В.В. Бабанов

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

(Основы теоретической механики,

сопротивления материалов

и строительной механики для архитекторов)

II

Бабанов в.В. Теоретическая механика, Основы теоретической механики, сопротивления материалов и статики сооружений для архитекторов: Учеб. Для вузов. Т. 2.

Данная книга, написанная в соответствии с программой курса, сформулированной государственным образовательным стандартом, содержит краткое изложение основ трех дисциплин: теоретической механики, сопротивления материалов и строительной механики.

Теоретический материал сопровожден достаточным для практического освоения количеством примеров. Учебник дополнен необходимым для решения задач количеством справочного и нормативного материала.

Предназначается для студентов, обучающихся по направлению 630100- “Архитектура”

Глава 11 совместное действие растяжения (сжатия) с изгибом

11.1. Определение усилий в статически определимых расчётных

схемах

11.1.1. Балки и рамы

В сечениях статически определимых рам и балок с осью ломаного очертания (которые часто также называют рамами) возникают, как правило, не только поперечная сила и изгибающий момент, но и продольная сила – сжимающая или растягивающая.

При построении эпюр усилий правило знаков для продольной и поперечной сил остаётся прежним, а для изгибающего момента его обычно не вводят, но ординаты эпюры M, как и в простых балках, откладывают со стороны растянутых волокон. Ординаты эпюры Q для горизонтально ориентированных стержней принято откладывать так же, как было сформулировано в подразд. 10.2. Для остальных стержней ординаты эпюры Q и ординаты эпюры N откладываются так, чтобы чертёж расчёта был нагляден, с обязательным проставлением знака усилия.

При действии ортогональной нагрузки эпюра N на расчётных участках всегда постоянна. Она может быть переменна лишь в случае действия нагрузки, направленной по оси стержня.

Для определения усилий Q, M и N в сечениях расчётной схемы, как и ранее, используется метод сечений.

Так, для сечения k балки с осью ломаного очертания (рис.11.1, а) усилия можно определить из равновесия одной из отсечённых частей расчётной схемы (рис.11.1, б) – верхней или нижней. Очевидно, что в данном случае определение усилий удобнее и проще произвести, рассматривая равновесие нижней части. В качестве системы координат при этом используем местную систему координат для стержня, которому принадлежит сечение k – ось x направлена по оси стержня, ось y – перпендикулярно оси. Это правило будем использовать и в дальнейших расчётах.

Тогда

Q_k = ∑ = H_A – F₁, N_k = ∑ = – V_A,

M_k = ∑M^низ = H_A ∙h₁ (растянуты правые волокна).

Балочные и рамные расчётные схемы, как было показано в подразд. 1.5 и 3.2, разделяются на однодисковые и многодисковые. Поэтому порядок расчёта при определении усилий в сечениях таких схем состоит в следующем:

1. Производится анализ геометрической неизменяемости (см. подразд. 1.5) и устанавливается порядок образования расчётной схемы.

2. Устанавливается порядок определения реакций в связях составляющих расчётную схему отдельных дисков.

3. Для каждого отдельного диска определяются усилия в расчётных сечениях и строятся эпюры M, Q и N с последующим (или одновременным) их объединением в общие эпюры усилий для всей расчётной схемы.

Рассмотрим примеры построения эпюр усилий для указанного типа расчётных схем.

Пример 11.1. Построить эпюры M, Q и N для балки с осью ломаного очертания (рис. 11.2, а), реакции в связях которой были определены в примере 3.5 (см. рис. 3.6).

Решение.

1. Назначаем сечения, в которых будем определять усилия (рис.11.2, б).

2. Определяем усилия в назначенных сечениях.

Участок 1 – 2.

Между сечениями 1 и 2 нагрузка отсутствует. Следовательно, эпюра Q должна быть постоянной, эпюра M должна быть очерчена по прямой. Так как в расчётной схеме приложенная нагрузка по отношению к осям стержней ортогональна, продольные силы на всех участках (в их пределах) будут постоянны.

Q₁= Q₂= = 0, следовательно, эпюра M на участке постоянна.

M₁= M₂= = – 16 кН·м.

N₁= N₂= = – 4 кН.

На участках 3 – 4 и 5 – 6 нагрузки между сечениями также отсутствуют. Потому эпюры Q на этих участках постоянны, а эпюры M имеют линейный характер

Участок 3 – 4.

Q₃= Q₄= = 6 кН.

M₃= M₂= – 16 кН·м.

M₄= = – 16 + 6∙2 = – 4 кН·м.

N₃= N₄= = – 4 кН.

Участок 5 – 6.

Q₅= Q₆= = 6 – 12 = – 6 кН.

M₅= M₄= – 4 кН·м.

M₆= = – 16 + 6∙4 – 12∙4 = – 16 кН·м.

N₅= N₆= N₃= N₄= – 4 кН.

Участок 10 – 9.

Q₁₀= Q₉= = 6 кН.

M₁₀= = 0 (крайнее сечение консоли).

M₉= = 6∙2 = 12 кН·м.

N₁₀= N₉= = 0.

Участок 7 – 8.

Участок загружен равномерно распределённой нагрузкой. Следовательно, эпюра M должна быть очерчена по квадратной параболе выпуклостью влево, а эпюра Q должна быть наклонной прямой.

Q₈= = 0, Q₇= = 2∙2 = 4 кН.

M₈= = 6∙2 = 12 кН·м (растянутые волокна – справа).

M₇= M₆= = 6∙2 + 2∙2∙1 = 16 кН·м (растянутые волокна – справа).

3. По полученным значениям усилий строим эпюры M, Q и N (рис.11.2, в).

4. Производим визуальную проверку правильности построения эпюр усилий на основании правил, сформулированных в подразд. 10.2.

5. Производим проверки равновесия узлов. Для этого, последовательно вырезая узлы расчётной схемы, прикладываем в сечениях, подходящих к узлу, все найденные усилия и внешнюю узловую нагрузку, если таковая в вырезаемом узле действует. Направления усилий, действующих в сечениях, определяются ранее принятым правилом знаков (см. рис. 10.4). Для облегчения направления изгибающих моментов в вырезаемых узлах растянутые волокна можно отмечать пунктиром (рис. 11.3). Для каждого вырезанного узла должны выполняться три уравнения равновесия:

∑ X = 0, ∑ Y = 0 и ∑ M_узл =0.

На рис. 11.3, а и б показано равновесие верхнего и нижнего узлов расчётной схемы.

На основании только что выполненного примера в дополнение к правилам построения эпюр усилий, сформулированным в подразд. 10.2, можно сделать следующие выводы:

1. Нет необходимости определять изгибающие моменты в обоих соседних сечениях на границах участков, если только на этой границе не приложен внешний сосредоточенный момент. Изгибающие моменты в этих сечениях равны, так они расположены друг от друга на бесконечно малом расстоянии, которое не влияет на искомую сумму моментов всех сил по одну сторону от сечения.

2. То же самое относится к сечениям, примыкающим к жёсткому узлу, объединяющему два стержня.

3. При ортогональном действии нагрузки нормальную силу в любом прямолинейном стержне достаточно определить в одном из сечений этого стержня, так как она постоянна по всей его длине.

4. Изгибающие моменты заведомо равны нулю в краевых сечениях консолей при отсутствии в этих сечения моментной нагрузки и в сечениях, примыкающих к шарнирам.

Пример 11.2. Построить эпюры усилий для рамы (рис.11.4, а).

Решение.

1. Производим проверку геометрической неизменяемости рамы.

Число опорных связей C_оп = 4, число простых шарниров Ш =1, число дисков Д =2.

Необходимое условие геометрической неизменяемости схемы (1.4)

3Д – 2Ш – C_оп = 3∙2 – 2∙1– 4 = 0 выполняется.

Основным диском расчётной схемы является геометрически неизменяемый диск AC, прикреплённый к основанию в точке A тремя связями (полное защемление). Неизменяемость диска СB также обеспечивается правильно расположенными на плоскости трёмя связями: двумя он прикреплён в точке С к неизменяемому диску AC, третьей связью в точке B связан с основанием. Следовательно, расчетная схема геометрически неизменяема, так как доказана неизменяемость составляющих её элементов.

2. Производим определение реакций в опорных связях (рис.11.4, б).

∑X = 0; – H_A + 10 = 0, H_A = 10 кН.

∑ = 0; – R_B∙4 + 8∙4∙2 + 10∙2 = 0, R_B = 21 кН.

∑Y= 0; – V_A + 8∙4 – 20 + R_B = 0, V_A = 31 кН.

Расчётная схема с определёнными реакциями в опорных связях и в связях шарнира С приведена на рис.11.4, в. Определение реакций в связях шарнира С здесь не приводится, так как они определяются достаточно просто после рассечения расчётной схемы из равновесия любой отсечённой части (уравнения равновесия ∑X = 0; ∑Y= 0). Удаление связей в шарнире С производится для облегчения определения усилий в расчётных сечениях.

3. Определяем усилия в расчётных сечениях.

Из анализа расчётной схемы на основании вше приведённых правил построения эпюр можно сделать следующие выводы:

• продольные силы на участках 3 – 4 и 9 – 10 равны нулю, так как справа отсутствует горизонтальная нагрузка;

• изгибающие моменты в сечениях 6, 7 и 10 равны нулю, так как сечения примыкают к шарнирам, где отсутствует моментная нагрузка; изгибающий момент в сечении 4 на краю консоли также равен нулю;

• изгибающие моменты в сечениях 8 и 9 равны, так как примыкают к узлу, соединяющему два стержня:

• поперечные силы на участках 1 – 2, 3 – 4, 5 – 6, 7 – 8 постоянны; эпюры изгибающих моментов на этих участках – прямолинейны.

Благодаря проведённому анализу можно значительно сократить количество вычислений при определении усилий.

Значения поперечных сил в расчётных сечениях:

Q_{1 – 2} = = 31 кН; Q_{3 – 4} = = 20 кН;

Q_{5 – 6} = = 10 кН; Q_{7 – 9} = = 10 кН;

Q₉ = = –21 + 8∙4= 3 кН; Q₁₀ = = –21 кН,

Значения изгибающих моментов в расчётных сечениях;

M₁ = = –153 кН·м;

M₂ = = –153 + 31∙3 = – 60 кН·м;

M₃ = = –20∙2= – 40 кН·м;

M₅ = = 10∙2= 20 кН·м (растяжение левых волокон);

M₈ = = 10∙2= 20 кН·м (растяжение правых волокон).

Значения продольных сил в расчётных сечениях:

N_{1 – 2} = = 10 кН; N_{5 – 8} = = –11 кН.

По найденным значениям усилий построены эпюры M, Q и N (рис.11.5, а).

4. Производим визуальную проверку правильности построения эпюр усилий на основании правил, сформулированных в подразд. 10.2.

5. Определяем экстремальное значение изгибающего момента на участке 9 – 10.

Вырезанный из расчётной схемы участок показан на рис. 11.5, б.

Q₀ = = –21 + 8∙x₀ = 0, откуда x₀ = 2,625 м.

M_экс = = 21∙x₀ – 8∙x₀∙0,5x₀ = 2,625(21– 4∙2,625) = 27,56 кН·м.

6. Производим проверку равновесия верхнего (рис.11.6, а) и нижнего (рис. 11, б) узлов расчетной схемы.