2.7. Стоячие волны как нормальные моды колебаний

Моды непрерывных систем называются стоячими волнами. Непрерывная система имеет бесконечное число независимых элементов и обладает бесконечным числом мод. Общее движение системы может быть описано как суперпозиция всех её мод с амплитудами и фазами колебаний, определяемыми из начальных условий.

Рассмотрим поперечные колебания струны с грузами. Под струной мы подразумеваем пружину. Рассмотрим линейные (подчиняющиеся закону Гука) невесомые пружины, на которых расположены массы М (грузы).

На рисунке 2.5 представлена последовательность таких струн с N=1,2,3,4, и показаны конфигурации, соответствующие нормальным модам.

В m-ной моде положение равновесия пересекается струной (m-1) раз и мода состоит из m полуволн. Мода с самой большой частотой соответствует кривой с «зигзагами».

Если принять, что показанные конфигурации совпадают с конфигурациями мод, то мы правильно расположили конфигурации в порядке возрастания частоты мод.

Последовательность предполагаемых мод образует именно N конфигураций: число узловых точек (точки, в которых пружина пересекает горизонтальную ось, включая концевые точки) равно нулю в первой моде, вторая мода имеет одну узловую точку и т.д. Самая высокая мода имеет N-1 узловых точек.

2.8. Моды поперечных колебаний непрерывной струны

Рассмотрим случай, когда N велико, тогда для двух первых мод между двумя соседними узлами окажется очень много грузов. Смещение будет медленно меняться от одного груза к другому, тогда можно считать, что все частицы в окрестности точки (x,y,z), соответствующей положению равновесия имеют один и тот же мгновенный вектор смещения . Координаты x,y,z представляют собой равновесное состояние частиц и не зависят от времени.

Пусть в состоянии равновесия струна растянута вдоль оси Х. Тогда координата х даёт положение равновесия каждого груза:

,

смещение вдоль оси Х -продольное, а вдоль осей Z и Y - поперечное. Для поперечных колебаний струны , поэтому:

.

Для простоты положим, что колебания происходят только вдоль оси Z (Ψy=0). В этом случае говорят, что колебания линейно поляризованы вдоль оси Z.

Попытаемся найти нормальные моды непрерывной струны, которые представляют собой стоячие волны. Предположим, что мы возбудили какую-то моду, и все части струны совершают гармоническое движение с одинаковой частотой ω и одинаковой фазовой постоянной φ. Тогда функция , представляющая собой смещение частиц, которые в равновесии находятся в х, должна иметь одну и ту же временную зависимость вида cos(ωt+φ) для всех движущихся элементов, то есть для всех х. Как обычно, фазовая постоянная соответствует моменту включения моды. «Геометрия» моды зависит от числа степеней свободы a, b, c …и т.д. и определяется отношением амплитуд колебаний А, В, С …и т.д., соответствующим этим степеням.

В случае непрерывной струны амплитуда колебаний для различных степеней свободы (то есть геометрия моды) может быть представлена в виде непрерывной функции от х – А(х). Функция А(х) характеризует моду; каждой моде соответствует своя А(х), тогда общее выражение для стоячей волны имеет вид:

=А(х) cos(ωt+φ). (2.15)

Для ускорения получаем:

(2.16)

Вторая производная (2.15) по х равна

(2.17)

Здесь знак частной производной ∂ заменен знаком полной производной d, так как А не зависит от времени.

Подставим (2.16) и (2.17) в общее уравнение волны и заменим y на :

тогда имеем: Сократив на cos(ωt+φ) и на , получаем , или

.

Это уравнение определяет геометрическую форму моды. Здесь – волновое число, поэтому тогда

(2.18)

-каждой моде (то есть частоте ω) соответствует своя форма.

Уравнение (2.18) совпадает с уравнением гармонического осциллятора, в котором время заменено координатой. Решение этого уравнения имеет вид:

Тогда

(2.19)

Дополним выражение (2.19) граничными условиями. Струна закреплена на концах, то есть при x=0 и x=L :

отсюда В=0 и

, тогда , и Получаем условие образования стоячих волн в струне – по длине струны укладывается целое число полуволн. Из него имеем:

-это длины волн всех возможных мод, возникающих в струне.

Для частот имеем:

Частоты и т.д. называются второй, третьей и т.д. гармониками основной частоты , соответствующих первой моде колебаний.

Важно помнить, что для всех гармоник (для всех мод) выполняется соотношение , где – фазовая скорость волны. Заменив , получаем – это уравнение определяет ω как функцию волнового числа и называется дисперсионным соотношением или законом дисперсии. При этом в общем случае не остается постоянной.

Волны, удовлетворяющие простому дисперсному соотношению ω/k=const, называют недиспергирующими волнами.

Если отношение ω/k зависит от длины волны, а значит и от частоты, то волны называют диспергирующими. График зависимости ω от в случае упругой струны представляет собой прямую линию, выходящую из начала координат.