во времени, т.е. характеризуются чередованием возрастания и убывания расстояний отдельных точек системы от их положения в некоторый зафиксированный момент времени, а именно при отсутствии динамических нагрузок. Такие движения в технике называют колебаниями.

Различают следующие виды колебаний.

Свободные колебания – это колебания системы, выведенной из начального равновесного состояния каким- либо начальным возмущением.

Вынужденные колебания – это колебания, вызванные внешней возмущающей силой и поддерживаемые ею в течение определённого отрезка времени.

Для получения уравнений движения масс в динамике сооружений применяются три основных метода.

Первый метод использует непосредственно дифференциальные уравнения движения (15.2), составленные для каждой массы системы. Все массы системы при этом предполагаются освобождёнными от наложенных на них связей, действия которых на массы заменяются реакциями этих связей.

Второй метод называется методом кинетостатики и основан на использовании принципа Ж.Л.Даламбера.

Покажем сущность этого принципа применительно к материальной точке. Выражение (15.1) запишем в виде

F − mÿ(t)= 0 или F + [− mÿ(t)]= 0. (15.3)

Обозначим J = − mÿ(t). (15.4)

Подставив (15.4) в 15.3), получим

F + J= 0. (15.5)

В выражении (15.5) F представляет собой равнодействующую всех сил. действующих на материальную точку, а силу J называют силой инерции.

Сила инерции по модулю равна mÿ(t) и направлена в сторону, противоположную ускорению ÿ(t).

Выражение (15.5) представляет собой принцип Даламбера для материальной точки: при движении материальной точки в каждый момент времени действующие на неё активные силы, реакции наложенных на неё связей и силы инерции уравновешивают друг друга.

Принцип Даламбера легко распространить на систему материальных точек, т.е. на материальное тело и систему материальных тел.

Таким образом, согласно принципу Даламбера уравнение движения можно рассматривать как уравнение равновесия, что позволяет задачу динамики для каждого момента времени по форме решения свести к статической задаче.

Третий метод называется энергетическим. Он основан на законе сохранения механической энергии,

В связи с ограниченностью материала, приводимого в данном издании, мы будем использовать только второй метод.

Поскольку в основе динамического расчёта сооружений лежит учёт инерционных сил, необходимо знать расположение масс в рассматриваемом сооружении. С этой точки зрения в динамике сооружений два основных типа расчётных схем: системы с распределённой массой и системы с сосредоточенными массами.

В расчётных схемах с распределёнными массами наряду с геометрическими характеристиками элементов необходимо знать законы распределения масс по длинам элементов.

В расчётных схемах с сосредоточенными массами каждый элемент рассматривается как невесомый стержень с заданными геометрическими характеристиками и заданным точечным расположением масс.

Основным понятием динамики сооружений является степень свободы масс W_m, под которым понимается число независимых геометрических параметров, определяющих положение масс в любой момент времени

В случае расчётной схемы с распределёнными массами мы имеем бесконечное число степеней свободы масс. В расчётных схемах с сосредоточенными массами необходимо определить число их степеней свободы в начале динамического расчёта.

В плоских стержневых расчётных схемах, рассматриваемых в настоящей главе, при определении степени свободы сосредоточенных масс вводятся следующие допущения:

1. Сосредоточенная масса считается точечной, т.е. имеет на плоскости две степени свободы, определяемые двумя линейными перемещениями; углом поворота сосредоточенной массы на плоскости пренебрегают.

2. Как и ранее пренебрегают продольными деформациями в изгибаемых стержнях и изменением их длины за счёт искривления при изгибе.

Так для невесомой балки с одной сосредоточенной массой (рис. 15.1, а) степень свободы W_m =1, так как положение массы определяется одним перемещением y₁.

Для консольной балки с осью ломаного очертания (рис. 15.1, б) и двумя сосредоточенными массами m₁ и m₂ степень свободы равна трём, так как масса m₁ имеет два линейных смещения, а масса m₂ – только одно, горизонтальное.

В консольной ферме (рис. 15.1, в) одна сосредоточенная масса за счёт продольных деформаций стержней фермы имеет две степени свободы.

Для упрощения подсчёта степеней свободы сосредоточенных масс расчётной схемы удобно использовать следующий приём. По направлению возможных перемещений сосредоточенных масс мысленно устанавливают линейные связи, препятствующие движению этих масс. Наименьшее число линейных связей, позволяющее закрепить все сосредоточенные массы расчётной схемы, и будет определять число степеней свободы.

Так, для рамы, изображённой на рис. 15.1, г, для закрепления пяти сосредоточенных масс от возможных смещений необходимо поставить четыре линейных связи. Следовательно, степень свободы масс данной расчётной схемы

W_m= 4.

При выборе динамической расчётной схемы, а именно, при определении числа степеней свободы масс, необходимых для достоверного расчёта, необходим анализ исходной информации о рассматриваемом сооружении.

Например, для сооружения башенного типа (рис. 15.2, а) часто достаточно представить расчётную схему в виде консольного стержня с точечной массой, сосредоточенной на его конце. Из анализа динамического поведения многоэтажного здания башенного типа с учётом того, что суммарная масса перекрытий и покрытия намного превосходит массу стен, можно использовать расчётную схему консольного стержня с сосредоточенными массами в уровне перекрытий здания (рис. 15.2, б).

Как правило, в большинстве инженерных расчётов действительная распределённая масса сооружения приводится к точечным.

15.2. Колебания упругих систем с одной степенью свободы

15.2.1. Свободные колебания

Рассмотрим невесомый консольный стержень с точечной массой, расположенной на конце этого стержня (рис. 15.3, а). При свободных колебаниях на массу m, отклонившуюся от первоначального положения на величину y(t), в любой момент времени будут действовать восстанавливающая сила R, сила неупругого сопротивления (диссипативная) S и сила инерции J (рис. 15.3, б).

Восстанавливающая сил R – это сила упругого сопротивления, которой рассматриваемый стержень действует на массу, стремясь вернуть её в исходное положение. В упругой системе восстанавливающая сила прямо пропорциональна отклонению массы y(t) и определяется выражением

R = r₁₁ y(t), (15.6)

где r₁₁ – коэффициент пропорциональности или коэффициент жёсткости конструкции, зависящий от её упругих свойств. Коэффициент жёсткости – сила, которую необходимо приложить к конструкции по направлению колебания массы, чтобы вызвать её перемещение, равное единице. Коэффициент жёсткости есть величина, обратная податливости δ₁₁ (рис. 15.3, в)

r₁₁ = 1/ δ₁₁. (15.7)

Диссипативная сила S – сила, учитывающая неупругие сопротивления движению массы:

• силы внутреннего трения, возникающие из-за вязкости или неполной упругости материала конструкции;

• силы трения в местах соединения элементов конструкции и на опорах;

• силы сопротивления окружающей среды, в которой происходят колебания.

Точный учёт всех перечисленных факторов ввиду их разнообразия и неопределённости не представляется возможным. Поэтому для их учёта приняты различные гипотезы, из которых наиболее распространена гипотеза Кельвина-Фойгта. По этой гипотезе, называемой гипотезой вязкого трения, диссипативная сила принимается пропорциональной скорости колебаний

S = β (t), (15.8)

где β – коэффициент пропорциональности или коэффициент сопротивления – величина, определяемая экспериментально и характеризующая силу вязкого трения при скорости (t) =1.

Выделим массу со всеми действующими на неё силами и составим уравнение равновесия (сумму проекций на ось, параллельную движению массы). В результате получим

R + S − J = 0. (15.9)

Подставив в (15.8) выражения (15.4), (15.6) и (15.7), получим

.

Разделив данное выражение на m и введя обозначения

2k = β/m и ω² = r₁₁/m, (15.10)

получим

. (15.11)

Выражение (15.11) называется дифференциальным уравнением движения точечной массы при свободных колебаниях.

С в о б о д н ы е н е з а т у х а ю щ и е к о л е б а н и я

Для большого числа инженерных расчётов силами неупругого сопротивления пренебрегают. Тогда в выражении (15.11) величина 2k = 0 и само дифференциальное уравнение движения принимает вид

. (15.12)

Решение однородного дифференциального уравнения (15.12) известно из курса высшей математики и имеет вид

. (15.13)

Скорость колебаний массы m определяется первой производной по времени от полученного уравнения движения (15.13)

. (15.14)

Произвольные постоянные A и B определим из начальных условий, в качестве которых примем: при ( v₀ – начальная скорость колебаний). Подставив принятые начальные условия в (15.13) и (15.14), получим A = 0, B = v₀/ω, а уравнение движения (15.13) примет вид

. (15.15)

Из (15.15) следует, что при отсутствии диссипативных сил масса m будет совершать простые гармонические незатухающие колебания. График этой функции показан на рис. 15.4. Из графика видно, что наибольшие отклонения массы от первоначального положения равны постоянной величине a = ν₀/ω, называемой амплитудой колебаний. Удвоенная амплитуда называется размахом колебаний.

Время T в секундах, за которое масса совершает полный цикл колебаний, называется периодом колебаний. Из графика видно, что

T = 2π/ω. (15.16)

Число полных колебаний в единицу времени называется частотой колебаний. Из (15.16) получаем ω=2π/T (c^-1) – число колебаний за время 2π секунд. Поэтому величина называется круговой частотой колебаний.

Круговая частота на основании обозначения (15.10) с учётом (15.7) может быть определена по формуле

. (15.17)

Число колебаний в одну секунду измеряется в Гц (герцах) и может быть выражена через круговую частоту или период колебаний:

. (15.18)

В инженерной практике нередко используется техническая частота колебаний – число колебаний в минуту. Она также может быть выражена через круговую частоту или период колебаний:

. (15.19)

Выражения (15.16) – (15.19) называются параметрами колебаний, основными из которых являются круговая частота и период колебаний.

С в о б о д н ы е з а т у х а ю щ и е к о л е б а н и я

График, приведённый на рис.15.4, показывает, что невесомый стержень с одной массой, начав колебаться, будет продолжать эти колебания неограниченное время без воздействия каких-либо сил. В действительности этого не происходит. Любая упругая система, выведенная из начального состояния равновесия, поколебавшись, останавливается. Причиной этого является действия сил сопротивления S.

Если при рассмотрении свободных колебаний принять те же начальные условия, т.е. при , то дифференциальное уравнение движения (15.11) точечной массы, учитывающее влияние сил сопротивления будет иметь следующее решение

. (15.20)

График функции (15.20) показан на рис. 15.5.

Здесь:

− начальная амплитуда колебаний a₀= v₀/ω₁;

− круговая частота при учёте затухания

. (15.21)

Согласно формуле (15.20) теоретически полное затухание наступит при t → ∞, что противоречит действительности. Это противоречие свидетельствует об одном из недостатков принятой гипотезы вязкого трения.

С целью оценки скорости затухания колебаний рассматриваются две соседние амплитуды по графику (15.5) и вычисляется их отношение

.

В качестве меры затухания колебаний берётся не само отношение соседних амплитуд, а его натуральный логарифм, т.е.

. (15.22)

Эта величина, характеризующая скорость затухания, называется логарифмическим декрементом затухания, а величина k = 0,5 β/m – коэффициентом затухания. Величина декремента является постоянной, не зависящей от времени. Она учитывает характеристики конструкции и окружающей среды. Так как этих характеристик достаточно много, то коэффициент затухания k определяется экспериментально, путём замеров амплитуд колебаний специальными приборами.

В справочной литературе для оценки затухания приводятся значения коэффициентов поглощения ψ= 2 kT. Значения этих коэффициентов для разных материалов и различных амплитуд инерционных сил приведены в табл. 15.1.

Таблица 15.1

Значения коэффициентов поглощения ψ

Значения коэффициента затухания k для большинства строительных конструкций, колебания которых происходят в окружении воздушной среды, не очень велики, поэтому чаще всего (особенно в инженерных расчётах) частоты свободных колебаний определяются без учёта диссипативных сил, т.е. ω₁ ≈ ω.

При затухающих колебаниях их период на основании (15.16) T = 2π/ω₁, поэтому логарифмический декремент затуханий

,

откуда, пренебрегая γ² как величиной второго порядка малости, получим

.

Пример 15.1. Определить круговую и техническую частоты, а также период колебаний системы с одной степенью свободы, показанной на рис. 15.6, а. Жёсткость стержней EI = 5400 кН·м², величины массы m = 0,25 т.

Решение.

1. Масса m может совершать только вертикальные колебания. Вспомогательное состояние расчётной схемы для определения податливости по направлению колебания массы показано на рис. 15.6, б, соответствующая ему эпюра изгибающих моментов M₁ – на рис. 15.6, в.

2. Податливость

(м/кН).

3. Круговая частота свободных колебаний по формуле (15.17)

= 200 с^-1.

4. Период колебаний T = 2π/ω = 2π/200 = 0,031 с.

5. Техническая частота n = 60/T = 60/0,031= 1909, 9 кол/мин.

Пример 15.2. Определить круговую частоту и период свободных колебаний сосредоточенного груза массой m = 3 т, расположенного на конце консоли статически неопределимой рамы (рис.15.7, а). Жёсткость стержней рамы постоянна и равна EI = 12600 кН·м².

Решение.

1. Степень свободы сосредоточенной массы W_m = 1, так как при принятых допущениях она может совершать колебания только по вертикали.

2. Вспомогательное состояние для определения податливости рамы по направлению колебания массы показано на рис. 15.7, б.

3. Выбираем метод решения для определения усилий в представленном вспомогательном состоянии.

Степень статической неопределимости рамы n_c = 3К – Ш = 3·1 – 1 =2.

Степень кинематической неопределимости n_к = n_у – n_л = 1 – 0 = 1.

Так как n_к < n_c , то расчёт производим методом перемещений.

4. Каноническое уравнение метода перемещений r₁₁Z₁ + r_1F = 0. Основная система метода и эпюра изгибающих моментов грузового состояния показаны на рис. 15.7, в.

Относительные жёсткости стержней рамы:

ригеля i₁ = EI/4 = i; стойки i₂ = EI/3 = 4i/3.

5. Деформированная схема основной системы от принудительного поворота дополнительной связи на единичный угол и соответствующая ей эпюра изгибающих моментов показаны на рис. 15, 7, г.

6. Реакции в дополнительной связи, определённые по эпюрам и , равны r₁₁ = 8i (м/рад) и r_1F = 2 (м). Тогда неизвестное канонического уравнения Z₁= −r_1F/r₁₁= − 0,25/i (рад).

7. Эпюра изгибающих моментов вспомогательного состояния (рис. 15.7, б) показана на рис. 15.7, д.

8. Для определения податливости по направлению колебания массы на основании положений § 14.5 выберем статически определимую основную систему и в ней построим вспомогательную эпюру изгибающих моментов (рис. 15.7, е) от действия единичной силы, приложенной по направлению колебания массы.

Тогда (м/кН).

9. Круговая частота свободных колебаний по формуле (15.17)

= 30 с^-1.

10. Период колебаний T = 2π/ω = 2π/30 = 0,209 с.

Пример 15.3. Определить круговую частоту свободных колебаний массы m, расположенной в крайнем правом узле консольной статически неопределимой фермы (рис. 15.8, а). Продольная жёсткость стержней фермы EA постоянна.

Решение.

1. Степень свободы массы m W_m =1, так как узел, в котором она расположена, закреплён горизонтальной линейной связью. Поэтому масса m может совершать только вертикальные колебания.

2. Вспомогательное состояние фермы при действии единичной силы, приложенной по направлению колебания массы, показано на рис. 15.8, б.

3. Степень статической неопределимости фермы

n_c = C – 2У = (6 + 5) - 2·5 = 1.

4. Каноническое уравнение метода сил .

(коэффициент при неизвестном и свободный член канонического уравнения отмечены чертами сверху, чтобы отличить эти величины от значений податливостей, используемых при динамических расчётах).

5. Основная система, принятая для расчёта, показана на рис. 15.8, в.

6. Расчётные эпюры и вспомогательного и грузового состояний основной системы метода сил показаны на рис. 15.9, а и б соответственно.

7. Коэффициент при неизвестном и свободный член канонического уравнения вычисляем по формуле Максвелла – Мора.

(м/кН);

(м/кН).

8. Решаем каноническое уравнение , находим усилия от действия X₁ (рис. 15.9, в) и строим эпюру продольных сил (рис. 15.9, г).

9. Определяем податливость по направлению колебания массы, используя упрощения при определении перемещений в статически неопределимых системах (см. подразд. 14.5).

(м/кН).

10. Круговая частота свободных колебаний по формуле (15.17)

( с^-1).

15.2.2. Вынужденные колебания при действии вибрационной нагрузки

Как было указано выше, вынужденными называются колебания, вызванные переменными во времени внешними воздействиями. Наиболее часто в инженерной практике приходится иметь дело с гармоническим воздействием внешней нагрузки

, (15.23)

где F – амплитудное значение возмущающей силы, кН;

θ – круговая частота изменения возмущающей силы.

К вертикальной составляющей вида (15.23) сводится, например, действие установленного на сооружении двигателя из-за неуравновешенности ротора, масса m которого имеет относительно оси вращения эксцентриситет e. Во время вращения ротора будет возникать центробежная сила инерции

J_ц = meθ²,

где θ – угловая скорость (число оборотов ротора в 2π секунд).

Вертикальная составляющая центробежной силы и будет представлять амплитудное значение возмущающей силы (15.23), т.е. F = J_ц.

Вибрационная нагрузка является опасной для строительных конструкций по следующим причинам:

1. Эффект действия вибрационной нагрузки зависит не только от её величины (амплитудного значения), но и от периода её изменения. Малая по величине нагрузка с одним периодом может привести к разрушению конструкции, в то время как нагрузка большей величины, но с другим периодом, может оказаться безопасной и близкой к статическому воздействию.

2. Действие вибрационной нагрузки достаточно сложно локализовать. Наибольший эффект от её действия может сказаться не там, где она приложена, а в удалённых местах и даже в других сооружениях. Причиной этого является особенность каждого материального тела, в том числе и грунтов, воспринимать, совершать и распределять колебания.

Кроме этого, вибрационная нагрузка при определённых параметрах может оказывать вредное воздействие на людей и на безупречную работу машин и механизмов, расположенных в сооружении.

В выражении (15.23) может быть представлена не только сосредоточенная сила F, но и распределённая нагрузка, момент. При действии нескольких видов вибрационных нагрузок с целью упрощения расчёта обычно принимается, что все они во времени изменяются по одному и тому же закону и отличаются лишь амплитудными значениями. Если же это допущение не выполняется, производится расчёт от каждого воздействия в отдельности, а затем на основании принципа независимости действия сил результаты суммируют для наиболее неблагоприятных моментов времени.

Рассмотрим действие на систему с одной степенью свободы сосредоточенной возмущающей силы в форме (5.23), приложенной по направлению колебания массы (рис. 15.10)

В этом случае динамическое уравнение равновесия (15.9) примет вид:

R + S − J −Fsinθt= 0.

Подставив в приведённое уравнение равновесия значения сил (15.4), (15.6), (15.7) и обозначения (15.10), получим

. (15.24)

Уравнение (15.24) является линейным, неоднородным и называется дифференциальным уравнением движения точечной массы при действии на неё вибрационной нагрузки.

Решение дифференциального уравнения (15.24) складывается из решения однородного дифференциального уравнения (15.11) в форме (15.20) и частного решения

. (15.25)

Произвольная постоянная C определяется при тех же начальных условиях, т.е. при , и имеет следующее значение

. (15.26)

Из под знака корня знаменателя (15.26) вынесем величину . Учтя, что на основании (15.17) , получим

.

В полученном выражении величина δ₁₁F = Δ_1F есть перемещение массы от статического действия амплитудного значения возмущающей силы, и данное выражение можно переписать в виде C = μ Δ_1F, и уравнение движения точечной массы (15.25) примет вид

. (15.27)

Первый член полученного уравнения выражает свободные затухающие колебания, а второй – вынужденные. Как было показано выше, свободные колебания быстро затухают благодаря диссипативным силам, и тогда устанавливаются вынужденные колебания с частотой θ.

Во второй член уравнения (15.27) входят следующие величины: ε – сдвиг фазы вынужденных колебаний по отношению к колебаниям возмущающей силы, характеризующий величину опережения

,

μ – динамический коэффициент гармонической нагрузки, показывающий, во сколько раз динамическое действие превышает статическое действие её амплитудного значения, а именно y_дин = μ Δ_1F.

В силу принятых в § 4.3 гипотез и допущений соотношение между результатами динамического расчёта и результатами от статического действия амплитудного значения нагрузки справедливо для любых расчётных величин, т.е. M_дин = μ M_F; Q_дин = μ Q_F; N_дин = μ N_F; σ_дин = μ σ_F и т.д.

Поскольку в инженерных расчётах обычно принимают, что ω₁ ≈ ω, выражение для динамического коэффициента записывают в виде:

либо . (15.28)

Как видно из выражений (15.28) значение динамического коэффициента зависит от соотношения частот θ/ω. На рис.15.11 приведён график зависимости динамического коэффициента от соотношения при разных значениях декремента затухания. Этот график показывает, что диссипативные силы значительно влияют на величину динамического коэффициента в зоне резонанса, т.е. при θ = ω или близких к этому соотношениях.

При совпадении частот (θ = ω) из формул (15.28) получается, что

. (15.29)

Наибольшее значение динамический коэффициент достигает при

, тогда . (15.30)

Однако разница между результатами по формулам (15.29) и (15.30) очень мала.

Из (15.29) видно, что при резонансе амплитуда вынужденных колебаний обратно пропорциональна логарифмическому декременту затухания. Сдвиг фазы колебаний по отношению к возмущающей силе составляет при этом ε = − 0,5π , т.е. 0,25 периода.

Так как проектирование строительных конструкций при установившихся колебаниях не допускает резонанса, то в первом приближении их динамический расчёт проводят без учёта диссипативных сил, те. при k = 0.

Тогда формула (15.28) примет вид

. (15.31)

График динамического коэффициента, вычисляемого по формуле (15.31), показан на рис. 15.12.

Однако эта формула оказывается недостаточно точной в области , близкой к резонансу, в которой особенно велико влияние затухания. При равенстве частот θ = ω формула (15.31) приводит к значениям μ= ± ∞, которые в действительности не могут быть достигнуты.

При θ > ω величина μ по формуле (15.31) становится (пунктирная линия на рис. 15.8) отрицательной. Это означает, что колебания возмущающей силы и самой массы происходят в противоположных направлениях.

Так как при резонансе происходит резкое увеличение перемещений и усилий в элементах конструкции, во избежании этого при проектировании необходимо обеспечить, чтобы частоты свободных и вынужденных колебаний отличались друг от друга на 25 – 30 %.

Пример 15.4. Произвести проверку прочности наиболее опасного сечения и определить максимальный прогиб в балке (рис. 15.13) при работе электродвигателя массой m = 3 т, совершающего 500 об/мин. Масса неуравновешенных частей двигателя m₁ = 0,146 т, их эксцентриситет относительно оси вращения e = 0,0228 м. Балка изготовлена из стали марки С245 (R_y = 245 МПа). Сечение балки – двутавр № 30 (I_z = 7080 см⁴, W_z = 472 см³), γ_с = 1.

Решение.

1. Жёсткость балки при изгибе EI = 2,06·10⁸·7080·10^-8 = 14 585 кН·м².

2. Круговая частота вынужденных колебаний

θ = nπ/30 = 500π/30 = 52,36 с^-1.

3. Амплитуда возмущающей силы

F = m₁eθ² = 0,146·0,0228·52,36² =10 кН.

4. Вес электродвигателя G = mg = 3,5·9,81 = 34,335 кН.

5. Податливость балки по направлению колебания массы и наибольший изгибающий момент в среднем сечении (рис. 10.7)

= 9,14·10^-5 м/кН; м.

6. Круговая частота свободных колебаний (15.17)

= 55,9 с^-1.

7. Соотношение частот

θ/ω = 52,36/55,9 = 0,9367; (θ/ω)² = 0,8773.

8. Динамический коэффициент (15.31) μ = 1/(1− 0,8773) = 8,15.

9. Прогибы балки в середине пролёта

• от веса двигателя Δ_1G = δ₁₁G = 9,14·10^-5·34,335 = 312,45·10^-5 м;

• статический от амплитуды возмущающей силы

Δ_1F = δ₁₁F = 9,14·10^-5·10 = 93,77·10^-5 м;

• динамический прогиб y_дин = μ·Δ_1F = 8,15·91,4·10^-5 = 744,9·10^-5 м;

• полный прогиб

f = Δ_1G + y_дин = (312,45+744,9)10^-5 = 1057,35·10^-5 м = 10,57 мм. 

10. Наибольший изгибающий момент в балке на основании принципа независимости действия сил

M_max = M_G + M_дин = M_G + μM_F=M₁G + μM₁F= M₁(G + μF) =

= 1(34,335 +8,15·10) = 115,835 кНм.

11. Наибольшее нормальное напряжение в среднем сечении балки

σ_max = M_max /W_z= 115,835/472·10^-6 =

=0,2454·10⁶ кН/м² =245,4 МПа > γ_сR_y = 245 МПа.

Перенапряжение составляет 0,4·100/245 = 0,16 % <[1%], что вполне допустимо.

Пример 15.5. Двигатель весом G =28 кН установлен на консоли балки (рис.15.14, а). Число оборотов двигателя n = 300 об/мин. При вращении двигатель создаёт возмущающую силу F(t) = 7sinθt кН. Определить максимальный прогиб консоли и построить расчётную эпюру изгибающих моментов, если балка изготовлена из двутавра № 50 (I_z = 39727 см⁴).

Решение.

1. Жёсткость балки при изгибе EI = 2,06·10⁸·39727·10^-8 = 81837,6 кН·м².

2. Круговая частота вынужденных колебаний

θ = nπ/30 = 300π/30 = 31,4 с^-1.

3. Масса электродвигателя m = G/ g = 28/9,81 = 2.854 т.

4. Вспомогательное состояние для определения податливости балки по направлению колебания массы m и соответствующая ей эпюра изгибающих моментов M₁ показаны на рис.15.14, б.

5. Податливость балки по направлению колебания массы

=

= 13,396·10^-5 м/кН.

6. Круговая частота свободных колебаний (15.17)

= 51,14 с^-1.

7. Соотношение частот

θ/ω = 31,4/51,14 = 0,614; (θ/ω)² = 0,377.

8. Динамический коэффициент (15.31) μ = 1/(1− 0,377) = 1,605.

9. Прогибы консоли:

• от веса двигателя Δ_1G = δ₁₁G = 13,396·10^-5·28 = 375,09·10^-5 м;

• статический от амплитуды возмущающей силы

Δ_1F = δ₁₁F = 13,396·10^-5·7 = 93,77·10^-5 м;

• динамический прогиб y_дин = μ·Δ_1F = 1,605·93,77·10^-5 = 150,5·10^-5 м;

• полный прогиб

f = Δ_1G + y_дин = (375,09+150,5)10^-5 = 525,59·10^-5 м = 5,26 мм.

10. Расчётную эпюру изгибающих моментов строим на основании принципа независимости действия сил (рис. 15.14, в).

M_расч = M_G ± M_дин = M_G ± μM_F=M₁G ± μM₁F= M₁(G ± μF) = M₁(28 ± 11,235).

Поскольку динамическая эпюра изгибающих моментов M(t) = M_дин sinθt изменяется по тому же гармоническому закону, что и возмущающая сила, то на рис. 15,14, в показаны значения расчётной эпюры моментов для двух состояний M(t): при sinθt =1 (сплошная линия M_расч = 39,235 M₁) и при sinθt = −1 (пунктирная линия M_расч = 16,765 M₁).

15.2.3. Действие ударной нагрузки

При ударе происходит передача кинетической энергии ударяющего груза упругой системе, сопровождающаяся деформацией последней и возникновением равных между собой сил взаимодействия груза и упругой системы. Удар может быть продольным, когда ударяющий груз действует вдоль оси элемента расчётной схемы, и поперечным, если удар происходит перпендикулярно оси элемента.

Рассмотрим явление удара при следующих допущениях:

1. при ударе в элементе расчётной схемы возникают только упругие деформации;

2. удар считается неупругим, т.е. ударяющее тело не отскакивает после удара, а продолжает перемещаться вместе с ударяемым телом как одно целое;

Предположим, что груз весом G падает на невесомую балку с высоты h. Скорость падения груза, как известно из курса физики, равна , откуда h = v²/2g.

Действие ударяющего груза на балку выразим через эквивалентную силу P_экв. Очевидно, что тогда динамическое перемещение места удара будет y_дин = δ₁₁P_экв, где δ₁₁− податливость балки в направлении удара.

Выразив величину эквивалентной силы через динамическое перемещение, получим P_экв = y_дин / δ₁₁.

Величина полной работы падающего груза

Т_у = G(h + y_дин).

Полученная работа переходит в потенциальную энергию деформации ударяемой конструкции, величина которой

U = 0,5P_экв y_дин = 0,5 /δ₁₁.

Приравняв на основании (12.14) и (12.15) Т_у = U, получим

G(h + y_дин) = 0,5 /δ₁₁ или −2δ₁₁G y_дин−2δ₁₁Gh = 0,

где δ₁₁G = Δ_1G – статический прогиб места удара от статического действия груза G.

Решив полученное квадратное уравнение относительно y_дин, получим

. (15.32)

Выражение в скобках формулы (15.32) показывает, во сколько раз результат ударного (динамического) действия груза больше его статического действия, и, следовательно, является динамическим коэффициентом при ударе, т.е.

. (15.33)

Таким образом, Р_экв= μG, y_дин = μΔ_1G. Эти же соотношения между статическим и динамическим действием падающего груза в силу допущения о справедливости закона Гука в пределах упругости сохраняются для любых усилий, напряжений и перемещений в сечениях расчётной схемы.

Определив силу удара Р_экв, можно производить обычный статический расчёт любой расчётной схемы, считая Р_экв обычной статической нагрузкой.

Если в формуле (15.33) положить h = 0, т.е. нагрузку приложить сразу (случай внезапного приложения нагрузки), величина динамического коэффициента μ = 2. Это означает, что внезапно приложенная нагрузка вызывает вдвое большие деформации и напряжения, чем при статическом действии той же нагрузки.

При наличии на сооружении в месте удара сосредоточенной массы m при массе падающего груза m₁, статический прогиб от веса обеих масс будет уже равным

.

Подставляя в (15.33) Δ_пр вместо Δ_1G, получим

. (15.34)

Равномерно распределённая масса m (т/м) конструкции приводится к сосредоточенной в месте удара. В таблице 15.2 приведены значения массы m_пр, при приведении распределённой массы к месту удара С.

Таблица 15.2

Приведение равномерно распределённой массы к месту удара

Пример 15.6. Определить силу удара груза G₁ = 2 кН, падающего с высоты h = 0,2 м на железобетонную балку (рис. 15.15) пролётом l = 6,0 м. Балка изготовлена на бетоне класса В30 (E_b= 32,5·10³ МПа, I_z= 36·10^-4 м⁴). Собственный вес балки G = 20 кН.

Решение.

1. Масса падающего груза m₁ = G₁/g = 2/9,81= 0,204 т.

2. Масса балки, приведённая к месту удара (табл. 15. 2, п.1)

m_пр = 0,493G/g = 0.493·20/9.81 = 1.005 т.

3. Статический прогиб от действия падающего груза (рис. 10.7)

= 7,69·10^-5 м.

4. Соотношения масс m₁/(m₁ +m) = 0,204/(0,204+1,005) = 0,1687.

5. Значение динамического коэффициента (15.34)

= 30,64.

6. Эквивалентная сила удара P_экв= μG₁ = 30,64·2 =61,28 кН.

7. Если пренебречь собственной массой балки, то динамический коэффициент (15.33) и сила удара получаются по расчёту значительно большими:

= 73,13; P_экв= 73,13·2 =146,26 кН.

Таким образом, сила удара груза, даже при падении с небольшой высоты, оказывается значительно больше, чем вес самого груза. При этом, как видно из формул (15.33) и (15.34) сила удара увеличивается с увеличением жёсткости сооружения.

Пример 15.7. При забивке деревянной сваи d = 0,2 м, длиной l = 6,5 м (рис.15.16) молот копра весом G = 1,6 кН падает с высоты. h = 0,6 м. Определить динамические напряжения в сечениях сваи, условно принимая, что нижнее сечение не смещается. Модуль упругости для древесины вдоль волокон E = 0,1·10⁵ МПа.

Решение.

1. Площадь поперечного сечения сваи A = πr² = π·11² = 380,133 см².

2. Жёсткость сваи при сжатии EA = 0,1·10⁸·380,133·10^-4 = 380133 кН.

3. Величина продольного статического укорочения сваи

= 27,36·10^-6 м.

4. Величина динамического коэффициента (15.33)

= 210,43.

5. Величина статического напряжения в свае

σ_G = G/A = 1,6/380,133·10^-4 = 42,09 кН/м².

6. Величина динамического напряжения

σ_дин = μσ_G = 210,43·42,09 = 8857 кН/м² = 8,857 МПа.

15.3. Колебания упругих систем с несколькими степенями свободы

15.3.1. Свободные колебания

Как отмечалось выше, реальные сооружения обладают распределённой массой и поэтому имеют бесконечное число степеней свободы. При проведении инженерных расчётов распределённые массы, как правило, приводятся к сосредоточенным. Число сосредоточенных масс и, следовательно, число степеней свободы зависит от вида конструкции и от требуемой степени точности расчёта.

Ниже будем рассматривать свободные и вынужденные колебания без учёта диссипативных сил и на основе ранее принятых допущений

Рассмотрим невесомую балку с n сосредоточенными массами (рис.15.17). При принятых допущениях данная система будет иметь n степеней свободы. Если балку вывести из состояния равновесия, она будет совершать свободные колебания. В процессе свободных незатухающих колебаний на массы будут действовать только силы инерции J(t), которые и определяют деформированный вид балки.

Тогда, применяя принцип независимости действия сил, перемещение любой массы m_k можно представить как сумму перемещений

y_k(t)=δ_k1J₁(t) + δ_k2J₂(t) + ... + δ_kkJ_k(t) + ... + δ_kjJ_j(t) + δ_knJ_n(t), (15.35)

где δ_kj – коэффициент податливости, т.е. перемещение k-той массы от действия единичной силы, приложенной в точке, где расположена j-тая масса. Выражения (15.35) составляются для каждой массы расчётной схемы при k = 1, 2, ……n.

Входящие в выражение (15.35) инерционные силы, как известно, определяются выражениями

J_j (t)= −m_jÿ_j(t) при j = 1, 2, ……n. (15.36)

Подставив (15.36) в (15.35) и перенеся все члены влево, получим

y_k1(t)+ δ_k1 m₁ÿ₁(t)+ δ_k2 m₂ÿ₂(t) + ...+ δ_kk m_kÿ_k(t)+ ... + δ_kn m_nÿ_n(t) = 0 (15.37)

При k = 1, 2, ……n выражения (15.37) представляют собой систему однородных дифференциальных уравнений, описывающих колебания расчётной схемы с n степенями свободы. Для такой системы возможны n частот свободных колебаний, которым будут соответствовать n возможных форм колебаний. Совокупность частот данной системы принято называть спектром частот. В пределах каждой из форм колебаний все точки будут колебаться с частотой ω.

В соответствии с этим для любой k-той массы её перемещение будет иметь вид:

y_k(t)=a_k sinωt, (15.38)

где a_k – амплитуда колебаний k-той массы.

Дважды продифференцируем по времени выражение (15.38):

ÿ_k(t)= −ω² a_k sinωt.

Подставим выражения перемещений масс y(t) и их вторые производные в систему уравнений (15.37). Нетрудно заметить, что каждое слагаемое в каждом из уравнений системы (15.37) содержит общий множитель sinωt, на который можно сократить все члены этой системы. После сокращения получим

a₁δ_k1 m₁ω²+ a₂δ_k2 m₂ω²+ ...+ a_k(δ_kk m_kω²−1)+ ... + a_nδ_kn m_nω² = 0,

или, разделив все члены на ω²,

a₁δ_k1 m₁+ a₂δ_k2 m₂+ ...+ a_k(δ_kk m_k− )+ ... + a_nδ_kn m_n = 0. (15.39)

Выражение (15.39) при k = 1, 2, ……n является системой линейных однородных уравнений относительно амплитуд a_k колебаний масс. В эту систему кроме n неизвестных амплитуд входит неизвестная величина 1/ ω².

Как видно из (15.39), что если массы системы колеблются с одной и той же общей для всех частотой ω, то форма колебаний, определяемая амплитудами масс, не зависит от времени, т.е. для каждого момента отношение перемещений масс к перемещению любой из них является величиной постоянной.

Такие колебания, при которых все точки системы с n степенями свободы колеблются с одинаковой частотой, а форма колебаний при этом не зависит от времени, называются главными колебаниями, а их формы колебаний – главными формами.

Известно, что однородные системы уравнений (без свободных членов) имеют два решения. Одно из них является тривиальным, когда все амплитуды a_k =0. Это решение не представляет интереса, так как представляет случай отсутствия колебаний. Отличные от нуля значения амплитуд возможны тогда, когда определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных системы уравнений (15.39) равен нулю, т.е.

(15.40)

Если определитель раскрыть, то получим алгебраическое уравнение n-ой степени относительно параметра 1/ ω². Уравнение в форме (15.40) или в развёрнутой форме носит название уравнения частот. Впервые оно было получено в астрономии, поэтому в литературе получило название векового уравнения.

Решив (15.40), найдём n значений частот свободных колебаний ω.

Для практических целей часто бывает достаточно определить низшую (наименьшую) частоту свободных колебаний, представляющую наибольшую опасность в смысле возникновения резонанса при действии вибрационной нагрузки. Это объясняется следующим. Во-первых, резонанс на низшей частоте приводит к наибольшему динамическому коэффициенту. Во-вторых, если даже частота возмущающей силы значительно превышает низшую частоту свободных колебаний, то резонанс на этой частоте всё же может возникнуть при разгоне машины при её запуске. Поэтому низшую частоту иногда называют частотой основного тона колебаний. Следующий по порядку тон колебаний называется первым обертоном и т.д.

Определив частоты свободных колебаний, можно для каждой частоты на основании (15.39) определить формы колебаний.

Запишем систему уравнений (15.39) для любой определённой из (15.40) частоты ω_j.

(15.41)

Система уравнений (15.41) может быть превращена в неоднородную, если все её члены разделить на одну из амплитуд или задать ей значение, равное единице, что то же самое. В результате в одном из уравнений системы (15.41) появится свободный член, и, решая систему из (n – 1), мы определим величины других амплитуд по отношению к выбранной. Полученные значения обычно называют относительными амплитудами.

Систему уравнений (15.41) при определении значений относительных амплитуд можно преобразовывать как угодно, что не отразится на соотношениях между амплитудами. Аналогичные математические преобразования можно производить и с уравнением частот (15.40). Один из вариантов этих преобразований покажем в ниже приведённом примере.

Определитель (15.40) можно представить в матричной форме

, (15.42)

где – единичная матрица; – матрица коэффициентов определителя (15.40) в действительном или преобразованном виде; λ – корень векового уравнения, содержащий величину 1/ ω².

С математической точки зрения решение уравнения (15.42) есть нахождение собственных чисел и собственных векторов матрицы B. Собственные числа представляют собой корни λ_i векового уравнения, а собственные вектора представляют относительные амплитуды, соответствующие каждому корню.

При правильном решении векового уравнения должны выполняться следующие проверки:

1. Определитель матрицы должен равняться произведению собственных чисел, т.е. D( ) = ∏ λ_i.

2. След матрицы (сумма главных коэффициентов) должен равняться сумме собственных чисел, т.е. S_p =∑b_ii = ∑ λ_i.

Пример 15.8. Определить частоты и построить формы свободных колебаний для консольной балки с осью ломаного очертания (рис. 15.18, а).

Решение.

1. Степень свободы масс W_m =2. Две сосредоточенные массы расчётной схемы могут совершать колебания по двум направлениям (рис. 15.18, б).

2. Уравнение частот при W_m =2 для данной расчётной схемы имеет вид

.

3. Для определения коэффициентов уравнения частот последовательно прикладываем единичные силы по направлению колебаний масс (состояния 1 и 2 на рис. 15.18, в и г) и строим эпюры M₁ и M₂.

Определённые по интегралу Максвелла-Мора коэффициенты уравнения частот имеют следующие значения:

(м/кН); (м/кН);

(м/кН).

4. Подставляем найденные коэффициенты в уравнение частот и производим его решение.

.

Для начала упростим полученную запись уравнения частот, умножив все его члены на 2EI/9m и введя обозначение λ= 2EI/9mω².

В результате получим уравнение частот в преобразованном виде:

.

Раскрывая определитель, получим квадратное уравнение относительно параметра λ: (8 – λ)(4 – λ) − 3·6 = 0 или λ ² – 12 λ + 14 = 0, откуда

λ ₁ = λ_max= 10,69; λ ₂ = 1,31.

5. Производим проверки полученного решения.

Матрица коэффициентов уравнения частот имеет вид

.

Первая проверка: D( ) = 8·4 – 3·6 = 14;

∏ λ_i = 10,69·1,31 = 14,0039,

следовательно, D( ) ≈ ∏ λ_i с погрешностью 0,0028 % , что вполне допустимо.

Вторая проверка: S_p =∑b_ii = 8 + 4 = 12;

∑ λ_i = 10,69 + 1,31,

следовательно, S_p =∑ λ_i.

6. Определяем частоты свободных колебаний. На основании принятого выше обозначения круговая частота свободных колебаний определяется из выражения .

Тогда частота основного тона будет

(с^-1),

а частота первого обертона

(с^-1).

7. Производим построение форм колебаний на основании преобразованной системы уравнений (15.41), которая в данной задаче имеет вид:

(8 – λ_i)v_1i + 6v_2i = 0,

3v_1i + (4 – λ_i)v_2i = 0,

где v_1i и v_2i – относительные амплитуды масс при i –той частоте.

Для построения форм колебаний зададим одной из амплитуд значение, равное единице. Тогда вторую амплитуду найдём из любого уравнения приведённой системы.

1 – я форма колебаний. λ ₁ = λ_max= 10,69.

Рассмотрим первое уравнение системы (8 – λ₁)v₁₁ + 6v₂₁ = 0.

При v₁₁ =1 вторая относительная амплитуда v₂₁ = 0,448,

2 – я форма колебаний. λ ₂ = 1,31.

Рассмотрим первое уравнение системы (8 – λ₂)v₁₂ + 6v₂₂ = 0.

При v₁₂ =1 вторая относительная амплитуда v₂₂ = – 1,116.

Деформированные состояния расчётной схемы, соответствующие формам колебаний, приведены на рис. 15.19 с указанием найденных значений относительных амплитуд.

Пример 15.9. Определить частоты и построить формы свободных колебаний для статически неопределимой рамы с двумя сосредоточенными массами (рис. 15.20, а).

Решение.

1. Степень свободы масс W_m =2. Обе сосредоточенные массы расчётной схемы могут совершать колебания только по вертикали (рис. 15.20, б).

2. Уравнение частот при W_m =2 для данной расчётной схемы имеет вид

.

3. Для определения коэффициентов уравнения частот последовательно прикладываем единичные силы по направлению колебаний масс (состояния 1 и 2 на рис. 15.20, в и г) и строим эпюры M₁ и M₂.

Так как заданная схема статически неопределима, расчёт по обоим состояниям производим методом перемещений (n_к = 1 < n_c = 4).

Относительные жёсткости стержней рамы:

• стойка i₁ = EI/6 = i;

• левый ригель i₂ = 2EI/8 = 1,5i;

• правый ригель i₃ = 1,5EI/6 = 1,5i.

Основная система метода перемещений и эпюра от принудительного поворота дополнительный связи на единичный угол показаны на рис. 15.20, д.

Каноническое уравнение метода , где j – порядковый номер загружения.

Коэффициент при неизвестном, определённый по , r₁₁ = 14,5i.

4. Расчёт по состоянию 1 (рис.15.20, в).

Эпюра грузового состояния показана на рис. 15.20, е, откуда свободный член канонического уравнения = 1 м.

Из решения канонического уравнения = − 1/14,5i.

Эпюра изгибающих моментов состояния 1, построенная на основании принципа независимости действия сил как , показана на рис. 15.21, а.

5. Расчёт по состоянию 2 (рис.15.20, г).

Эпюра грузового состояния показана на рис. 15.20, ж, откуда свободный член канонического уравнения = −1,125 м.

Из решения канонического уравнения = 1,125/14,5i.

Эпюра изгибающих моментов состояния 2, построенная на основании принципа независимости действия сил как , показана на рис. 15.21, б.

6. При определении коэффициентов уравнения частот воспользуемся правилами определения перемещений в статически неопределимых системах, сформулированными в подразд. 14.5. Выберем для состояний 1 и 2 статически определимые основные системы так, чтобы “перемножение” эпюр было бы как можно проще. Вспомогательные состояния 1 и 2 в статически определимых системах и соответствующие им эпюры и показаны на рис. 15.21, в и г.

Определённые по интегралу Максвелла−Мора коэффициенты уравнения частот имеют следующие значения:

(м/кН); (м/кН);

(м/кН).

7. Подставляем найденные коэффициенты в уравнение частот и производим его решение.

.

Для начала упростим полученную запись уравнения частот, умножив все его члены на EI/0,466m и введя обозначение λ= EI/0,466mω².

В результате получим уравнение частот в преобразованном виде:

.

Раскрывая определитель, получим квадратное уравнение относительно параметра λ: (13,815 – λ)(3,94 – λ) − 2 = 0 или λ ² – 17,555 λ + 52,431 = 0, откуда λ ₁ = λ_max= 14,0135; λ ₂ = 3,7415.

8. Производим проверки полученного решения.

Матрица коэффициентов уравнения частот имеет вид

.

Первая проверка: D( ) = 13,815·3,94 – 2·1 = 52,4311;

∏ λ_i = 14,0135·3,7415 = 52,4315.

следовательно, D( ) ≈ ∏ λ_i с погрешностью 0,003 % , что вполне допустимо.

Вторая проверка: S_p =∑b_ii = 13,815 + 3,94 = 17,755;

∑ λ_i = 14,0135 + 3,7415 = 17,755,

следовательно, S_p =∑ λ_i.

9. Определяем частоты свободных колебаний. На основании принятого выше обозначения круговая частота свободных колебаний определяется из выражения .

Тогда частота основного тона будет

(с^-1),

а частота первого обертона

(с^-1).

9. Производим построение форм колебаний на основании преобразованной системы уравнений (15.41), которая в данной задаче имеет вид:

(13,815 – λ_i)v_1i − v_2i = 0,

−3v_1i + (3,940 – λ_i)v_2i = 0,

где v_1i и v_2i – относительные амплитуды масс при i –той частоте.

Для построения форм колебаний зададим одной из амплитуд значение, равное единице. Тогда вторую амплитуду найдём из любого уравнения приведённой системы.

1 – я форма колебаний. λ ₁ = λ_max= 14,0135.

Рассмотрим первое уравнение системы (13,815 – λ₁)v₁₁ − v₂₁ = 0.

При v₁₁ =1 вторая относительная амплитуда v₂₁ = − 0,1985,

2 – я форма колебаний. λ ₂ = 3,7415.

Рассмотрим первое уравнение системы (13,815 – λ₂)v₁₂ − v₂₂ = 0.

При v₁₂ =1 вторая относительная амплитуда v₂₂ = 10,0735.

Деформированные состояния расчётной схемы, соответствующие формам колебаний, приведены на рис. 15.21, д с указанием найденных значений относительных амплитуд.

15.3.2. Вынужденные колебания при действии вибрационной нагрузки

При действии вибрационной нагрузки на систему с несколькими степенями свободы рассмотрим, как и в подразд. 15.2.2 установившиеся колебания, т.е. изучим стационарный процесс, который наступает после затухания свободных колебаний.

Действующая динамическая нагрузка изменяется по гармоническому закону, т.е. F(t) = Fsinθt; q(t) = qsinθt; M(t) = Msinθt, и может быть приложена в любом месте расчётной схемы.

Усилия и перемещения, полученные в результате динамического расчёта также будут изменяться по этому же закону, т.е.

S(t) = S sinθt; Δ(t) = Δ sinθt, (15.43)

где S и Δ – амплитудные значения усилий и перемещений.

Следовательно, задачей динамического расчёта является нахождение амплитудных значений усилий и перемещений. При необходимости определения усилий и перемещений в любой момент времени, используется зависимость (15.43).

Рассмотрим невесомую балку с n степенями свободы (рис.15.22) и составим для неё выражение перемещений типа (15.35). Но в данном случае к правой части этих выражений добавятся ещё перемещения, вызванные заданной динамической нагрузкой.

На основании принципа независимости действия сил, перемещение любой массы m_k можно представить как сумму перемещений

y_k(t)=δ_k1J₁(t) + δ_k2J₂(t) + ... + δ_kkJ_k(t) + ... + δ_knJ_n(t)+Δ_kFsinθt. (15.44)

Выражения (15.43) составляются для каждой массы расчётной схемы при k = 1, 2, ……n.

Входящие в выражение (15.44) инерционные силы, как известно, определяются выражениями

J_j (t)= −m_jÿ_j(t) при j = 1, 2, ……n, (15.45)

а перемещения при установившихся колебаниях

y_k(t)=a_k sinθt, y_j(t)=a_jsinθt (15.46)

где a_k ,a_j– амплитуды колебаний k-той и j-той масс.

Дважды продифференцируем по времени выражение (15.46) и подставив его в выражение для инерционных сил (15.45), получим

J_j (t)= −m_jÿ_j(t) = a_jm_j θ² sinθt = J_j sinθt. (15.47)

В (15.47) обозначение J_j=a_jm_jθ² называют амплитудным значением инерционной силы, зная которую можно определить амплитуду колебаний массы при вынужденных колебаниях

a_j = J_j /m_jθ². (15.48)

Учтя (15.48), выразим перемещения масс k (k = 1…n)через инерционные силы: (15.49)

Подставим выражения перемещений масс y(t) из (15.49) в левую часть уравнения (15.44), а выражения инерционных сил (15.47) – в правую:

= δ_k1J₁sinθt+ δ_k2J₂sinθt+ ...+ δ_kk J_ksinθt+ ...+ δ_knJ_nsinθt +Δ_kFsinθt.

Полученное выражение сократим на sinθt и приведём к каноническому виду, перенеся все члены в одну сторону:

δ_k1J₁+ δ_k2J₂ + ...+ (δ_kk − )J_k + ...+ δ_knJ_n + Δ_kF = 0,

или, введя обозначение

, (15.50)

получим

δ_k1J₁+ δ_k2J₂ + ...+ J_k + ...+ δ_knJ_n + Δ_kF = 0. (15.51)

Выражение (15.51) при k = 1, 2, ……n является системой алгебраических уравнений относительно амплитудных значений инерционных сил J_k .

Так как в отличие от задач статики, при динамическом воздействии все перемещения и усилия в расчётной схеме зависят не только от внешней нагрузки, но и от сил инерции, то, определив амплитуды этих сил, на основании принципа независимости действия сил можем определить амплитудные значения искомых усилий:

S_k = S_k1J₁+ S_k2J₂ + ...+ S_kk J_k + ...+ S_knJ_n + Δ_kF, (15.52)

где S_kj (j = 1, 2, …n)– усилия в заданной расчётной схеме от единичных сил, приложенных по направлению действия сил инерции, S_kF – усилия от амплитудного действия внешней динамической нагрузки.

Методика определения динамических усилий и перемещений через амплитудное значение инерционной силы применяется и для систем с одной степенью свободы, когда направления возмущающих нагрузок не совпадают с направлением сосредоточенной массы, и динамический коэффициент определить нельзя.

Пример 15.10. Построить динамическую эпюру изгибающих моментов для консольной балки с двумя сосредоточенными массами, рассмотренной в примере 15.8 (рис. 15.23, а), при действии возмущающей силы F(t) = 120sinθt кН. Круговая частота возмущающей силы θ = 0,7ω_min.

Решение.

1. При sinθt = 1 на расчётную схему будут действовать амплитудные значения возмущающей силы F и инерционных сил J₁ и J₂ (рис. 15.23, б).

2. Система канонических уравнений для определения амплитудных значений инерционных сил для расчётной схемы с двумя степенями свободы будет иметь вид

3. Из примера 15.8 минимальная частота свободных колебаний

с^-1, значит с^-1.

4. Значения податливостей по направлению колебаний обеих масс также были определены в примере 15.8 по расчетным эпюрам (рис. 15.23, в, г):

(м/кН); (м/кН); (м/кН).

Главные коэффициенты при неизвестных системы канонических уравнений определяем по формуле (15.50).

(м/кН),

(м/кН).

5. Так как направление возмущающей силы F(t) совпадает с направлением J₂ (рис. 15.23, б), то эпюра изгибающих моментов M_F = M₂F (рис. 15.23, д) и, соответственно, свободные члены канонических уравнений будут:

(м); (м).

6. Подставляя все найденные значения в систему канонических уравнений и сокращая на общий множитель 1/EI, получим уравнения в численном виде

− 62,224J₁ + 13,5J₂ + 1620 = 0,

13,5J₁ − 40, 112J₂ +1080 = 0,

а из их решения J₁ = 34,387 кН, J₂ = 38,498 кН.

7. Динамическая эпюра, построенная на основании принципа независимости действия сил M_дин = M₁ J₁ + M₂ J₂ + M_F, показана на рис. 15.24.

Пример 15.11. Построить динамическую эпюру изгибающих моментов для статически неопределимой рамы с двумя сосредоточенными массами, рассмотренной в примере 15.9 (рис. 15.25, а), при действии возмущающих нагрузок F(t) = 6sinθt кН и q(t) = 24sinθt кН/м. Круговая частота возмущающей силы θ = 0,75ω_min.

Решение.

1. При sinθt = 1 на расчётную схему будут действовать амплитудные значения возмущающей силы F и инерционных сил J₁ и J₂ (рис. 15.25, б).

2. Система канонических уравнений для определения амплитудных значений инерционных сил для расчётной схемы с двумя степенями свободы будет иметь вид

3. Из примера 15.9 минимальная частота свободных колебаний

с^-1, значит с^-1.

4. Значения податливостей по направлению колебаний обеих масс также были определены в примере 15.9:

(м/кН); (м/кН); (м/кН).

Главные коэффициенты при неизвестных системы канонических уравнений определяем по формуле (15.50).

(м/кН),

(м/кН).

5. Производим расчёт грузового состояния от амплитудных значений возмущающих нагрузок (рис. 15.25, в). Основная система метода перемещений и эпюра от принудительного единичного поворота дополнительной связи показаны на рис.15.20, д (см. пример 15.9). Эпюра грузового состояния в основной системе приведена на рис. 15.25, г.

Каноническое уравнение метода перемещений

r₁₁Z₁ + R_1F = 0, где r₁₁ = 14,5i (кНм/рад), R_1F = 42 кНм.

Тогда Z₁= − R_1F / r₁₁ = − 42/14,5i (рад).

Построив эпюру (рис. 15.25, д), на основании принципа независимости действия сил получим эпюру грузового состояния (рис. 15.25, е).

6. Свободные члены канонических уравнений определяем, используя вспомогательные состояния в статически определимых основных системах (рис. 15.21, в и г, пример 15.9):

(м); (м).

7. Подставляя все найденные значения в систему канонических уравнений и сокращая на общий множитель 1/EI, получим уравнения в численном виде

− 5,499 J₁ − 0,466 J₂ + 49,38 = 0,

− 0,466 J₁ − 15,998 J₂ − 19,551 = 0,

а из их решения J₁ = 9,109 кН, J₂ = −1,526 кН.

8. Динамическая эпюра, построенная на основании принципа независимости действия сил M_дин = M₁ J₁ + M₂ J₂ + M_F, показана на рис. 15.26.

Пример 15.12. Построить динамическую эпюру изгибающих моментов для расчётной схемы с одной степенью свободы (рис. 15.27, а), если возмущающая сила F(t) = 6sinθt кН приложена вне направления колебания массы, а частота вынужденных колебаний θ = 0,8ω.

Решение.

1. При sinθt = 1 на расчётную схему будут действовать амплитудные значения возмущающей силы F и инерционной силы J₁, (рис. 15.27, б).

2 Каноническое уравнение для определения амплитудного значения инерционной силы для расчётной схемы с одной степенью свободы будет иметь вид

3. Заданная система статически определима. Строим эпюру M₁ от единичной силы, приложенной по направлению колебания массы (рис.15.27, в), и эпюру M_F от действия амплитудного значения возмущающей нагрузки (рис. 15.27, г)

4. Значения податливости по направлению колебания массы:

(м/кН).

5. Определяем частоту свободных колебаний

(с^-1).

6. Частота вынужденных колебаний

(с^-1).

7. Коэффициент при неизвестном канонического уравнения определяем по формуле (15.50).

(м/кН).

8. Свободный член канонического уравнения

(м).

9. Подставляя найденные значения в каноническое уравнение и сокращая на общий множитель 1/EI, получим уравнение в численном виде

− 25,312 J₁ + 405 = 0,

а из его решения J₁ = 16 кН.

7. Динамическая эпюра, построенная на основании принципа независимости действия сил M_дин = M₁ J₁ + M_F, показана на рис. 15.27, д.

15.3.3. Учёт симметрии в задачах динамики

В симметричных расчётных схемах с симметрично расположенными одинаковыми массами на основании свойств симметрии возможны упрощения как при определении частот свободных колебаний, так при определении усилий от вибрационной нагрузки.

Для симметричных расчётных схем с симметрично расположенными массами возможно разложение форм колебаний на симметричные и кососимметричные, при которых силы инерции также будут либо симметричные, либо кососимметричные.

Упрощение достигается за счёт разделения уравнения частот (15.41) при наличии осей симметрии на уравнения меньших порядков. Так, если расчётная схема имеет одну ось симметрии, уравнение частот разделяется на два уравнения; если расчётная схема имеет две оси симметрии – на четыре уравнения. При этом сумма порядков уравнений остаётся равной порядку исходного уравнения. Разделения уравнения частот (15.41) можно достичь двумя путями – либо использованием групповых перемещений, либо представлением расчётной схемы в виде её симметричной части.

Рассмотрим расчётную схему с тремя степенями свободы масс (рис.15.28, а), имеющую одну ось симметрии. В этой расчётной схеме три формы колебаний можно представить как две симметричных (рис. 15.28, б и в) и одну кососимметричную (рис. 15.28, г). В этом случае для массы m₂, расположенной на оси симметрии (рис. 15.29, а) вспомогательное состояние определяется одной единичной силой (рис. 15.29, б); для симметрично расположенных относительно оси симметрии масс m₁ и m₃ = m₂ величины податливостей определяются от групповых единичных сил (рис. 15.29, в и г). При этом побочные податливости, связывающие симметричные и кососимметричные силы инерции, обращаются в ноль. Это и приводит к распаду уравнения частот на два независимых уравнения, из которых одно позволяет определить частоты симметричных свободных колебаний, а другое – кососимметричных.

Приведённые на рис. 15.28 формы колебаний на основании свойств симметрии (см. подразд. 13.5) позволяют назначить на оси симметрии граничные условия при рассмотрении половины расчётной схемы.

На рис 15.30, а изображена половина расчётной схемы для симметричных колебаний. В силу свойства 1 (см. подразд. 13.5) на оси симметрии должен отсутствовать угол поворота, но сечение способно перемещаться по вертикали. Этим условиям соответствует подвижное в вертикальном направлении защемление. Следовательно, для данной расчётной схемы степень свободы масс будет равна W_m = 2, и уравнение частот будет второго порядка. Так как масса m₂ расположена непосредственно на оси симметрии и принадлежит одновременно и правой и левой частям схемы, здесь она учитывается в половину своей величины.

Аналогично, для кососимметричных колебаний (рис. 15.30, б) на оси симметрии должно отсутствовать, на основании свойства 2 (§ 13.5), вертикальное перемещение сечения, но разрешён его свободный поворот. Этим условиям соответствует постановка вертикальной шарнирно подвижной опоры. Следовательно, для полученной расчётной схемы степень свободы W_m = 1, и уравнение частот будет первого порядка. Общее число степеней свободы равно трём, но вместо определителя третьего порядка составляются два определителя – второго и первого. Вычисление этих двух определителей существенно легче и короче, чем вычисление определителя третьего порядка.

При действии вибрационной нагрузки последняя, как и при статических расчётах, раскладывается на симметричную и кососимметричную (рис. 15.31).

4. Меры защиты от динамических воздействий

Вибрационное воздействие, как наиболее опасное для сооружений, в ряде случаев может привести к отрицательным эффектам, понижающим прочностные и эксплуатационные качества конструкции, причём не только при резонансе. Знакопеременные напряжения в сечениях элементов конструкции, возникающие при действии вибрационных нагрузок, приводят к накоплению повреждений в материале в виде трещин и, в итоге, к разрушению. К не влияющим на состояние конструкции можно отнести лишь колебания с ускорением не более 0,03g.

Кроме этого, вибрационные воздействия могут помешать нормальному функционированию технологического оборудования, расположенного в сооружении, а также на работу многих точных приборов.

Колебания конструкций в зависимости от частоты и амплитуды могут оказывать различное физиологическое воздействие на людей. Критерием чувствительности людей к колебаниям с низкими частотами (от 1 до 10 гц) могут служить ускорения колебаний, а при высоких частотах (свыше 10 гц) – скорости колебаний. Характеристики воздействия на людей гармонических колебаний с амплитудами до 1 мм приведены в табл. 15.3.

Таблица 15.3

Характеристики физиологического воздействия

гармонических колебаний

Допустимую амплитуду a₀ динамических перемещений определяют по формулам:

; ,

где v₀ и w₀ – допускаемые пределы скорости (мм/с²) и ускорения (мм/с²), принимаемые по табл. 15.3; f₀ – частота колебаний (Гц).

В качестве допускаемых должны приниматься колебания с характеристиками безвредного воздействия на людей.

Для машин и механизмов, устанавливаемых на фундаментах и перекрытиях зданий, как и для самих строительных конструкций, нормами устанавливаются допустимые значения амплитуд колебаний.

Например, при частоте 4 Гц допустимые амплитуды динамических перемещений будут:

1. в помещениях с вибрационными машинами – 0,25·10^-3 м;

2. в помещениях без вибрационных машин – 0,1·10^-3 м;