Лекция 12

Сортировка массивов

Для определённости будем считать, что элементы одномерного массива A – вещественные числа (A₁, A₂, A₃, … A_n), а расставить их требуется в порядке возрастания.

Сортировка вставками

Алгоритм, в нескольких словах, таков.

На «первом» шаге вообще ничего не делается.

На втором шаге берётся второй элемент (A₂) и сравнивается с первым (A₁). Если второй элемент меньше первого, они обмениваются местами. Результат – два элемента упорядочены.

На i-ом шаге (теперь i = 3, 4, 5, … , n) берётся i-ый элемент (A_i) и сравнивается с теми элементами A_j , что расположены слева от него: j = i - 1, j = i - 2, j = i - 3, и т.д. – так до тех пор, пока выполняется неравенство A_i < A_j. В последний раз, когда это неравенство будет выполнено, переменная j примет значение, равное новому месту для A_i – такому, куда нужно A_i вставить.

Например, пусть i = 5, а первые 5 элементов массива таковы: 4, 3, 9, 11, 5. В последний раз A_i < A_j при j = 3. Следовательно, число 5 должно встать на третью позицию, подвинув числа 9, 11 вправо на 1 шаг. Результат – i элементов упорядочены.

Текст процедуры:

procedure InsertSort;

var

i, j: int64;

x: single;

begin

nMove:=0;

nCompare:=0;

for i := 2 to nCurr do

begin

x := A[i];

Inc(nMove);

j := i;

while (j > 1) and (x < A[j - 1]) do

begin

// Попаданий в тело цикла будет на 1 меньше,

// чем вычислений логического условия «(j > 1) and (x < A[j - 1])».

Inc(nCompare);

A[j] := A[j - 1];

Inc(nMove, 2);

Dec(j);

end;

if j > 1 then

begin

// Сюда попали => при последнем j проверка «(x < A[j - 1])» была

Inc(nMove);

// Прверка условия «(x < A[j - 1])» требует одного перемещения

Inc(nCompare);

end;

if j <> i then

begin

A[j] := x;

Inc(nMove);

end;

end;

end;

Назначение переменных:

nCurr – текущее количество элементов в массиве,

nMove – найденное количество перемещений.

nCompare – найденное количество сравнений.

Количество сравнений (nCompare):

i	Min	Max	Average
2	1	1	1
3	1	2	3/2
4	1	3	2
…	…	…	…
i	1	i-1	i/2
…	…	…	…
n	1	n-1	1
∑	n-1	n2/2-n/2	n2/4+n/4-1/2

Количество переносов (nMove):

i	Min	Max	Average
2	2	4	3
3	2	6	4
4	2	8	5
…	…	…	…
i	2	2i	i+1
…	…	…	…
n	2	2n	n+1
∑	2(n-1)	n2+n-2	n2/2-3n/2-2