12.4.2. Теорема о взаимности возможных реакций

Рассмотрим упругую линейно деформируемую статически неопределимую систему (рис.12.5). Для этой системы рассмотрим два состояния, вызванные смещением связей i и k на величины Δ_i и Δ_k соответственно. Как отмечалось в подразд. 3.1, статически неопределимые расчётные схемы имеют избыточное число связей, т.е. большее число, нежели необходимо, чтобы обеспечить расчётной схеме геометрическую неизменяемость. Наличие избыточных связей препятствует свободному развитию деформаций, поэтому при смещении связей в элементах расчётной схемы возникают внутренние силы и реакции в связях.

Таким образом, при смещении связи i на величину Δ_i (состояние 1, рис. 12.5, а) во всех связях упругой системы реакции, в частности в связях i и k ими будут R_ii и R_ki. Аналогично, при смещении связи k на величину Δ_k (состояние 2, рис.12.5, б) – R_ik и R_kk. Для показанных состояний воспользуемся теоремой о взаимности возможных работ (12.17):

R_ii∙0 – R_ki∙Δ_k = – R_ik∙Δ_i + R_kk∙0, (12.19)

( реакции в опорах А и B на рис. 12.5 условно не показаны, так как при указанных смещениях они не совершают никакой работы по причине неподвижности опорных точек).

По аналогии с (12.1) реакции в любых связях можно представить в виде:

R_ki = r_ki∙Δ_i ; R_ik = r_ik∙Δ_k, (12.20)

где r_ki – реакция в связи k от единичного смещения связи i;

r_ik – реакция в связи i от единичного смещения связи k.

Подставив (12.20) в (12.19) и произведя сокращения левой и правой частей на одинаковые величины, получим:

r_ik = r_ki. (12.21)

Выражение (12.21) представляет собой аналитическое выражение теоремы о взаимности возможных реакций (теоремы Рэлея): возможная реакция в связи i от единичного смещения связи k численно равна возможной реакции в связи k от смещения связи i.

12.5. Определение перемещений в статически определимых расчётных схемах

12.5.1. Перемещения от внешней нагрузки

Рассмотрим упругую плоскую расчётную схему (рис.12.6, а), находящуюся под действием произвольной внешней нагрузки. Под действием этой нагрузки рассматриваемая расчётная схема будет деформироваться, и её сечения получат перемещения. Предположим, что необходимо определить линейное перемещение Δ_kF сечения k по направлению K-K . Для этого рассмотрим вспомогательное состояние этой же расчётной схемы, приложив к ней в сечении k и по направлению искомого перемещения K-K единичную безразмерную силу (рис. 12.6, б).

В обоих показанных состояниях расчётная схема находится в равновесии. Примем состояние k за действительное, а грузовое состояние F будем считать возможным, и определим работу сил k–го состояния на перемещениях состояния F:

Т_Fk = 1∙Δ_kF .

Возможная работа сил состояния F на возможных перемещениях состояния k с учётом принципа возможных перемещений (12.15) и выражения (12.13) будет равна

Т_kF = – W_kF = .

Приравнивая полученные выражения возможных работ на основании теоремы об их взаимности (12.17), получим формулу Максвелла−Мора для определения перемещений от внешней нагрузки:

Δ_kF = . (12.22)

Формула (12.22) записана в общем виде. Для практических расчётов её обычно упрощают.

Для определения перемещений узлов ферм из (12.22) остаётся только первый член формулы. Если ферма изготовлена из стержней постоянного по длине сечения, и действующая на ферму нагрузка приложена только в узлах, формула (12.12) принимает вид:

Δ_kF = , (12.23)

где C_Ф – число стержней фермы.

Для плоских балочных и рамных расчётных схем пренебрегают продольными и поперечными деформациями в связи их малости по сравнению с деформациями изгиба. Если расчётная схема состоит из прямолинейных стержней постоянного по длине сечения, формула (12.22) принимает вид:

Δ_kF = . (12.24)

где m– число участков интегрирования расчётной схемы.

В случае комбинированной расчётной схемы

Δ_kF = + . (12.25)

Для пространственных рамных и балочных расчётных схем при пренебрежении продольными и поперечными силами формула (12.22), по аналогии, записывается в виде:

Δ_kF = , (12.26)

где M_z, M_y– изгибающие моменты вокруг соответствующих осей сечений;

M_к= M_x – крутящий момент в поперечном сечении стержня (см. рис.4.6, г).

Формула (12.22) получена на примере определения линейного перемещения. Но она имеет общий характер. Для определения любых перемещений необходимо правильно выбрать вспомогательное состояние.

На рис. 12.7 представлены типы вспомогательных состояний при определении различных перемещений в плоской расчётной схеме:

• при определении линейных перемещений, вертикальных или горизонтальных (рис.12.7, а и б);

• при определении изменения расстояния между двумя сечениями (рис.12. 7, в);

• при определении угла поворота сечения (рис.12.7, г);

• при определении изменения угла между двумя сечениями (рис. 12.7, д и е).

Направления единичных сил вспомогательных состояний выбирают произвольно. Это сказывается только на знаке определяемого по формуле Максвелла-Мора перемещения. Если в результате расчёта искомое перемещение получилось положительным, это означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы, использованной во вспомогательном состоянии.

Вычисление интегралов, входящих в формулу Максвелла-Мора, в общем случае производят следующим образом:

1. Разбивают эпюры усилий вспомогательного и грузового состояний на участке интегрирования.

2. В пределах каждого участка составляют выражения для усилий грузового и вспомогательного состояний.

3. Подставляя полученные усилия в интеграл Максвелла-Мора, производят интегрирование в пределах каждого участка и полученные результаты суммируют.

В тех случаях, когда расчётная схема состоит из прямолинейных стержней с постоянной по длине жёсткостью EI, последнюю в формуле (12.23) можно вынести за знак интеграла, т.е.

Δ_kF = , (12.27)

и вычисление интеграла можно выполнить, применив способ “перемножения” эпюр, обычно называемый способом Верещагина.

Для использования этого способа необходимо, чтобы одна из эпюр выражения (12.27) была прямолинейной. Это условие в данном случае выполняется всегда, так как эпюра M_k вспомогательного состояния состоит только из прямолинейных участков.

Рассмотрим существо способа Верещагина. На рис.12.8 показаны участки двух эпюр изгибающих моментов M_k и M_F. Приняв за начало координат точку пересечения прямой, ограничивающей эпюру M_k, с осью абсцисс, выразим ординату этой эпюры через произвольную координату x:

M_k = x tg α.

Тогда интеграл, входящий в (12.26) можно записать в виде:

.

Из рис.12.8, а видно, что M_F dx – элементарная площадка dΩ эпюры M_F, а произведение x∙M_F dx = xdΩ – элементарный статический момент этой площадки относительно вертикальной оси.

Следовательно,

,

где S – статический момент площади Ω эпюры M_F, относительно вертикальной оси; x₀ – координата центра тяжести этой площади.

Тогда

. (12.28)

Итак, если одна из перемножаемых эпюр ограничена прямой, а другая имеет произвольное очертание, то можно вычислить как произведение площади эпюры произвольного очертания Ω на ординату под её центром тяжести y₀ , взятую из прямолинейной эпюры.

Таблица 12.1