8. Многокритериальные задачи оптимизации. Принцип Парето.

В общем случае задача многокритериальной оптимиза­ции формулируется как задача одновременной минимизации неко­торой совокупности показателей f₁ (х), f'₂ {х), .... f_т(х). Следует сразу заметить, что строго математически задача в такой поста­новке смысла не имеет, так как минимумы отдельных показателей в общем случае достигаются при разных значениях вектора х.

Вместе с тем математические методы принятия решений совместно с методами оптимизации могут помочь исследователю принять правильные (разумные) рекомендации и в этом случае.

Существующие способы многокритериальной оптимизации мож­но разбить условно на две группы. Первая группа предполагает введение дополнительных гипотез, позволяющих свести задачу многокритериальной оптимизации к задаче однокритериальной оптимизации. Этот прием называют скаляризацией или свертыва­нием (сворачиванием) показателен (критериев). Вторая группа способов предполагает сокращение множества исходных вариан­тов решений путем неформального анализа этих вариантов.

8. 1 Методы свертывания показателей

Ограничимся обсуждением лишь наиболее тельных способов свертывания показателей.

1. Простейший способ сведения многокритериальной задачи оптимизации к задаче однокритериальной оптимизации состоит в выделении одного основного показателя, например f1(х.), и пере­воде остальных (вспомогательных) показателей в разряд огра­ничений. Задача принимает следующий первичный вид

x*=arg min f₁(x)

при условиях f₂(x)≤f*_2, f₃(x)≤f*_{3, …} f_m(x)≤f*_m,

Данный способ является наиболее распространенным в инже­нерной практике. Для его использования достаточно лишь разумно назначать допустимые границы вспомогательных показателен.

2. Следующим широко распространенным способом свертки показателей является линейная свертка. Суть этого способа состоит в переходе от т показателей f_i (х), i=1, т, к одному показателю f(х) вида

где α_i — весовые коэффициенты, характеризующие значимость соответствующего показателя и устанавливающие определенный компромисс между нимн за счет ранжирования целей по их важ­ности. Как правило, а; — положительные, нормированные тем или

иным способом коэффициенты, например

Следует подчеркнуть, что назначение коэффициентов а; и является той дополнительной гипотезой, которая сводит исходную задачу с многими показателями к задаче с одним показателем. Сам процесс является неформальным актом. Он требует проведения тщательного анализа самой задачи. Оконча­тельное назначение коэффициентов к, часто осуществляется путем последовательных приближений на основе предварительных реше­ний задачи при различных значениях α_i.

Минимаксная свертка.

Часто в задачах с многими показа­телями удается сформировать некоторую систему контрольных значений показателей f_i*, i= 1, т, являющихся по сути оценками сверху для рассматриваемых показателей f_i (x)≤f_i*, i= 1, т. Если теперь в качестве меры близости показателей к своим кон­трольным значениям (Г использовать следующую функцию мак­симума