Кольца ньютона. Применения явления интерференции.

Вопросы:

1. Кольца Ньютона.

2. Применения явления интерференции. Просветление оптики.

1.Кольца Ньютона. Классическим примером полос равной толщины являются кольца Ньютона. Они наблюдаются при отражении света от соприкасающихся друг с другом плоскопараллельной толстой стеклянной пластинки и плоско-выпуклой линзы с большим радиусом кривизны.

Рис.7. стр.463 кн. Наркевич

Наблюдаются кольца Ньютона и с системой соприкасающихся плосковогнутой и плосковыпуклой линз с большим радиусом кривизны, причем радиус кривизны плосковогнутой линзы должен быть больше радиуса кривизны плосковыпуклой линзы.

Роль тонкого клина, от поверхности которого отражаются когерентные волны, играет воздушный зазор между стеклянной пластинкой и линзой (рис.7). Вследствие большой толщины пластинки и линзы за счет отражений от других поверхностей интерференционные полосы не возникают. Луч света падает нормально на плоскую поверхность линзы и частично отражается от верхней и нижней поверхностей воздушного зазора. Отраженные лучи когерентны и при их наложении возникают полосы равной толщины. При нормальном падении света полосы равной толщины имеют вид концентрических окружностей, при наклонном падении - эллипсов. Определим оптическую разность хода отраженных лучей и найдем радиусы колец Ньютона при нормальном падении света на пластину. В этом случае sinQ₁ = О и D равна удвоенной толщине зазора (предполагается n₀ = 1). Из рис. 7 следует, что

R² = (R – b)² + r² » R² – 2Rb + r², (12)

где R - радиус кривизны линзы, r - радиус окружности, всем точкам которой соответствует одинаковый зазор толщиной b. Считаем b² < 2Rb, тогда из (12) получим, что b = г²/2R. Чтобы учесть возникающее при отражении от стеклянной пластинки изменение фазы на p, нужно к D = 2b = r²/R прибавить lо/2. Тогда оптическая разность хода лучей окончательно запишется так

D = r²/R + lо/2. (13)

В точках, для которых

D = m'lо ⁼ 2m'(lо/2),

возникают максимумы, в точках, для которых

D = (m' + 1/2)lо = (2m'+ 1)(lо/2),

- минимумы интенсивности.

Оба условия можно объединить в одно:

D = mlо/2, m = 1, 2, 3, … (13а)

причем четным значениям m будут соответствовать максимумы, а нечетным -минимумы интенсивности. Приравняв(13) и (13а) и разрешив получившееся уравнение относительно r, найдем радиусы светлых и темных колец Ньютона:

r_m = ÖRlо(m- 1)/2, (m =1,2,3,...). (14)

Четным значениям m соответствуют радиусы светлых колец, нечетным m - радиусы темных колей. Значению m =1 соответствует точка касания пластинки и линзы (г = 0). В этой точке наблюдается минимум интенсивности, обусловленный изменением фазы волны на p при отражении световой волны от стеклянной пластинки.

Измеряя расстояния между полосами интерференционной картины для тонких пластин или радиусы колец Ньютона, можно определить длины волн световых лучей и, наоборот, при известной длине волны l_о найти радиус кривизны линзы R.

Интерференцию можно наблюдать и в проходящем свете, причем в данном случае не наблюдается потери полуволны, появляющейся при отражении света от стеклянной пластины. Следовательно, оптическая разность хода для проходящего и отраженного света отличается на l₀/2, т.е. максимумам интерференции в отраженном свете соответствуют минимумы в проходящем, и наоборот.

При освещении оптической системы не монохроматическим, а белым светом наблюдается совокупность смещенных друг относительно друга интерференционных полос (колец), образованных лучами разных длин волн, и интерференционная картина приобретает радужную окраску.

2.Применения явления интерференции. Просветление оптики. Интерферометры. Наблюдение полос равной толщины используется в различных задачах техники, в частности, при определении качества полировки оптических поверхностей. Исследуемую оптическую пластинку накладывают на контрольную так, чтобы между ними образовался тонкий воздушный клин. Сверху пластинки освещают монохроматическим светом и наблюдают интерференционные полосы в отраженном свете. Если поверхности обеих пластин идеально плоские, то наблюдаются совершенно прямые полосы равной толщины, параллельные ребру клина. Имеющиеся на поверхности дефекты приводят к искривлению полос, по виду которых легко отличить «впадину» от «бугра». По величине искривлений можно определить наличие отклонений от плоскости меньшие 0,1 длины волны λ интерферирующего света.

Исследования полос равной толщины используют для точного измерения малых углов между оптическими поверхностями и для решения других метрологических задач.

При создании оптических систем с большим числом отражающих поверхностей даже при относительно малом коэффициенте отражения каждой из них в системе теряется на отражение значительная часть светового потока. Значительное отражение света от поверхности линз оптических приборов приводит к возникновению бликов, что, например, в военной технике демаскирует местоположение прибора. Явление интерференции используют для уменьшения коэффициента отражения на каждой поверхности (просветление оптики). Для этого на поверхности линзы наносят тонкие пленки с показателем преломления n, меньшим показателя преломления стекла линзы n_c. рис. 8. Световые волны, отраженные от внешней и внутренней поверхностей пленки когерентны, лучи 1^´ и 2´. Толщину пленки b и показатели преломления

Рис.8. (стр.329 Трофимовой), только заменить d на b.

стекла n_с и пленки n можно подобрать таким образом, чтобы световые волны, отраженные от обеих поверхностей пленки, находились в противофазе и гасили друг друга. В этом случае при нормальном падении света на поверхность линзы оптическая разность хода равна

Δ = 2nb = (m + 1/2) λ₀ ,

так как изменение фазы волны на π (потеря полуволны) происходит на обеих поверхностях. Обычно делают пленку такой толщины, что m = 0, тогда оптическая толщина пленки nb = λ₀ /4. Наибольшее ослабление отраженного света происходит при равенстве амплитуд отраженных волн, что выполняется при условии

n = √n_c.

Поскольку при интерференции энергия световой волны не изменяется, а только перераспределяется в пространстве, то при нанесении такой тонкой пленки на поверхность линз оптическая система «просветляется», т.е. больше света проходит через оптическую систему. Показатели преломления n и n_c зависят от длины волны, поэтому это соотношение выполняется только для некоторого интервала длин волн. Обычно просветление оптики делается для наиболее восприимчивой глазом длины волны λ₀ ≈ 550 нм.

В последнее время разработаны способы многослойного покрытия, обеспечивающего наиболее эффективное просветление в приборах с большим числом преломляющих поверхностей и позволяющего избежать заметного изменения спектрального состава проходящего через оптическую систему излучения.

При нанесении на оптическую поверхность пленки c оптической толщиной nb = λ₀ /4 и показателем преломления n > n_c будет наблюдаться увеличение коэффициента отражения, так как в этом случае потеря полуволны происходит только на передней поверхности пленки, а оптическая разность пути равна Δ = (2× λ /4 + λ /2) = λ, и обе волны будут усиливать друг друга. Добиться еще больших коэффициентов отражения можно, если вместо двухлучевой интерференции использовать многолучевую интерференцию, возникающую при наложении большого числа когерентных световых волн. В этом случае интерференционные максимумы интенсивности окажутся тем более узкими, чем больше N – число интерферирующих пучков, а их интенсивность увеличится в N² раз.

Многолучевую интерференцию можно осуществить в многослойной системе чередующихся тонких пленок с одинаковой оптической толщиной n_ib_i = λ /4, но разными показателями преломления, нанесенными на отражающую поверхность, рис. 9. Между двумя слоями с большим показателем преломления помещают слой с малым показателем преломления. В этом случае возникает большое число отраженных когерентных волн, которые синфазны и будут взаимно усиливаться, т.е. коэффициент отражения на определенной длине волны увеличивается.

Рис.9.

Подобные интерференционные зеркала применяются в лазерной технике, используются при изготовлении интерференционных светофильтров (узкополосных оптических фильтров) и многослойных интерференционных поляризаторов.

Практическим применением интерференции являются прецизионные измерения малых линейных размеров и показателей преломления прозрачных сред. Для этого служат приборы, называемые интерферометрами.

Интерферометры также позволяют определять незначительные изменения показателя преломления прозрачных тел (газов, жидкостей и твердых тел) в зависимости от давления, температуры, примесей и т.п. Имеется много разновидностей интерференционных приборов, называемых интерферометрами. Принцип действия их одинаков, и различаются они лишь конструктивно. Рассмотрим упрощенную оптическую схемы интерферометра Майкельсона, рис. 10.

Рис.10. (стр.330 кн. Трофимова), только дополнить рис. зрительной трубой Т.

Пучок монохроматического света от источника S падает под углом 45⁰ на полупрозрачную плоскопараллельную пластинку Р₁, покрытую тонким слоем серебра (заштрихованная сторона пластинки), которая разделяет луч на две части равной интенсивности: отраженный от посеребренного слоя луч 1 и прошедший через пластинку луч 2. Световой луч 1 отражается от зеркала М₁ и возвращается к Р₁, где делится на два равных по интенсивности луча. Один из них проходит сквозь пластинку (луч 1′), второй отражается в сторону источника света S и нас больше интересовать не будет. Луч 2 распространяется в сторону зеркала М₂, отражается от него, вновь возвращается к пластинке Р₁, где делится на две части: отразившийся луч 2^′ и прошедший сквозь нее луч, который также нас не интересует. Поскольку лучи 1′ и 2^′ получены от одного источника света, то они когерентны и будут интерферировать. Результат интерференции зависит от оптической разности хода лучей от пластинки Р₁ до зеркал М₁ и М₂ и обратно. Так как луч 1′ проходит сквозь пластинку Р₁ дважды, то для компенсации возникшей за счет этого оптической разности хода на пути луча 2^′ нужно поставить точно такую же, как Р₁, пластинку Р₂, но не покрытую серебром. Таким способом уравниваются пути лучей 1 и 2 в стекле. Интерференционная картина наблюдается с помощью зрительной трубы Т.

При перемещении любого из зеркал с помощью микрометрического винта на расстояние λ₀ /4 разность хода обоих лучей изменится на λ₀ /2 и произойдет смена освещенности зрительного поля трубы. Так, по незначительному смещению интерференционной картины можно определить перемещение зеркал и таким образом использовать интерферометр Майкельсона для точного (порядка 10^-7 м) измерения длин тел, длины волны света и т.д.

Используя интерферометр, Майкельсон в 1890 – 1895 гг. впервые произвел сравнение длины волны красной линии кадмия с международным эталоном метра. С помощью интерферометра Майкельсона исследовалось распространение света в движущихся средах, что привело к фундаментальным изменениям представлений о пространстве и времени. В 1920 г. Майкельсон построил звездный интерферометр, позволивший измерять малые угловые расстояния между двойными звездами и угловые размеры звезд.

Интерферометры можно использовать для измерения показателя преломления прозрачного вещества n_x. Такие интерферометры называются интерференционными рефрактометрами. В них на пути одного из лучей нужно поставить кювету длиной l с исследуемым веществом, а на пути другого луча – такую же кювету с эталонным веществом, показатель преломления которого n₀ известен. Возникающая между интерферирующими лучами оптическая разность пути Δ = l(n_x - n₀) приводит к сдвигу интерференционных полос, по которому можно вычислить изменение n_x - n₀, а значит и n_x. Такой интерферометр позволяет производить измерения n_x с относительной точностью порядка 10^-6.

Российский физик В.П. Линник на основе комбинации интерферометра Майкельсона и микроскопа создал микроинтерферометр, предназначенный для контроля чистоты обработки металлических поверхностей высокого класса точности. В микроинтерферометре наблюдают интерференционную картину полос равной толщины, искривления которых зависят от микрорельефа исследуемой поверхности.

В.П. Линник построил интерферометр позволяющий контролировать прямолинейность поверхностей большого размера длиной до 5м с точностью до 1 мкм.

Интерференционный дилатометр Физо-Аббе используется для точных измерений коэффициента расширения различных веществ.

ДИФРАКЦИЯ СВЕТА.

Вопросы:

1. Явление дифракции света. Виды дифракции.

2. Принцип Гюйгенса-Френеля. Зоны Френеля.

3. Дифракция Френеля на круглом экране и круглом отверстии.

4. Дифракция Фраунгофера на одной щели.

1. Явление дифракции света. Виды дифракции. Дифракцией называется совокупность явлений, которые обусловлены волновой природой света и наблюдаются при распространении его в среде с резкими неоднородностями и связанных с отклонениями от законов геометрической оптики. Дифракция, в частности, приводит к огибанию световыми волнами препятствий и проникновению света в область геометрической тени. Огибание препятствий звуковыми волнами (т.е. дифракция звуковых волн) наблюдается постоянно в обыденной жизни. Например, звук хорошо слышен за углом дома, т.к. звуковая волна его огибает. Для наблюдения дифракции световых волн необходимо создание специальных условий. Это обусловлено малостью длин световых волн. В пределе при l®0 законы волновой оптики переходят в законы геометрической оптики.

Между явлениями интерференции и дифракции нет существенных различий. При обоих явлениях происходит перераспределение энергии световых волн в результате их суперпозиции. Исторически так сложилось, что перераспределение интенсивности, возникающее в результате суперпозиции волн, возбуждаемых конечным числом дискретных когерентных источников, принято называть интерференцией волн, а вследствие суперпозиции волн, возбуждаемых когерентными источниками, расположенными непрерывно, принято называть дифракцией.

Для наблюдения дифракции на пути световой волны, распространяющейся от некоторого источника, помещается непрозрачная преграда, закрывающая часть волновой поверхности. За преградой помещается экран, на котором наблюдается дифракционная картина.

Различают два вида дифракции. Если источник света S и точка наблюдения М расположены от препятствия настолько далеко, что лучи, падающие на препятствие, и лучи, идущие в точку М, образуют практически параллельные пучки, то говорят о дифракции в параллельных лучах или о дифракции Фраунгофера. Дифракцию Фраунгофера можно наблюдать также по схеме, представленной на рис.1а, причем точки S и М должны находиться в фокальной плоскости соответствующей линзы. Дифракцию Френеля можно наблюдать, если свет от точечного источника S падает на отверстие или непрозрачный диск, которые расположены достаточно близко от источника света, рис. 1б.

Рис.1а. Рис.1б.

2. Принцип Гюйгенса-Френеля. Зоны Френеля. Проникновение световых волн в область геометрической тени можно объяснить с помощью принципа Гюйгенса, согласно которому каждая точка, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн, а огибающая этих волн задает положение волнового фронта в следующий момент времени. Однако этот принцип не позволяет вычислить амплитуду (интенсивность) волн, распространяющихся в различных направлениях. Френель дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн. Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет найти амплитуду результирующей волны в любой точке пространства. Развитый таким образом принцип Гюйгенса получил название принципа Гюйгенса - Френеля: все источники вторичных волн, расположенные на поверхности фронта волны, когерентны между собой; световая волна в любой точке пространства является результатом интерференции волн, излучаемых вторичными источниками и достигших этой точки. При этом предполагается, что вторичные волны излучаются только вперед, а возможность возникновения обратных вторичных волн исключается. Поскольку точек фронта, являющихся когерентными источниками новых волн, бесчисленное множество, то расчет интерференции сводится к довольно громоздкому интегрированию. Для упрощения решения этого вопроса Френелем был предложен метод разделения фронта волны на зоны таким образом, что волны от соседних зон приходят в точку наблюдения в противоположной фазе и ослабляют друг друга. С методом зон Френеля ознакомимся на примере дифракции сферической световой волны на непрозрачной преграде.

Пусть S - точечный источник монохроматического света, распространяющегося в однородной среде. По принципу Гюйгенса от него распространяется во все стороны сферическая волна. В некоторый момент времени фронт этой волны занимает положение Ф, рис.2. Рассмотрим произвольную точку М перед фронтом волны и соединим её прямой линией с источником света S . Волновые поверхности будут симметричны относительно прямой SМ.

Рис.2.

Если бы свет распространялся прямолинейно вдоль луча SРМ, то достаточно было бы поставить на его пути сколь угодно малый экран 1 , чтобы в точке наблюдения М была полная темнота. Благодаря волновой природе света в точку М приходят волны не только от точки Р, но и от всех остальных точек фронта Ф, правда в различных фазах.

Для расчета результатов интерференции Френель предложил провести ряд сфер с центрами в точке М и радиусами, соответственно равными

МN₁ = МP +l/2,

MN₂ = МN₁ +l/2 = МP + 2l/2,

MN₃ = МN₂ +l/2 = МP + 3l/2, и т.д.

Тем самым фронт волны Ф разобьется на ряд кольцевых зон, заштрихованных на рис.2 через одну. Волны, приходящие в точку М от точек каждой последующей зоны, сдвинуты по отношению к волнам, приходящим от соответствующих точек предыдущей зоны, на λ/2, т.е. находятся в противоположных фазах, и их амплитуды при интерференции вычитаются. Из геометрического рассмотрения можно получить выражение для радиуса внешней границы m - ной зоны:

r_m=√abmλ/(a + b), m = 1, 2, 3, … (1)

Если, например, а = b = 1 м и λ = 0,5 мкм, то радиус первой зоны r₁ = 0,5 мм.

Занумеруем величины суммарных амплитуд волн, приходящих в точку М от каждой последующей зоны: А₁, А₂, а₃, А₄, А₅, А₆, ....

Благодаря различию в расстояниях зон до точки наблюдения и в углах, под которыми видны эти площадки из точки М, величины этих амплитуд монотонно убывают:

А₁> А₂> а₃> А₄> А₅> А₆, ....

В качестве допустимого приближения можно принять, что амплитуда колебания от некоторой k - той зоны Френеля А_k равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон:

А_k = (А_k+1 + А_k-1)/2. (2)

Амлитуда результирующего светового колебания в точке М, равна сумме амплитуд, создаваемых каждой отдельной зоной. При этом амплитуды от всех четных зон надо складывать с одинаковым знаком (например, положительными), а амплитуда волн от всех нечетных зон - с обратным знаком:

А = А₁ - А₂ +А₃ - А₄ + А₅ -.... (3)

Используя (2), можно это выражение представить в виде

А = А₁/2 + (А₁/2 – А₂ +А₃/2) + (А₃/2 –А₄ + А₅ /2) + ... » А₁/2, (4)

так как оставшаяся часть от амплитуды последней зоны ± А_k/2 мала.

Таким образом при большом числе открытых зон Френеля амплитуда от воздействия всего фронта Ф в точке наблюдения М равная А = А₁/2 эквивалентна половине воздействия центральной зоны Френеля, т.е. распространение света от источника S в точку наблюдения М происходит так, будто свет распространяется прямолинейно вдоль направления SМ. Значит, волновое описание процесса распространения света не противоречит закону прямолинейного распространения света в однородной среде, используемого в геометрической оптике.

3. Дифракция света на круглом экране и круглом отверстии. Если на пути света от точечного источника S поставить не слишком большой круглый экран 2 так, чтобы перпендикуляр, опущенный на него из источника света, проходил через его центр, то в точке наблюдения М по-прежнему будет свет, хотя и меньшей интенсивности, рис.2.

Проведя через край экрана 2 линию МN₀, произведем деление фронта световой волны Ф, начиная от точки N₀, на такие же зоны Френеля, как и ранее. Повторяя все рассуждения, получим, что для идеального круглого экрана 2, закрывающего (m – 1) первых зон Френеля, результирующая амплитуда колебаний в точке М будет А' = А_m¢/2, где А_m¢ - амплитуда первой открытой зоны, отсчитываемой от N₀. По мере увеличения экрана 2 величина А' будет убывать, но точка М остается освещенной всегда практически до тех пор, пока экран не закроет достаточно большого числа зон Френеля. Лишь в этом последнем случае станет справедливым положение геометрической оптики о прямолинейном распространении света: препятствие, перекрывающее луч SМ, даст в точке наблюдения геометрическую тень. Вблизи границ тени будет наблюдаться слабая дифракционная картина.

Более того, если сделать "зонный экран" 3, состоящий из ряда непрозрачных колец, закрывающих все нечетные (или все четные) зоны Френеля, то результирующая амплитуда

А= А₂ + А₄ + А₆ .... (5)

оказывается даже большей, чем при отсутствии всякого экрана. Т.е. такой экран действует подобно собирательной линзе. Еще большего эффекта можно достичь, не перекрывая четные (или нечетные) зоны, а изменяя фазу их колебаний на p. Это можно осуществить с помощью прозрачной пластинки, толщина которой в местах, соответствующих четным или нечетным зонам, отличается на определенную величину. Такая пластинка называется фазовой зонной пластинкой. По сравнению с перекрывающей зоны амплитудной зонной пластинкой применение фазовой пластинки даст дополнительное увеличение амплитуда в два раза, а интенсивности света - в 4 раза.

Деление фронта волны Ф на зоны Френеля является относительным и зависит от расстояния до точки наблюдения М,

Пренебрегать дифракционными явлениями и рассматривать свет распространяющимся прямолинейно вдоль лучей, исходящих от источника, допустимо лишь, если размеры экрана велики по сравнению с размерами зон Френеля. Чем короче l, тем меньше размеры этих зон и тем точнее можно пользоваться приближенными понятиями лучевой (геометрической) оптики. Т.к. для видимого света l = 0,4 - 0,8 мкм, то при наблюдении макроскопических тел этими приближениями можно пользоваться с достаточной точностью. Однако при уменьшении размеров тел начинают проявляться дифракционные явления.

Поставим на пути сферической световой волны распространяющейся от источника света S непрозрачный экран с вырезанным в нем круглым отверстием радиуса r. Расположим экран так, чтобы перпендикуляр, опущенный из источника света S, попадал в центр отверстия. На продолжении этого перпендикуляра возьмем точку Р, в которую поместим экран, параллельный плоскости отверстия, рис.3.

Рис.3.(стр.380, Савельев)

Если расстояния а и b удовлетворяют соотношению (1), где m - целое число, то отверстие оставит открытым ровно m первых зон Френеля, построенных для точки Р. Из (1) число открытых зон Френеля определяется выражением

m = r_m²(1/а+1/b)/l. (6)

В соответствии с (3) амплитуда результирующего колебания в точке Р будет равна

А = А₁ -А₂ +А₃ –А₄ +....±А_m (7)

Перед А_m берется знак «+», если m нечетное, и минус, если m - четное. Представив (7) в виде, аналогичном (4), и положив выражения в скобках равными нулю, получим

А = А₁/2 + А_m /2 (m - нечетное), (8)

А=А₁/2 +А_m-1/2 – А_m (m - четное).

Амплитуды от двух соседних зон практически одинаковы. Поэтому (А_m-1/2) – А_m можно заменить через - А_m/2. В результате получится:

А = А₁/2 ± А_m/2, (9)

где знак «+» берется для нечетных значений m и минус - для четных.

Для малых m амплитуда А_m мало отличается от А₁. Следовательно, при нечетных m амплитуда в точке Р будет приблизительно равна а₁, при четных m – нулю, см. рис.3.

А какая будет освещенность в других точках экрана? Вследствие симметричного расположения отверстия относительно прямой SР освещенность в разных точках экрана будет зависеть только от расстояния х от точки Р. Если смещаться по экрану в точку Р¢ и далее, то дифракционная картина будет иметь вид чередующихся светлых и темных концентрических колец. Изменение освещенности экрана в зависимости от расстояния от точки Р показано на рис.3. Если отверстие открывает лишь часть центральной зоны Френеля, на экране получается размытое светлое пятно; чередования светлых и темных колец в этом случае не возникает, рис.Х.

Аналогичная картина на экране получается и в рассмотренном выше случае, когда между источником света и экраном помещается непрозрачный круглый диск. Дифракционная картина на экране будет иметь вид чередующихся светлых и темных концентрических колец. В центре картины наблюдается светлое пятно.

Подобным образом можно рассматривать дифракцию Френеля от прямолинейного края полуплоскости и дифракцию от бесконечной щели.

4. Дифракция Фраунгофера на одной щели. Пусть на бесконечно длинную щель (длина щели во много раз больше, чем ее ширина) шириной а падает нормально к щели плоская монохроматическая световая волна, рис.4.

Рис.4.

Поместим за щелью собирательную линзу, а в фокальной плоскости линзы - экран. Волновая поверхность падающей волны, плоскость щели и экран параллельны друг другу. Поскольку щель бесконечна, интерференционная картина, наблюдаемая в плоскости любого сечения, перпендикулярного к щели, будет одинакова. Поэтому достаточно исследовать интерференционную картину в плоскости одного такого сечения.

Когда фронт волны дойдет до щели и займет положение MN, то все его точки являются новыми источниками волн, распространяющихся во все стороны вперед от щели. Рассмотрим волны, распространяющиеся от точек плоскости MN в направлении, составляющем некоторый угол j с первоначальным направлением распространения света. Эти волны, проходя через линзу, сойдутся в некоторой точке B на экране, расположенном в фокальной плоскости линзы. Лучи, распространяющиеся от щели под различными углами, будут собираться в различных точках экрана и при наложении в результате интерференции дадут на экране дифракционную картину.

Опустим из точки M перпендикуляр MF на направление выделенного пучка лучей. Тогда от плоскости MF и далее до фокальной плоскости Е параллельные лучи не меняют своей разности хода. Разность хода, определяющая условия интерференции, возникает лишь на пути от исходного фронта MN до плоскости MF и различна для разных лучей.

Для расчета интерференции всех этих лучей применим метод зон Френеля. Для этого мысленно разделим линию NF на ряд отрезков длиной l/2. На расстоянии NF = аsinj уложится

Z = (аsinj)/(l/2) (10)

таких отрезков. Проводя из концов этих отрезков линии, параллельные MF, до встречи их с MN, разобьём фронт волны в щели на ряд полосок одинаковой ширины - зон Френеля. Число зон Френеля Z, укладывающихся на ширине щели, как следует из выражения (10), зависит от угла j. Волны, идущие от каждых двух соседних зон Френеля, приходят в точку B в противоположной фазе и гасят друг друга. Если число зон четное (Z = 2m, где m - целое число, неравное нулю), то каждая пара соседних зон взаимно погасит друг друга, так что при данном угле j на экране будет наблюдаться минимум освещенности. Углы j, соответствующие этим минимумам освещенности, находятся из условия:

аsinj_min = 2ml/2, m = 0, ±1, ±2, ±3, .... (11)

В промежутках между минимумами на экране наблюдаются максимумы освещенности при углах j, определяемых из условия

аsinj_max = (2m + 1)l/2, m = 0, ±1, ±2, ±3, .... (12)

Для этих углов фронт MN разбивается на нечетное число зон Френеля Z = 2m +1 и одна из зон остается нескомпенсированной. Амплитуда колебания в этом случае будет составлять долю ~ 1/(2m+1), а интенсивность ~ 1/(2m+1)² от суммарной амплитуды, создаваемой всеми зонами фронта MN.

Для точки экрана O, лежащей против центра линзы, угол j = 0, а щель действует как одна зона Френеля и в этом направлении свет от щели распространяется в одной фазе и в точке О будет наблюдаться наибольшая интенсивность - центральный максимум. По обе стороны от него интенсивность будет спадать до первого минимума, а затем увеличиваться до следующего максимума, рис.4. На экране Е будут наблюдаться перемежающиеся светлые и темные полосы с постепенными переходами между ними. Центральная полоса будет наиболее яркой, а освещенность боковых максимумов будет убывать от центра к переферии.

Ширина и число этих полос будут зависеть от отношения а/l. Из (10) следует, что sinj = Zl/2а. Поскольку модуль sinj не может превышать единицу, то Zl/2а ≤ 1, откуда

Z ≤ 2a/l. (13)

Если щель очень узкая, а«l, то вся поверхность MN является лишь небольшой частью одной зоны и колебания от всех её точек будут по любому направлению распространяться почти в одинаковой фазе. Условие минимума (11) не может быть выполнено даже для самого меньшего значения m = 1 и интенсивность света монотонно убывает от середины интерференционной картины к ее краям, асимптотически приближаясь к нулю. Сечение такой щели является практически точечным источником света, и волна от него будет распространяется практически одинаково во всех направлениях.

Если щель очень широкая, а»l, то уже первый минимум будет соответствовать очень малому отклонению от прямолинейного распространения света под углом

(j₁)_min = arcsinl/a »l/a <<1. (14)

Следующий минимум будет при угле (j₂)_min » 2l/a и т.д. В результате прохождения через такую широкую щель плоской световой волны на экране наблюдается геометрическое изображение щели, окаймлённое по краям тонкими практически неразличимыми глазом перемеживающимися темными и светлыми полосками.

Чётко выраженные широкие дифракционные максимумы и минимумы будут наблюдаться лишь в промежуточном случае, когда ширина щели всего в несколько раз превышает длину волны и z_max имеет значение порядка 3-5.

Положение на экране дифракционных максимумов зависит от длины волны, поэтому при освещении щели белым светом центральный максимум будет наблюдаться в виде узкой белой полоски, так как при угле j = 0 оптическая разность пути одинакова для света всех длин волн. Боковые дифракционные максимумы для различных длин волн разойдутся, так как согласно (12), чем меньше l, тем под меньшими углами расположены дифракционные максимумы. Справа и слева от центрального максимума будут наблюдаться радужно окрашенные боковые максимумы интенсивности - дифракционные спектры первого, второго и т. д. порядка – цветные полосы с чередованием цветов от фиолетового к красному, обращенные фиолетовым краем к центру, рис.5. Однако они настолько расплывчаты, что отчетливого разделения различных длин волн с помощью дифракции на одной щели получить невозможно.

Рис.5.

ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЕТКА, ДИФРАКЦИОННЫЙ СПЕКТР. ДИСПЕРСИЯ И РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ РЕШЁТКИ.

Вопросы:

1. Дифракционная решетка.

2. Дифракционный спектр.

3. Дисперсия и разрешающая способность.

4. Дифракция рентгеновских лучей на кристаллической решетке.

1. Дифракционная решетка. Для увеличения интенсивности и более четкого разделения цветов следует воспользоваться не одной щелью, а целой дифракционной решеткой, которая представляет собой ряд параллельных щелей одинаковой ширины а, разделённых между собой непрозрачными промежутками шириной b. Сумма

а + b = 1 (1)

называется периодом или постоянной дифракционной решетки.

Конструктивно дифракционная решетка для видимого света изготавливается путем нанесения на прозрачную стеклянную пластинку с помощью алмазного резца делительной машины ряда тонких параллельных штрихов-канавок одинаковой ширины b на равных расстояниях а друг от друга. Поверхность стекла внутри канавок становится матовой, и эти канавки являются непрозрачными промежутками, разделяющими участки с ненарушенной поверхностью - "щели"_решётки, рис.1.

Дифракционные решетки имеют обычно от 100 до 600 щелей на 1 мм, т.е. период l =10-2 мкм. Лучшие решетки содержат до 1800 щелей на 1 мм, при общей длине до нескольких см., так что общее число щелей достигает 10⁵.

Рис.1.

Рассмотрим плоскую монохроматическую волну, нормально падающую на решетку, рис.2. Поместим параллельно решетке собирающую линзу L, а в ее фокальной плоскости – экран E. Каждая из параллельных щелей решётки дает на экране дифракционную картину, показанную на рис.2 пунктиром. Линза L собирает параллельные когерентные лучи, идущие от всех щелей под углом φ к главной оптической оси, в одну и ту же точку М фокальной плоскости. При параллельности всех щелей дифракционной решётки и строгой одинаковости их размеров амплитуды колебаний, создаваемых в точке М каждой щелью в отдельности, будут одинаковы. Практически одинаковым будет и распределение вдоль экрана интенсивностей и амплитуд колебаний, приходящих от каждой щели. Дифракционная картина на решетке определяется как результат взаимной интерференции большого числа волн, идущих от всех щелей.

Pис.2.

На центральной линии экрана, проходящей через главный фокус линзы О, лучи, идущие от всех щелей, сходятся без дополнительной разности хода, т.е. приходят в одинаковой фазе. При этом амплитуды их колебаний просто складываются, и в случае N одинаковых щелей амплитуда результирующего колебания будет в N раз, а интенсивность в N² раз больше, чем в случае одной щели.

Лучи, идущие от разных щелей под углом j, отличным от нуля, сходятся в точке М, пройдя различные оптические пути и имея различные фазы колебаний. Они дают при интерференции более сложную картину.

Рассмотрим две соседние щели. Из рис.2 видно, что лучи, идущие от соответственных точек обеих щелей (крайних, центральных или промежуточных), имеют одну и ту же разность хода

D = l sinj (2)

и приходят в точку М со сдвигом фазы y = 2p(l sinj)/l. Такой же точно сдвиг фазы y будет между колебаниями, приходящими от третьей щели и второй, четвертой и третьей, и т.д.

Резкое возрастание амплитуды результирующего колебания наблюдается в тех случаях, когда амплитуды колебаний от всех щелей А_i направлены одинаково, т.е. имеют сдвиг фазы кратный 2p (рис.3), что соответствует разности хода между соседними щелями D кратной четному числу полуволн:

lsinj_m = 2ml /2 = ml, m = 0, ±1, ±2, ±3, .... (3)

Условие (3) характеризует положение главных максимумов дифракционной решетки. При углах j_k, удовлетворяющих (3), амплитуда результирующего колебания А = NА₁ и интенсивность дифракционной картины возрастает в N² раз по сравнению с дифракцией от одной щели. Вследствие взаимной интерференции световых лучей из N щелей в некоторых направлениях они будут гасить друг друга. В этих направлениях между главными максимумами располагаются дополнительные минимумы интенсивности, разделенные вторичными максимумами, интенсивность которых значительно меньше, чем главных максимумов.

С увеличением N возрастает четкость дифракционной картины - увеличивается интенсивность и уменьшается ширина главных максимумов. Вследствие интерференции происходит перераспределение энергии в пространстве, и эта энергия концентрируется во все более узком интервале углов Dj.

Подчеркнем, что хотя положение главных максимумов решетки не зависит от числа щелей, наличие большого числа щелей очень существенно:

А

Рис.3.

1)яркость каждой линии растет как N², 2) ширина каждой линии убывает как 1/N. Тем самым увеличивается точность производимых измерений.

2. Дифракционный спектр. Если на дифракционную решетку будет падать немонохроматический свет, то все дифракционные максимумы, кроме центрального, для лучей разного цвета разложатся в спектр. Центральный максимум (m = 0) для всех длин волн будет совпадать при j = 0. Максимумы первого порядка (m = 1) будут для фиолетовых лучей расположены ближе к центру, чем для красных. Между ними расположатся максимумы промежуточных цветов, и мы будем наблюдать дифракционный спектр первого порядка. Между нулевым и первым порядками спектра расположена практически темная зона очень слабых вторичных максимумов. Такая же темная зона расположена между красным концом спектра первого порядка и фиолетовым краем спектра второго порядка, рис.4.

Рис.4.

Благодаря узости дифракционных максимумов решетки различные цвета почти не накладываются друг на друга. Это свойство дифракционной решетки используется для исследования спектрального состава света (определения длин волн и интенсивностей всех монохроматических компонентов), т.е. дифракционная решетка может быть использована как спектральный прибор. Для этого решетка D помещается на столике гониометра и освещается параллельным пучком света из коллиматора К (рис.5.). Разложенный дифракционной решеткой в спектр свет регистрируется фотоприемником r или наблюдается в зрительную трубу. Угол φ можно изменять и определять по шкале гониометра.

Спектр дифракционной решетки получается тем более четким, чем больше щелей N содержит решетка. Максимальное число наблюдаемых дифракционных спектров определяется из условия, чтобы модуль sinj_m £ 1, т.е.

m_max£ l/l. (4)

Из условия

sinj_m =ml/l (5)

видно, что синусы углов в спектре данного порядка прямо пропорциональны длинам волн, т.е. дифракционные спектры, в отличие от спектров призматических монохроматоров, всегда одинаковы и равномерны. По­мещая дифракционную решетку D на столик гониометра ( рис.5) и освещая ее пучком параллельных лучей через щель коллиматора К, можно, измеряя угол j_m, под которым видны данные лучи в зрительную трубу Т, точно найти их длину волны l.

Отражательная решетка изготовляется процарапыванием параллельных штрихов на зеркальной поверхности. Её теория, по существу, не отличается от теории прозрачной решетки.

Для некоторых областей спектра стекло непрозрачно (например, для УФ-лучей). В этом случае нужно пользоваться кварцевой оптикой и отражательными решетками. Без линз можно обойтись, заменяя плоскую отражательную решетку вогнутой.

3. Дисперсия и разрешающая способность. Основными характеристиками всякого спектрального прибора является его дисперсия и разрешающая способность. Дисперсия определяет угловое или линейное расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на единицу (например, на 1 ангстрем). Разрешающая сила определяет минимальную разность длин волн dl, при которой две линии воспринимаются в спектре раздельно.

Угловой дисперсией называется величина

D = dj/dl, (6)

где dj - угловое расстояние между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на dl (рис.6). Можно показать, что

D = m/lcosφ ≈ m/l, (7)

так как cosφ ≈ 1. Откуда следует, что угловая дисперсия обратно пропорциональна периоду решетки l. Чем выше порядок спектра k, тем больше дисперсия.

Дифракционная решетка

Линза

f j

dj

экран

dl¢

l¢ Рис.6.

Линейной дисперсией называют величину

D_лин = dl¢ /dl, (8)

где dl¢ - линейное расстояние на экране или на фотопластинке между спектр. линиями, отличающимися по длине на dl. Линейная дисперсия связана с угловой дисперсией соотношением

D_лин = fD, (9)

где f - фокусное расстояние линзы, собирающей дифрагирующие лучи на экране. Приняв во внимание (7), запишем

D_лин = fm/l. (10)

Разрешающей силой спектрального прибора называют безразмерную величину

R = l/dl , (11)

где dl - минимальная разность длин волн двух спектральных линий, при которой эти линии воспринимаются раздельно.

Возможность разрешения (т.е. раздельного восприятия) двух близких спектральных линий зависит не только от расстояния между ними, которое определяется дисперсией прибора, но также и от ширины спектральных, максимумов (рис. 7). Согласно критерию Рэлея, изображения двух близлежащих одинаковых точечных источников света или двух близлежащих спектральных линий с равными интенсивностями разрешимы, если центр дифракционного пятна каждого из них пересекается с краем первого темного кольца другого. При выполнении критерия Рэлея интенсивность «провала» между максимумами составляет 80 % интенсивности в максимуме.

Рис.7.

Разрешающая сила дифракционной решетки пропорциональна порядку спектра m и числу щелей N:

R_{дифр. реш.} = mN, (12)

то есть при заданном числе щелей для увеличения разрешающей силы необходимо переходить к большему порядку дифракционного спектра. Современные дифракционные решетки обладают довольно высокой разрешающей силой (до 2×10⁵).

В качестве примера на рис. 7х приведены дифракционные картины для двух спектральных линий, полученные с помощью трех дифракционных решеток с отличающимися значениями дисперсии и разрешающей силы.

Рис.7х. (стр.405, Савельев).

Разрешающая сила решеток 1 и 2 одинакова, но дисперсия первой решетки меньше, чем второй. Решетки 2 и 3 имеют одинаковую дисперсию, но разрешающая сила второй решетки больше, чем третьей.

При падении на объектив света от удаленного точечного источника света в фокальной плоскости объектива вследствие дифракции световых волн вместо точечного изображения наблюдается дифракционная картина в виде светового пятна, окруженного чередующимися темными и светлыми кольцами. Если на объектив падает свет от двух удаленных точечных источников света с некоторым угловым расстоянием δφ, то в фокальной плоскости объектива наблюдается наложение их дифракционных картин. Используя критерий Рэлея можно получить, что наименьшее угловое расстояние между двумя точками, при котором они еще разрешаются объективом с фокусным расстоянием f, равно

δφ = 1,22λf/D, (13)

где D – диаметр входного зрачка объектива.

Величина, обратная δφ, называется разрешающей силой (способностью) объектива

R = 1/ δφ = D/1,22fλ. (14)

Из формулы (14) следует, что для увеличения разрешающей способности оптических приборов необходимо увеличивать диаметр объектива. Поэтому оптические телескопы изготавливают с диаметром входного зеркала в несколько метров.

Для примера, диаметр зрачка человеческого глаза при нормальном освещении равен приблизительно 2·10^-3 м. Для оптического излучения с длиной волны λ = 0,5·10^-6 м и f = 1, получим δφ = 3·10^-4 рад ≈ 1′. Значит, минимальное угловое расстояние между точками, при котором глаз воспринимает их еще раздельно, равно одной угловой минуте.

4. Дифракция рентгеновских лучей на кристаллической решетке. (опустить)!!!!!В 1895 г. Рентген обнаружил, что при электрическом разряде в вакуумной трубке возникает излучение, невидимое для глаз. Дальнейшие исследования показали, что это излучение, названное в дальнейшем рентгеновским, возникает при бомбардировке вещества быстрыми электронами. В современных рентгеновских трубках мишенью, обстреливаемой электронами, является металлическая пластинка - катод, расположенный под углом 45° к потоку электронов. Скорость электронов определяется величиной разности потенциалов между анодом и катодом.

Рентгеновское излучение - жесткое электромагнитное излучение, и оно обладает волновыми свойствами. Для того чтобы обнаружить дифракцию его, необходимо чтобы размеры щелей и преград, образующих правильную решетку на пути волн, были не слишком велики по сравнению с длиной волны. Рентгеновское излучение обладает столь малой длиной волны, что для него на обычных дифракционных решетках дифракция не наблюдается.

Дифракция электромагнитного излучения наблюдается не только на одномерной дифракционной решетке, но и на двух- и трехмерных периодических структурах. Проделаем мысленно следующее. Поставим две дифракционные решетки одну за другой так, чтобы их штрихи были взаимно перпендикулярными. Первая решетка даст, например, в горизонтальном направлении ряд максимумов, положения которых определяются условием

l₁ sinj₁ = ±m₁l (m₁ =0, 1,2,3,..,). (15)

Вторая решетка разобьет каждый из образовавшихся таким образом пучков излучения на расположенные по вертикали максимумы, положения которых определяются условием

l₂ sinj₂ = ±m₂l (m₂ =0, 1,2,...). (16)

В итоге дифракционная картина будет иметь вид правильно расположенных светлых пятен.

Такая же дифракционная картина получится, если вместо двух решеток взять одну прозрачную пластинку с нанесенными на нее двумя системами взаимно перпендикулярных штрихов. Подобная пластинка представляет собой двумерную периодическую структуру.

Дифракция наблюдается также на трехмерных структурах, т.е. пространственных образованиях, обнаруживающих периодичность по трем не лежащим в одной плоскости направлениям. Подобными структурами являются все кристаллические тела. Однако их период (» 10^-10 м) слишком мал для того, чтобы можно было наблюдать дифракцию в видимом свете. В случае кристаллов условие l > l выполняется только для рентгеновского излучения.

Впервые дифракция на кристаллах с использованием очень узких пучков рентгеновского излучения наблюдалась в 1913 г. в опыте Лауэ, Фридриха и Книппинга. Первые методы расчета дифракции от объемной решетки дал Лауэ. Совершенно эквивалентные формулам Лауэ, но гораздо более удобные для анализа, формулы были даны независимо русским ученым Вульфом и английскими физиками У .Г. и У.Л .Брэггами. Метод, предложенный ими, состоит в следующем.

Проведем через узлы кристаллической решетки параллельные равноотстоящие плоскости (рис.8), называемые атомными слоями.

Рис.8. (d заменить на l)

Если падающая на кристалл волна плоская, то огибающая вторичных волн, порождаемых атомами, лежащими в таком слое, также будет представлять собой плоскость. Таким образом, суммарное действие атомов, лежащих в одном слое, можно представить в виде плоской волны, отразившейся от усеянной атомами поверхности по обычному закону отражения.

Плоские вторичные волны, отразившиеся от разных атомных слоев, когерентны и будут интерферировать между собой подобно волнам, посылаемым в данном направлении различными щелями дифракционной решетки. Вторичные волны будут практически гасить друг друга во всех направлениях, кроме тех, для которых разность хода между соседними волнами является кратной l. Из рис.8 видно, что разность хода двух волн, отразившихся от двух соседних атомных слоев, равна 2lsinQ, где l - период идентичности кристалла в направлении, перпендикулярном к рассматриваемым слоям, Q - угол скольжения падающих лучей. Следовательно, направления, в которых получаются дифракционные максимумы рентгеновского излучения, определяется условием

2 l sinQ = ± ml (m =1,2,...). (17)

Это соотношение называется формулой Вульфа – Брэггов.

Атомные слои в кристалле можно провести множеством способов. Каждая система слоев может дать дифракционный максимум, если для нее окажется выполнимым (17). Однако заметную интенсивность имеют лишь те максимумы интенсивности, которые получаются за счет отражений от слоев, достаточно густо усеянных атомами. При произвольном направлении падения монохроматического рентгеновского излучения на кристалл дифракция не возникает. Чтобы ее наблюдать, надо, поворачивая кристалл, найти определенный угол скольжения. Дифракционная картина может быть получена и при произвольном положении кристалла, для чего нужно пользоваться рентгеновским излучением с непрерывным спектром. Тогда для таких условий опыта всегда найдутся длины волн l, удовлетворяющие условию (17).

Дифракция рентгеновских лучей от кристаллов находит два основных применения. Она используется для исследования спектрального состава рентгеновского излучения (рентгеновская спектроскопия) и для изучения структуры кристаллов (рентгеноструктурный анализ). Определяя направления максимумов, получающихся при дифракции рентгеновского излучения с неизвестной длиной волны от кристаллов с известной структурой, можно определить длину волны.

В методе структурного анализа узкий пучок рентгеновского излучения направляется на кристалл. Для каждой системы слоев, достаточно густо усеянных атомами, находится в излучении длина волны, при которой выполняется условие (17). Поэтому на помещенной за кристаллом фотопластинке регистрируется (после проявления) совокупность черных пятнышек, взаимное расположение которых отражает симметрию кристалла. Расшифровывая рентгенограммы, по расстоянию между пятнышками и по их интен­сивности удается найти размещение атомов в кристалле и расстояния между ними.