4.2.2.Метод варіації довільних сталих

Цей метод універсальний, тому що його можливо застосовувати для дові­льної правої частини (х) рівняння (27).

Згідно з цим методом спочатку знаходять загальний розв'язок відповідно­го однорідного рівняння

(33)

Загальний розв'язок заданого рівняння шукають у вигляді

(34)

де С₁ (х), С₂ (х) - невідомі функції.

Для знаходження С₁ (х) і С₂ (х) складають і розв'язують систему лінійних рівнянь відносно похідних і цих функцій:

(35)

Інтегруючи отримані значення ,знаходять С₁ (х) і С₂ (х), а потім, за формулою (34) - загальний розв'язок рівняння (27).

Приклад 11. Розв'язати рівняння

Розв'язування. Маємо неоднорідне лінійне диференціальне рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами. Враховуючи, що права частина - раціональна функція, приймаємо метод невизначених коефіцієнтів, тобто розв'язок рівняння шукаємо у вигляді . Складаємо характеристичне рівняння і визначаємо його корені:

Тоді

Частинний розв'язок y* (праву частину представляємо у вигляді де знаходимо у вигляді

r = 1 тому що a = k₁ = 0.

Знаходимо частинні похідні

i отримані значення підставляємо у задане рівняння:

Складаємо систему рівнянь відносно А,В,С, прирівнюючи коефіцієнти при х², х і вільні члени в отриманій рівності

Визначаємо, що ; ;

Тоді

Загальний розв'язок рівняння

Приклад 12.Знайти частинний розв'язок рівняння який задовольняє початкові умови: y(0) = 4; y’(0) = 1.

Розв'язування. Можливо застосувати метод невизначених коефіцієнтів, тому що . Знаходимо загальний розв'язок y_од відповідного однорідного рі­вняння:

Частинний розв'язок . У даному випадку r = 0, хоч але

Маємо

Ці значення підставляємо у задане рівняння:

Таким чином, і загальний розв’язок приймає вигляд

Для знаходження частинного розв'язку рівняння використовуємо задані почат­кові умови, але спочатку визначаємо похідну

Підставляємо значення x = 0; у = 4; у’ = -1 у отримані вирази і дістаємо систему рівнянь для знаходження

⤳

Частинний розв'язок

При застосуванні методу невизначених коефіцієнтів головним є правильне знаходження частинного розв'язку у*. На наступних прикладах розглянемо види у* в залежності від

1. — корені характеристичного рівняння Права частина - сума двох функцій, тому тому що

б) — корені характеристичного рівняння Частинний розв’язок тому що

в) — корені характеристичного рівняння . Права частина має вигляд третього випадку . Враховуючи, що , тобто r=1, частинний розв’язок приймає ви­гляд

Приклад 13.Знайти загальний розв'язок рівняння

Розв'язування. Права частина рівняння не відповідає умовам застосування методу невизначених коефіцієнтів, у зв’язку з цим будемо його розв'я­зувати методом варіації довільних сталих.

Корені характеристичного рівняння , тому шукаємо загальний розв'язок рівняння у вигляді

Система (35) у цьому випадку приймає вигляд

Розв'язуючи цю систему, отримаємо:

Звідки

Тоді загальний розв'язок рівняння

або, після перетворення,