Пощади и центры тяжести простейших геометрических фигур

Основные особенности применения способа Верещагина (12.28):

1. Произведение Ω∙ y₀ считается положительным, если площадь Ω ордината y₀ расположены по одну сторону оси стержня, т.е. имеют одинаковые знаки, и отрицательным, если они расположены по разные стороны оси.

2. Эпюра, по которой определяется площадь Ω, может быть любого очертания, но эпюра, по которой берётся ордината y₀, может быть только прямолинейной.

3. Если обе эпюры прямолинейные, то безразлично, по какой из них определяется площадь Ω, а по какой – ордината y₀.

4. Когда одна из эпюр имеет сложное очертание, её представляют как геометрическую сумму простых фигур, для которых известны их площади и координаты центра тяжести (табл. 12.1). Тогда формула (12.27) для рассматриваемого участка стержня запишется как

.

К недостаткам способа Верещагина, при всей наглядности и простоте, необходимо отнести его многодельность при сложных очертаниях эпюр усилий. Потому в инженерной практике часто используют готовые формулы “перемножения” эпюр, которые выведены на основе способа Верещагина.

Наиболее распространёнными из таких формул являются следующие:

1. Формула “перемножения” трапеций (рис.12.9).

. (12.29)

2. Формула Симпсона (рис.12.10).

, (12.30)

где: h = 0,5(a + b); f = 0,5(c + d) ± ql²/8 (знак ± зависит от того, в какую сторону направлена выпуклость кривой на эпюре M_F).

Формулы (12.29) и (12.30) справедливы при любых значениях показанных на рис. 12.9 и 12.10 ординат. Формула (12.30) применима в случае, если эпюра M_F очерчена по квадратной параболе; при очертании по кубической параболе эта формула является приближённой.

Правило знаков для формул (12.29) и (12.30): произведение ординат, входящих в формулы положительное, если ординаты в обеих эпюрах отложены по одну сторону от оси стержня, и отрицательное – если по разные стороны.

Для сравнения покажем на простом примере применение способа Верещагина и формулы Симпсона.

Пример 12.1. Определить прогиб средней точки пролёта простой балки с консолью (рис.12.11, а), загруженной равномерно распределённой нагрузкой q = 8 кН/м в пролёте и силой F = 16 кН на консоли.

В силу простоты рассматриваемого примера опустим определение опорных реакций в балке при действии внешней нагрузки (грузовое состояние) и при действии единичной силы, приложенной по направлению искомого перемещения (вспомогательное состояние) Эпюры изгибающих моментов для этих состояний приведены на рисю12.11, а и б.

1. Используем способ Верещагина.

Для этого эпюру M_F необходимо представить как сумму пяти простейших геометрических фигур (рис.12.11, в), расположенных на двух участках, и против центров тяжести каждой из этих фигур подсчитать ординаты y₀ на эпюре M₁.

Согласно табл.12.1 эти площади и ординаты будут следующими:

Ω₁ = , y₀₁= 1;

Ω₂ = 0,5∙48∙4 = 96, y₀₂ = 2∙2/3 = 4/3;

Ω₃ = Ω₂ = 96, y₀₃ = y₀₂ = 4/3;

Ω₄ = Ω₁ = 16, y₀₄ = y₀₁ = 1;

Ω₅ = 0,5∙32∙4 = 64, y₀₂ = 1∙2/3 = 2/3.

Искомое вертикальное перемещение точки 1 будет

Δ_1F = = [ Ω₁∙ y₀₁ + Ω₂∙ y₀₂ + Ω₃∙ y₀₃ + Ω₄∙ y₀₄ + Ω₅∙ y₀₅] =

= м.

2. Использование формулы (12.30).

Для этого в середине каждого участка подсчитаем ординаты эпюр M_F и M₁(рис.12.11, г).

h₁ = 0,5∙2 = 1, f₁ = 0,5∙48 + = 40;

h₂ = 0,5∙2 = 1, f₂ = 0,5∙(48 –32) + = 24.

Искомое вертикальное перемещение точки 1 будет

Δ_1F = = м.

Как видно из приведённого примера, объём вычислений при использовании формулы (12.30) значительно меньше, чем в первом варианте.

Рассмотрим ещё несколько примеров на определение перемещений.

Пример 12.2. Для балки (рис.12.12, а) определить угол поворота сечения, примыкающего к опоре K, линейные перемещения узлов расчётной схемы и построить её деформированную схему.

Решение.

Целью данного примера является изучение техники определения перемещений, поэтому при рассмотрении расчётных схем всех ниже приведённых состояний опущены части расчёта, содержащие определение опорных реакций и построение эпюр усилий изгибающих моментов. На рис.12.12 приведены расчётные схемы всех состояний, величины опорных реакций и необходимые эпюры изгибающих моментов.

Перемножение эпюр производится по участкам между узлами A, B, C, D и K (см. рис.12.12, а).

1. Определяем угол поворота сечения, примыкающего к опоре K (состояние 1, рис.12.12, б). В рассматриваемом вспомогательном состоянии для определения угла поворота в сечении K прикладываем единичный момент.

По формуле (12.27)

+36∙3∙1+ +

Участок AB Участок BC Участок CD

+ 0,5∙72∙3∙1} = (рад).

Участок DK

В приведённой записи:

• для участка AB “перемножение” эпюр осуществлено по (12.29);

• для участка BC – по (12.28);

• для участка CD – по (12.30);

• для участка DK – по (12.28);

• поскольку общий множитель для всего интеграла – 1/EI, а на участках AB и CD заданная жёсткость равна 2EI, то записи перемножений эпюр по этим участкам разделены на число 2 (учёт соотношения жёсткостей).

2. Определяем горизонтальное перемещение узлов A и B (состояние 1, рис.12.12, в).

В рассматриваемом вспомогательном состоянии для определения перемещения прикладываем горизонтальную единичную силу. Поскольку при изгибе мы пренебрегаем продольными деформациями и считаем, что вдоль оси стержня между его концами отсутствуют смещения, то безразлично, где прикладывать единичную силу – в узле A или узле B .

По формуле (12.27)

{– 0,5∙3∙3∙36 – –

Участок BC Участок CD

– } = – (м).

Участок DK

В приведённой записи:

• для участка AB “перемножение” эпюр отсутствует, так как в эпюре M2 на этом участке нет изгибающих моментов;

• для участка BC “перемножение” эпюр осуществлено по (12.28);

• для участка CD – по (12.30);

• для участка DK – по (12.29);

• для участков AB и CD учтено соотношение жёсткостей;

• искомое перемещение получили со знаком минус; это означает, что перемещение направлено в сторону, противоположную направлению приложенной единичной силы.

4. Аналогичным образом определяем ещё два перемещения, используя вспомогательные состояния 3 и 4 (рис.12.12, г и д).

{– – 36∙3∙3 –

– – } = – (м).

{– – 36∙3∙6 –

– } = – (м).

5. На основании определённых перемещений узлов и эпюры изгибающих моментов грузового соcтояния M_F (рис.12.12, а) строим деформированную схему (рис. 12.12. е).

Данная схема является условной, так как построить в одном масштабе саму расчётную схему и её перемещения невозможно из-за малости последних по сравнению с размерами конструкции.

При построении деформированной схемы необходимо соблюдение ранее сформулированных допущений о “нерастяжимости и несжимаемости” изгибаемых стержней с добавлением ещё одного – жёсткие узлы расчётной схемы не деформируются. Таким образом, отложив в выбранном масштабе определённые нами перемещения узлов и представив изгиб стержней по эпюре изгибающих моментов M_F, мы получим изображение условной деформированной схемы заданной конструкции.

Пример 12.3. Определить прогиб консоли рамы (рис.12.13, а). Стойка и ригель изготовлены из двутавра № 24 (I_z = 3460 см⁴), подкос AB – из трубы d = 102 мм и толщиной стенки t = 3 мм (A = 9,3 см²).

Грузовое состояние рамы, соответствующая ему эпюра M_F и значение продольной силы в подкосе N_F показаны на рис. 12.13, а, а вспомогательное состояние, соответствующая ему эпюра M₁ и продольная сила N₁ – на рис.12.13, б.

Решение.

1. Определяем жесткости стержней рамы:

   • на изгиб (стойка и ригель) EI = 2,06∙10⁸∙3460∙10^-8 = 7 127,6 кН·м²;

   • продольная жесткость (подкос AB) EA=2,06∙10⁸∙9,3∙10^-4=19,16∙10⁴ кН.

2. Определяем прогиб консоли по формуле (12.25).

= + {8∙4∙4+ +

+ } = ,

или, подставляя числовые значения жёсткостей EA и EI,

= 0,0217 м.

Пример 12.4. Определить изменение угла между левой стойкой и центральным раскосом фермы, изображённой на рис. 12.14, а.

Пояса фермы изготовлены из двух неравнополочных ∟80 х 50 х 6 (A₁ = = 2∙7,55 = 15,1 см²), а решётка – из двух равнополочных уголков ∟50 х 5 (A₂ = 2∙4,8 = 9,6 см²).

Грузовое состояние фермы и соответствующая ему эпюра N_F показаны на рис. 12.14, а, а вспомогательное состояние и соответствующая ему эпюра N₁ – на рис.12.14, б.

Во вспомогательном состоянии для определения изменения угла между двумя сечениями приложены противоположно направленные единичные моменты. Так как в стержнях фермы при действии внешней нагрузки действуют только продольные силы, действия единичных моментов во вспомогательном состоянии заменяется действиями пар с плечами, равными длинам стержней, углы поворота которых подлежат определению. Силы пар приложены в узлах фермы по концам этих стержней.

Решение.

1. Определяем жёсткости стержней фермы:

• пояса EA₁ = 2,06∙10⁸∙15,1∙10^-4 = 31,106∙10⁴ кН = EA;

• решётки EA₁ = 2,06∙10⁸∙9,6∙10^-4 = 19,776∙10⁴ кН = 0,636EA.